基于混沌和四進制系統的圖像加密算法

田妙妙 劉曄 龔黎華

摘 ?要： 信息時代對圖像傳輸安全性要求較高，針對此問題提出一種將5D超混沌與四進制系統相結合的數字圖像加密算法。5D超混沌的初值通過漢明距離與明文圖像緊密相連，因此該圖像加密方案能夠有效抵抗選擇明文攻擊和已知明文攻擊。在置亂階段，明文圖像被分解為4幅四進制圖像。在密鑰流的控制下，完成四進制圖像像素位置的全局置亂。在擴散階段構造一種基于四進制的循環操作來擴散圖像的像素值。將擴散后的4個四進制矩陣轉換為相應的十進制矩陣，并對該矩陣與密鑰流進行加法運算即可得到加密圖像。仿真結果和性能分析表明，該圖像加密方案性能優越，安全性高。

關鍵詞： 圖像加密; 5D超混沌; 四進制系統; 圖像分解; 矩陣轉換; 仿真分析

中圖分類號： TN911.73?34; TN915.08 ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼： A ? ? ? ? ? ? ? 文章編號： 1004?373X（2020）23?0049?05

Abstract： The high security of image transmission is required in the information age. Therefore， a digital image encryption algorithm based on 5D hyper chaos and quaternary system is proposed. The initial values of 5D hyper chaos are closely connected with the plaintext image by Hamming distance， so the image encryption scheme can effectively resist the chosen?plaintext attack and the known plaintext attack. In the scrambling phase， the plaintext image is decomposed into four quaternary images. The global scrambling of the pixel position of the quaternary images is completed under the control of the key flow. In the diffusion phase， a kind of cycle operation based on quaternary system is built to diffuse the pixel values of the image. The 4 diffused quaternary matrices are converted into corresponding decimal matrices， and an additive operation is performed for the decimal matrices and key stream to achieve the encrypted image. Simulation results and performance analyses demonstrate the superior performance and high security of the image encryption scheme.

Keywords： image encryption; 5D hyper chaos; quaternary system; image decomposition; matrix transformation; simulation analysis

0 ?引 ?言

圖像作為信息傳遞的一種載體，能夠生動直觀地傳遞信息。今天，由于互聯網的快速發展，數字圖像已經廣泛應用于社會、政治、經濟、軍事等領域。同時，圖像安全越來越受到人們的重視，圖像加密是解決圖像安全問題的重要途徑。

混沌是洛倫茲于1963年發現的，在非線性科學領域中經常被提及。混沌由于其固有的遍歷性、偽隨機性、不可預測性、對初值和控制參數極度敏感等特性，在圖像加密中得到了廣泛的應用[1?2]。1998年，Fridrich提出了第一個基于二維和三維混沌映射的高效圖像加密算法。此后，人們構建了一系列基于不同混沌系統的圖像加密方案，包括低維混沌系統[3]、超混沌系統[4]和時空混沌系統[5]。低維混沌系統能夠快速生成混沌序列，但由于密鑰空間小、安全性差，很少單獨用于加密算法的設計。將低維混沌與具有更好混沌特性的高維混沌相結合，可以克服這一缺陷[6]。文獻[7]在2015年提出了一種基于高維混沌映射的圖像加密方案，該加密方案抵抗選擇明文攻擊的能力較弱[8?9]。圖像加密方案之所以無法有效抵抗已知明文攻擊和選擇明文攻擊是因為用于位置置亂和像素值替換的密鑰流的產生，與明文圖像沒有關系。為了克服文獻[7]中出現的問題，文獻[10]提出基于混沌和DNA序列的位級圖像加密方案。在該方案中，將明文圖像的像素值總和進行預處理之后用于改變混沌系統的初始值。實驗結果表明該方案雖然可以有效抵抗已知明文攻擊和選擇明文攻擊，但是該加密方案對裁剪攻擊的抵抗力較弱。文獻[11]提出了一種基于二維超混沌系統的圖像加密方案[11]。實驗結果表明，該圖像加密算法也解決了文獻[7]中存在的問題，但是該加密方案抵抗裁剪攻擊和噪聲攻擊的能力較弱。

