中心對稱圖形的深入討論以及對“負零”的再理解

[摘 要]文章前半部分通過層層深入，得到了關于中心對稱圖形的一個結果（定理1），在解決問題過程中獲得的引理1和引理2的結論與證明也是很有意義的。文中后半部分利用近世代數作為工具，對“負零”進行再理解，證明了“負零表示零的相反數，負零等于零”確實是真命題（定理3）。

[關鍵詞]中心對稱圖形;對稱中心;負零;負元;相反數;近世代數

[作者簡介]胡力文（1984—），男，安徽蕭縣人，碩士，中學二級教師，國家二級心理咨詢師，研究方向為基礎數學、數學教育。

[中圖分類號] G632.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1674-9324（2020）47-0-03[收稿日期] 2020-09-10

一、問題背景

在中學數學里，有一些看似簡單、實則可以深入挖掘的內容，比如負號的確切含義、代數式中字母所表示的內容、因式分解等等，在參考文獻[1][2]中都有所涉及。這篇文章繼續前面的話題，首先討論圖形的運動。在初中平面幾何里，我們學習了中心對稱圖形和軸對稱圖形，并且知道某些軸對稱圖形有不止一條對稱軸，關于中心對稱圖形卻沒有類似的分析展開。接下去我們自然要問：中心對稱圖形可以有不止一個對稱中心嗎？另外，參考文獻[1]里面提到“-0表示0的相反數，-0=0”這樣一個結論，很多中學數學老師一定會問：該結論靠譜嗎？它的理論依據是什么？文章將對前面提出的兩個問題進行深入討論，并給出準確合理的解答。

二、關于中心對稱圖形的深入討論

滬教版七年級數學的平面幾何部分提到了三種圖形運動—平移、旋轉、翻折，以及三種對稱圖形—旋轉對稱圖形、中心對稱圖形、軸對稱圖形。在下文所要討論的話題中有如下幾個概念：

定義1 在平面內，圖形繞著一個定點按照某個方向轉動一定大小的角α，這樣的運動叫作圖形的旋轉（rotation）。這個定點叫作旋轉中心（center of rotation），角α叫作旋轉角（rotation angle）（0°<α<360°）（參看參考文獻[3]）。

定義2 如果一個圖形繞著所在平面內的一個定點旋轉180°后，能與原圖形重合，那么這個圖形叫作中心對稱圖形（central symmetric figure），這個點叫作對稱中心（center of symmetry）（參看參考文獻[3]）。

定義3 把一個圖形沿某一條直線翻折過來，直線兩旁的部分能夠相互重合，這個圖形叫作軸對稱圖形（axial symmetric figure），這條直線就是它的對稱軸（axis of symmetric）（參看參考文獻[3]）。

在常規教學當中，我們學習了許多軸對稱圖形的實例，并且研究了它們對稱軸的條數，比如等腰（非等邊）三角形有1條對稱軸、等邊三角形有3條對稱軸、矩形有2條對稱軸、菱形有2條對稱軸、正方形有4條對稱軸、等腰梯形有1條對稱軸、圓有無數條對稱軸……不難發現，這些圖形的對稱軸既可能只有1條，也可能有多條，甚至有無數條。

我們同樣學習了很多中心對稱圖形的實例，比如平行四邊形有1個對稱中心、矩形有1個對稱中心、菱形有1個對稱中心、正方形有1個對稱中心、圓有1個對稱中心……巧合的是，上面所舉的圖形的對稱中心都只有1個！

現在問題來了：是不是所有的中心對稱圖形都只有1個對稱中心？如果不是，可以舉出實際例子嗎？

如果我們把思路局限在特殊多邊形和圓這些常規的有界圖形上，似乎找不到它們的第二個對稱中心。跳出有界“形”的框架，我們仔細回憶一下，從六年級到九年級還學過哪些圖形？原來在參考文獻[4]第七章《線段與角的畫法》當中，我們學習了直線、射線、線段、角這么多不用“形”來命名的圖形啊，而且直線、射線、角都是無界的！回到前面關于對稱中心的問題，不難發現直線和線段都是中心對稱圖形，并且直線上每一點都是該直線的對稱中心，也就是說一條直線有無數個對稱中心！

除了直線，還有哪些圖形有多于一個的對稱中心？稍微動動腦筋，把直線“改裝”一下，虛線能不能滿足我們的要求？事實上，“實”的部分等長、“虛”的部分也等長的虛線（當然“實”的部分和“虛”的部分不需要一樣長）就有無數個對稱中心，每一段“實”的部分的中點和每一段“虛”的部分的中點都是該虛線的對稱中心。類似地我們可以舉很多例子，比如平面直角坐標系中的“網格”{（x，y）|x，y中至少有一個是整數}、向四周無限伸展的國際象棋棋盤、甚至整個平面R2……這些圖形的對稱中心個數都是+∞。把討論的內容總結一下，我們就得到了下面的結論：

