論數學解題的三歸納

韋宏 陸文婷

[摘 要]在傳統的數學解題教學和學生數學解題過程中，存在著“重結果、輕過程”的弊端。文章從解題的橫向、縱向和深向三個方面引導學生學會解題后的歸納，并以一道中學數學題目為例，說明“三歸納”的應用。解題三歸納不僅能提升學生解題能力，而且有助于提升數學思維能力和掌握數學解題規律。

[關鍵詞]數學;問題解決;解題三歸納

[作者簡介]韋 宏（1968—），男，廣西上林人，理學碩士，南寧師范大學數學與統計學院副教授，碩士生導師，研究方向為數學學科教學與研究;陸文婷（1999—），女，廣西欽州人，南寧師范大學2019級數學與統計學院碩士研究生在讀，研究方向為數學學科教學與研究。

[中圖分類號] G640[文獻標識碼] A[文章編號] 1674-9324（2020）47-0-02[收稿日期] 2020-05-14

喬治·波利亞是著名的數學家，他把對數學解題的研究所得寫成《怎樣解題》一書。書中將解題過程分為“弄清問題”“擬定計劃”“實現計劃”和“回顧”四個步驟。但實際教學過程中，數學解題教學大部分情況都是教學生如何找到解決問題的思路和方法，也就是大多關注的是解題表中的前三個步驟，而往往忽略了第四個步驟“回顧”。[1]不利于學生數學問題解決和學習的能力、數學素養的發展。因此，“回顧”是解題活動中很重要的環節，對解題學習者來說是解題活動的開始[2]，它更多地帶有“研究性學習”的特征。德國心理學家鄧克爾（Danker）把解決問題的思維過程分為一般性解決、功能性解決、特殊性解決三個層次。羅增儒教授在其專著《數學解題學引論》中，基于自己對數學解題的理解，將鄧克爾的三個問題解決層次在數學解題思維過程中的作用解釋為：一般性解決即在策略水平上的解決，以明確解題的大致范圍或總體方向，這是對思考作定向調控;功能性解決即在數學方法水平上的解決，以確定具有解決功能的解題手段;特殊性解決即在數學技能水平上的解決，以進一步縮小功能性解決的途徑，明確運算程序或推理步驟，這是對細節作實際完成[3]。顯然，解題并不是純粹地通過題海戰術得到答案，而是要在方法、技能、策略以及思想方法等方面的發展以便在其他問題上能得到更好的解決[4]。故需要把解題之后的回顧歸納，當作是解題過程的繼續。本文認為教師通過引導學生在解題“三歸納”解題過程，不僅能提升解題能力，而且有助于提升數學思維能力和掌握數學解題規律。

一、數學解題“三歸納”：橫向歸納，找知識區別豐富知識圖式

心理學研究表明，人們問題解決的思維過程一般是按層次進行的，總是從粗到細，從一般到具體。鄧克爾的三層次理論的第一層次也表明：學生在解題的初時，對問題的條件和結論通過運用直覺思維進行表征轉化之后形成整體性認識，從而可以確定出解題的方向，這是對題目思考的定向策略，從而在哲學意義上題目算是解決了。而解題的第一步就是通過題目的條件和結論明確解題的方向，這過程就是一個哲學意義上的思維策略。它可以為解題者提供達到目標的最初幾步，雖然有可能只是得到幾步，不是達到了目標，但它卻可以指出達到目標的正確方向。也就是說解題的首要過程是明確“怎樣思考”，通過解題的橫向歸納可以更容易使解題者得到“怎樣思考”，進而使題目得到正確的方向。解題橫向歸納主要包括這幾個方面：歸納一：在哪里見過這個問題，或者是見過與其有關的問題;歸納二：它們之間的區別聯系，是圖類似？條件類似？過程類似？還是結論類似？歸納三：它們的出題背景？通過歸納題目的條件與結論之間的表征，在知識之間建立起聯系，理清知識之間的關系，從而達到豐富或形成學生的知識圖式的目的。

二、數學解題“三歸納”：縱向歸納，做知識方法梳理嚴謹邏輯

羅增儒教授認為數學知識能夠提供一種簡潔精確的形式化語言、能提供嚴謹的邏輯推理和科學抽象的工具。鄧克爾的思維三層次理論也表明了，解決問題的思維功能性解決就是數學方法水平上的解決。比如解決數量關系的表示（具體建立函數關系、列出方程）等，方法的選擇運用（坐標法、待定系數法）等。從某種程度上講，數學方法就是數學的本質。而數學方法都是來源于對課本知識的總結，只有解題結束之后，歸納所解題目中所包含的課本中的知識總結方法，才能從傳統題海戰術的解題中走出來。羅增儒教授把數學解題方法分為三類，其中第一類是學科創立的方法，比如公理化方法、模型化方法等。第二類是思維的方法，比如實驗、猜想等。第三類是具體解題的方法，比如消元法、不等式的放縮法等。縱向歸納就是對知識處理方法的梳理，其中可以歸納以下幾個方面：第一，“這是什么類型的題目？”是代數題還是幾何題？第二，“這道題的轉折點是什么？”第三，“這道題的解題方法是什么？”通過對題型到解題轉折再到解題方法的歸納，可以使學生在解題邏輯上清晰嚴謹。