為了克服上述缺點，本文提出了一種基于5D超混沌和四進制循環操作的圖像加密算法。與一般的混沌系統相比，5D超混沌系統擁有更多的參數，可以更好地抵抗窮舉攻擊。此外，為了使密鑰流的產生與明文圖像緊密相關。將四進制圖像兩兩之間的漢明距離進行處理，并將其代入混沌系統作為混沌系統迭代運算的初值。置亂時，在密鑰流的控制下，對4幅四進制圖像的像素位置進行交叉互換完成全局置亂，這種置亂方式不僅有置亂效果而且還有擴散效果。循環操作用于在擴散階段改變4幅四進制圖像的像素值。實驗結果表明，該圖像加密方案不僅可以有效抵抗已知明文攻擊和選擇明文攻擊，而且具有較好的抵抗裁剪攻擊和噪聲攻擊的能力。

1 ?基本理論

1.1 ?5D超混沌

與一般混沌系統相比，5D超混沌系統[12]具有更復雜的動態特性和更高的隨機性，更適合于圖像加密。

1.3 ?漢明距離

兩個長度相等的字符串之間的漢明距離是兩個字符串之間不同字符的個數，即將一個字符串轉變為另一個字符串時所需要更換的字符數。假設一個字符串是′132424′，另一個字符串是′342123′。那么，這兩個字符串之間的漢明距離是4，因為要使兩個字符串相同，需要替換4個字符。

在本文中，5D超混沌系統的初值可以通過4幅四進制圖像之間的漢明距離來改變，從而使混沌序列與明文信息密切相關。

2 ?加密算法和解密算法

2.1 ?密鑰流的產生

圖像加密所需的混沌序列可以通過如下方式生成。

步驟1：通過1.2節所述方式將明文圖像分解為4幅四進制圖像[P1]，[P2]，[P3]，[P4]。

步驟8：將一維矢量[C2]轉換為二維圖像[C2M，N]，完成加密過程。

用密鑰流解密密文圖像是加密過程的逆過程。

3 ?仿真結果和分析

本節在Windows 10，64位操作系統的PC機上，用Matlab R2016a對Lena圖像進行了測試。5D超混沌的初值分別為[0.123 0]，[0.637 7]，[0.747 6]，[0.573 8]，[0.635 0]。如圖2所示的實驗結果表明用該加密方案對明文圖像進行加密之后，從加密圖像中得不到任何關于明文圖像的信息，而且可以通過解密流程還原出明文圖像，從而說明該圖像加密方案是可行的。

3.1 ?密鑰空間

理論上，如果加密系統的密鑰空間大于[2100]，則認為在當前計算速度下，加密系統可以有效抵御窮舉攻擊。該算法的密鑰是5D超混沌系統的初值。在本文所提出的圖像加密方案中，5D超混沌系統初值的精度可以達到[10-13]，則密鑰空間為[1065]，這遠遠大于[2100]，因此密鑰空間可以很好地抵御窮舉攻擊。

3.2 ?直方圖

Lena圖像和密文圖像的直方圖如圖3所示。從圖3可以看出原始圖像的直方圖分布是不均勻且是獨特的。加密之后，密文圖像的直方圖分布是接近均勻的。說明該加密方案完全打亂了明文圖像的統計特性，明文圖像的信息被隱藏得很好。同時說明，該圖像加密方案能夠較好地抵抗統計攻擊。

3.3 ?密鑰敏感性

使用正確的密鑰解密出來的結果如圖4a）所示。依次選取密鑰中的一個對其增加一個定值[10-13]，其余密鑰保持不變進行解密，解密結果如圖4b）～圖4f）所示。從圖4中可以看出，即使密鑰只有微小的變化，加密后的圖像也無法正確解密，從而驗證了方案的密鑰敏感性是可以接受的。

3.4 ?相關系數

從明文圖像和加密圖像中分別在水平、垂直和對角方向隨機抽取8 000對相鄰像素計算其相關系數，計算公式為：

[Ex=1Ni=1NxiDx=1Ni=1Nxi-Ex2covx，y=1Ni=1Nxi-Exyi-Eyrxy=covx，yDxDy] （14）

式中：[x]，[y]為相鄰兩個像素;[covx，y]代表協方差;[Dx]為方差;[Ex]為均值。明文圖像與加密圖像的相關關系如圖5所示。計算可知，原Lena圖像在水平方向、垂直方向、對角線方向的相關系數分別為0.970 9，0.939 2，0.925 7，而加密之后的Lena圖像在水平方向、垂直方向、對角線方向的相關系數分別為0.004 1，0.005 6，0.008 1。由此可知，明文圖像在各個方向的相關系數都接近于1，而對應加密圖像在各個方向的相關系數都接近于0，說明圖像加密算法可以成功地減弱相鄰像素之間的相關性。