命題1 一個中心對稱圖形可以有一個或無數個對稱中心。

命題1給出了一個中心對稱圖形的對稱中心個數的兩種可能：1、+∞。我們自然要問：有沒有第三種可能，能否舉出實例？經過仔細思考其實不難發現，命題1給出的兩種可能已經包含了所有的情況。為了把問題說清楚，我們需要證明下面兩個引理：

引理1 如果一個中心對稱圖形Ω有兩個不同的對稱中心A、B，那么A關于B的對稱點C以及B關于A的對稱點D都是Ω的對稱中心。

證明：不失一般性，以A為原點AB為x軸正向單位線段按右手系建立平面直角坐標系，則A（0，0），B（1，0），從而C（2，0）。設P1（a，b）是圖形Ω上的任意一點，我們希望證明C（2，0）是Ω的對稱中心，也就是P1關于C的對稱點P（-a+4，-b）∈Ω。

事實上，由對稱中心的定義可得，P1關于B的對稱點P2（-a+2，-b）∈Ω，P2關于A的對稱點P3（a-2，b）∈Ω，P3關于B的對稱點P4（-a+4，b）∈Ω，即P （-a+4，b）∈Ω，這就是我們所要證明的。所以C（2，0）是Ω的對稱中心。

由于A和B是Ω的任意兩個對稱中心，因此我們同樣可以以B為原點BA為x軸正向單位線段按右手系建立平面直角坐標系，按照前面完全相同的做法就能證得D是Ω的對稱中心。證畢。

引理2 如果一個中心對稱圖形Ω有兩個不同的對稱中心A、B，那么它一定有無數個對稱中心，并且這些對稱中心至少在直線AB的一個維度上是向兩端無限延伸的。

證明：仍然以A為原點AB為x軸正向單位線段按右手系建立平面直角坐標系，則A（0，0），B（1，0）。定理1說明“中心對稱圖形的任意一個對稱中心關于任意另一個對稱中心的對稱點也是該圖形的對稱中心”，從而（3，0）、（4，0）、（5，0）、……，以及（-1，0）、（-2，0）、（-3，0）、……都是Ω的對稱中心，這些點在直線AB上是向兩端無限延伸的。證畢。

注：引理1和引理2的證明過程都用了直角坐標系，事實上討論中心對稱可以用仿射坐標系。

由引理2我們立即得到下面的定理：

定理1（對稱中心個數） 一個中心對稱圖形的對稱中心的個數可以是1或+∞，并且只有這兩種情況。

至此，我們得到了關于中心對稱圖形的一個深刻結果，該話題的討論就暫時告一段落了。事實上，中心對稱是關于0維線性流形（點）的對稱，軸對稱是關于1維線性流形（直線）的對稱，鏡面成像是關于2維線性流形（平面）的對稱。在更高維的空間和更復雜的流形當中，我們可以定義更多的對稱并且研究這些對稱的性質。

三、對“負零”的再理解

這一部分用正體粗體的Z、Q、R分別表示整數環、有理數域、實數域，用斜體細體的G、R、F分別表示一般的群、環、域。

參考文獻[1]里面提出“-0表示0的相反數，-0=0”這樣一個結論。為了理解“-0”的準確含義，我們要從概念的本質入手。在近世代數中，有下面幾個定義和定理：

定義4 設A是一個非空集合，若對A中任意兩個元素a，b，通過某個法則“·”，有A中唯一確定的元素c與之對應，則稱法則“·”為集合A上的一個代數運算（algebraic operation）。元素c是a，b通過運算“·”作用的結果，將此結果記為a·b=c（參看參考文獻[5]）。

定義5 設G是一個非空集合，“·”是G上的一個代數運算，即對所有的a，b∈G，有a·b∈G。如果G的運算還滿足

（G1） 結合律，即對所有的a，b，c∈G，有（a·b）·c= a·（b·c）;

（G2） G中有元素e，使對每個a∈G，有e·a=a·e=a，元素e稱為群G的單位元（unit element）或恒等元（identity）;

（G3） 對G中每個元素a，存在元素b∈G，使a·b= b·a=e，元素b稱為a的逆元（inverse），通常記作a-1，即b=a-1，

則稱G關于運算“·”構成一個群（group），記作（G，·）。在不致引起混淆的情況下，也稱G為群（參看參考文獻[5]）。

注：在不引起歧義的情況下，群G的運算符號“·”通常省略不寫。

定理2 設G為群，其單位元是e，則有

（1）群G的單位元e是唯一的;

（2）群G的每個元素a的逆元a-1是唯一的;

（3）對任意的a∈G，有;

（4） 對任意的a，b∈G，有;