三、數學解題“三歸納”：深向歸納，得知識升華

數學思想方法可以在解題中轉理論為認識、化未知為已知，這就是數學思想方法在數學解題中的強大威力。一方面數學思想方法需要通過一定的解題方法來體現的，這也從側面展示出解題需要做縱向歸納。另一方面，每一種解題方法都包含著一定的數學思想。是以，教師不僅需要引導學生對本題進行知識點的橫向歸納和解題方法上的縱向歸納，而且還要對題目進行深向歸納，即解題方法、數學思想方法或者解題程序的歸納，讓學生明白得到答案并不意味著解題結束。從數學思想方法來做深向歸納，可以使學生將知識升華或內化為自己的東西。深向歸納包括以下幾個方面：第一，解題程序。第二，解題數學思想方法。

四、解題三歸納的實例應用

具體以2019年數學高考全國三卷（文科）第21題為例，闡述解題三歸納的應用：

橫向歸納：第一，相較于2018年的橢圓與直線位置關系出題背景，本題是直線與圓及拋物線的位置關系。2018年是中點和等差數列的問題，而本題是中點與圓的方程問題。第一問考查了拋物線的阿基米德三角形，與2018年的全國三卷（理科）第16題背景一樣，都是弦AB必過焦點問題。第二，本題的知識點考查了直線的斜率公式、韋達定理的應用、平面向量的坐標運算、圓的方程的相關問題、圓錐曲線相關的定點問題和直線與圓錐曲線的位置關系問題。對出題背景和知識類型的歸納雖然還沒有達到目標，但它卻可以指出達到目標的正確方向。

縱向歸納：第一，這是一道代數題，所以可以利用有關代數題的解題方法處理。第二，對于本題第一問求含參直線過定點的轉折點是導數的幾何意義及斜率公式的應用，通過兩公式得出方程，由方程一致性從而可以得到定點。第二問的轉折點是韋達定理和垂直關系得到平面向量積為零。第三，這里題目需要坐標法、待定系數法、點差法。通過對縱向做歸納把題目的解決邏輯梳理很清晰，便于學生后續對此類題目的邏輯推理。

深向歸納：第一，對本題的圓錐曲線相關的定點問題的解題思路做一個歸納：首先是要設直線的方程，可以設為橫截式或斜截式。然后通過題干所給的已知條件，進行正確的運算找到斜率與截距的關系，即可找出直線所過的定點了。斜率是要分類討論的一個知識點，即存在或不存在。當明確斜率存在，即直線不垂直橫軸時，設直線方程為斜截式;當斜率不明確時，可以設直線方程為橫截式。第二，討論直線與圓錐曲線的位置關系問題，我們怎么認識這個問題？又是在考我們什么問題？此處，首先認識到這是一個位置關系的幾何問題，其次可以轉化為是解決直線與圓錐曲線的交點問題的代數問題，再次，轉化為求方程組解的個數問題。即把題目變為解決直線方程與圓錐曲線方程的方程組的解個數問題。第三，整體來看解題過程，我們是從通過分類思想確定公式，轉化位置關系為交點問題，再轉化為方程組的解的個數問題。整個過程體現了方程思想方法、分類思想方法、轉化化歸思想方法。最終題目變為非常直觀的代數問題。

五、小結

新課標強調要重視學生數學問題解決、學習能力和數學素養的發展，在解題活動中能夠培養學生各方面的能力和素養。因此，解題不僅僅是把題目解得答案就結束了，需要對解題結束后的一個反思歸納。解題三歸納不僅能提升學生解題能力，而且有助于提升數學思維能力和掌握數學解題規律。

參考文獻

[1]葉東輝.解題反思四部曲，提升數學思維能力[J].中學數學研究，2019（03）：48-50.

[2]王宏賓，羅增儒.例談解題回顧的意義[J].數學教學，2007 （05）：3-6.

[3]羅增儒.數學解題學引論[M].西安：陜西師范大學出版社， 2001.

[4]張雄，李得虎.數學方法論與解題研究[M].北京：高等教育出版社，2013.

Abstract： In the traditional teaching of mathematics problem solving and the process of students' mathematics problem solving process， there is a problem of "emphasizing the result and neglecting the process". This paper guides students to learn how to solve problems from the horizontal， vertical and in-depth aspects， and takes a middle school math problem as an example to illustrate the application of "three-way induction" method， which can not only improve students' ability to solve problems， but also help students to improve their thinking ability and grasp the rules of mathematical problem solving.

Key words： mathematics; problem solving; "three-way induction" method of problem solving