3.5 ?信息熵

信息熵是衡量隨機性的一個重要指標，定義為：

[Hm=i=02n-1pmilog21pmi] （15）

式中[pmi]表示[mi]出現的概率。對于具有[2n]個狀態的真實隨機源，理想的信息熵是[n] bits。對于一個8位灰度圖像來說，其信息熵的理想值是8 bits，其值越接近8，隨機性越好。計算可知，加密后的Lena圖像的信息熵為7.996 7 bits，非常接近理想值，這表明密文圖像的隨機性很好，該圖像加密算法能夠有效抵抗熵攻擊。

3.6 ?明文敏感性

[NPCR]（像素數變化率）和[UACI]（歸一化平均變化強度）可用于揭示圖像之間的差異。它們的定義如下：

式中：[M]和[N]分別為圖像矩陣的行數和列數;[T1x，y]是與明文圖像對應的加密圖像;[T2x，y]為明文圖像改變一個像素值后對應的加密圖像。對于一幅8位灰度圖像，[NPCR]和[UACI]的期望值分別為99.60%和33.46%。由本文方案計算出來的[NPCR]和[UACI]分別為99.604 6%和33.438 7%，與期望值非常接近，這表明即使兩幅明文圖像只有一個像素值是不同的，其加密之后得到的密文圖像差別也很大，因此該圖像加密算法能夠有效抵抗差分攻擊。

4 ?結 ?語

本文提出了一種基于5D超混沌和四進制循環操作的圖像加密算法。5D超混沌參數較多，對初始值極為敏感，因此該圖像加密算法能夠更好地抵御窮舉攻擊，為算法的安全性提供一定的保障。將明文圖像分解為4幅四進制圖像后在密鑰流的控制下完成置亂，基于四進制的循環操作用于擴散像素值。加法操作進一步擴散了像素值，使得相鄰像素之間的相關性接近于0。實驗結果表明，該算法能夠有效地抵抗窮舉攻擊、統計攻擊、差分攻擊等多種攻擊，是一種符合安全要求的圖像加密算法。

參考文獻

[1] WU Xiangjun， WANG Kunshu， WANG Xingyuan， et al. Lossless chaotic color image cryptosystem based on DNA encryption and entropy [J]. Nonlinear dynamics， 2017， 90（2）： 855?875.

[2] LI Yueping， WANG Chunhua， CHEN Hua， et al. A hyper?chaos?based image encryption algorithm using pixel?level permutation and bit?level permutation [J]. Optics and lasers in engineering， 2017， 90： 238?246.

[3] ?AVU?O?LU ?， KA?AR S， PEHLIVAN I， et al. Secure image encryption algorithm design using a novel chaos based S?box [J]. Chaos， solitons and fractals， 2017， 95： 92?101.

[4] NIYAT A Y， MOATTAR M H， TORSHIZ M N. Color image encryption based on hybrid hyper?chaotic system and cellular automata [J]. Optics and lasers in engineering， 2017， 90： 225?237.

[5] GUO Shaofeng， LIU Ye， GONG Lihua， et al. Bit?level image cryptosystem combining 2D hyper?chaos with a modified non?adjacent spatiotemporal chaos [J]. Multimedia tools and applications， 2018， 77（16）： 21109?21130.

[6] PAK C， HUANG Lilian. A new color image encryption using combination of the 1D chaotic map [J]. Signal processing， 2017， 138： 129?137.

[7] TONG X， ZHANG M， WANG Z. A new image encryption algorithm based on the high?dimensional chaotic map [J]. The ima?ging science journal， 2015， 63（5）： 263?272.

[8] AKHAVAN A， SAMSUDIN A， AKHSHANI A. Cryptanalysis of an image encryption algorithm based on DNA encoding [J]. Optics and laser technology， 2017， 95： 94?99.

[9] LI Zeng， LIU Renren. Cryptanalyzing a novel couple images encryption algorithm based on DNA subsequence operation and chaotic system [J]. Optik， 2015， 126（24）： 5022?5025.

[10] LIU Ye， LIN Tao， WANG Jun， et al. Bit image encryption algorithm based on hyper chaos and DNA sequence [J]. Journal of computers， 2018， 29（3）： 43?55.

[11] YUAN Hongmei， LIU Ye， GONG Lihua， et al. A new image cryptosystem based on 2D hyper?chaotic system [J]. Multimedia tools and applications， 2017， 76（6）： 8087?8108.

[12] FAN Bing， TANG Liangrui. A new five?dimensional hyperchaotic system and its application in DS?CDMA [C]// 2012 9th International Conference on Fuzzy Systems and Knowledge Discovery. Sichuan， China： IEEE， 2012： 2069?2073.