（5）在群中消去律成立，即設a，b，c∈G，如果ab=ac，或ba=ca，則b=c（參看參考文獻[5]）。

由上面的定義和定理，不難證明：

引理3 在群G中，單位元e的逆元e-1就是e本身，即e-1=e。

證法一：由于e是群G的單位元，e-1是e的逆元，因此ee-1=e（一個元素和它的逆元作運算等于單位元），ee=e（任何元素與單位元作運算都等于該元素本身），從而ee-1=ee，再由消去律得到e-1=e。證畢。

證法二：由于e是群G的單位元，e-1是e的逆元，因此ee-1=e（一個元素和它的逆元作運算等于單位元），ee-1=e-1（任何元素與單位元作運算都等于該元素本身），由等量代換立即得到e-1=e。證畢。

注：引理3的證明雖然簡單，但仍然需要每一步都有現實的定義和定理作為依據，過程要清晰。

在群的定義中，我們沒有要求運算“·”滿足交換律，也就是說a·b≠b·a是可能發生的。但是當“·”滿足交換律時，我們有：

定義6 如果群G的運算還滿足交換律，即對任意的a，b∈G，有a·b=b·a，則稱G是一個交換群（commutative group）或阿貝爾群（Abelian group）（參看參考文獻[5]）。

還有群G的運算“·”也可以改為“+”：

定義7 當群G的運算用加號“+”表示時，通常將G的單位元記作0，并稱0為G的零元;將a∈G的逆元記作-a，并稱-a為a的負元（參看參考文獻[5]）。

注：習慣上，只有當群為交換群時，才用“+”來表示群的運算，并稱這個運算為加法，把運算的結果叫作和，同時稱這樣的群為加群（參看參考文獻[5]）。相應地，將不是加群的群稱為乘群，并把乘群的運算叫作乘法，運算的結果叫作積（參看參考文獻[5]）。乘法可能滿足交換律，也可能不滿足。

由引理3、定義6、定義7，我們不難得到：

引理4 在加群（G，+）中，零元0的負元-0就是0本身，即-0=0。

回到中學數學。容易驗證整數集Z、有理數集Q、實數集R關于通常數的加法均構成加法群，這三個常用數集分別稱為整數環Z、有理數域Q、實數域R（關于環和域的定義可參看參考文獻[5]），它們的零元是通常的數字0，單位元是數字1。近世代數中的“負元”對應中學數學里的“相反數”。于是我們有下面的定理：

定理3 在整數環Z、有理數域Q、實數域R中，零元0的負元（相反數）-0就是0本身，即-0=0。

從引理3、引理4到定理3是一個逐步推進的過程，定理3把我們中學數學當中-0的含義講清楚了，也就是說“-0表示0的相反數，-0=0”確實是真命題。[6-9]

四、思考總結

作為數學教師，我們的日常工作繁忙而瑣碎，每逢重要考試都要計算班級學生平均分并排名，壓力確實很大。如果我們對所教內容時常保持一種專業態度和一顆好奇心，不斷進行探索研究，而不僅僅停留在教會學生做題的層面，就可能獲得更大的成就感與滿足感，職業幸福指數也會得到提高。

作為中學生，無論數學考試還是競賽，現行評價體系更多地注重解題能力，關于數學學科本身的理解和思考卻很少涉及。其實對數學的本質適當做一些思考和探究，可以更好地激發學習的興趣和動力，對提高解題能力也會有一定幫助。如果到大學階段進入相關專業的學習，對學科本質的理解更是不可或缺的能力。[6-9]

參考文獻

[1]胡力文.關于“負零”的理解和教學[J].教育教學論壇，2020 （25）：337-338.

[2]胡力文.由一道初中數學填空題引發的思考—用近世代數的觀點[J].教育教學論壇，2020（22）：354-355.

[3]邱萬作，黃華.數學（七年級第一學期，試用本，第1版）[M].上海：上海教育出版社，2019.

[4]邱萬作，黃華.數學（六年級第二學期，試用本，第1版）[M].上海：上海教育出版社，2019.

[5]韓士安，林磊.近世代數（第二版）[M].北京：科學出版社，2009.

[6]丘維聲.高等代數[M].北京：科學出版社，2013.

[7]丘維聲.解析幾何（第三版）[M].北京：北京大學出版社，2015.

[8]楊子婿.近世代數（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[9]馮克勤，李尚志，章璞.近世代數引論[M].第3版.合肥：中國科學技術大學出版社，2009.

Abstract： In the first half of this paper， a result about the central symmetric figure is obtained step by step （Theorem 1）. The conclusion and proof of Lemma 1 and Lemma 2 obtained in the process of solving the problem are also very meaningful. In the latter part， modern algebra is used as a tool to rethink "negative zero"， and it is proved that "negative zero represents the opposite number of zero， and negative zero equals zero" is true proposition （Theorem 3）.

Key words： central symmetric figure; symmetry center; negative zero; negative element; opposite number; modern algebra