規劃數學“學習地圖” 助力學習力生長

摘 要：在教學設計時注重規劃學生整體學習的路徑，即從課前、課中及課后進行思維導學，重視整體學習流程，規劃學習目標的實現路徑即“學習地圖”，使學生明確目標實現的有效路徑。文章以“同角三角函數”教學為例，從設計自主學習，穩固思維基礎;組織合作探討，發展思維能力;多向對話交流，提升思維能力;共同挑戰難點，拓展學習能力等方面，淺談如何規劃“學習地圖”，提升學生以思維力為核心的學習力。

關鍵詞：學習地圖;思維力;學習力

《普通高中數學課程標準》提出“提倡獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式，激發學習數學的興趣，養成良好的學習習慣，促進學生實踐能力和創新意識的發展。”這一基本理念。在教學實踐中，我們常常發現學生的預備知識預習不到位，在課堂問題討論時簡單低效，大部分學生在交流互動中只愿意做傾聽者……為實現新課程理念，需要我們教師重視整體學習流程，規劃學習目標的實現路徑即“學習地圖”，使學生明確目標實現的有效路徑。文章就高中教學實踐中，淺談如何規劃“學習地圖”，提升學生以思維力為核心的學習力，以期拋磚引玉。

一、 設計自主學習，穩固思維基礎

數學整體知識結構的建立是數學思維能力培養的基礎。學生的有效學習從自主學習開始，包括復習與本節課相關的學習過的相關內容、預習本節課要學習的內容。當學生完成充分的預習之后，學生對本節課的學習內容有了思維基礎，再通過課堂上對問題的討論交流及老師在課堂上對問題的點撥講解，從而實現對本節課內容的理解與掌握。

《同角三角函數關系》的學習單中預習任務設計如下：

一、 預備練習

（1）在平面直角坐標系xOy中，已知角α的終邊上任意一點P（x，y），設OP=r，則r= ? ?，sinα= ? ?，cosα= ? ?，tanα= ? ?。

（2）設角α的終邊與單位圓的交點為P，則用角α的三角函數表示點P的坐標為 ? ?。

（3）如圖1，請畫出角α正弦線、余弦線、正切線。

二、 基礎練習

1. 已知sinα=45且α為銳角，求cosα，tanα的值。

2. 已知sinα=45且α為第二象限角，求cosα，tanα的值。

基于以上預備練習及基礎練習的“學習地圖”設計的流程為：

在小組互助研究以上問題的過程中，問題主要集中在解決第二小題的方法。在實踐中，請了兩個小組的同學上黑板書寫了解答過程：

方法一：取點求解。取角α的終邊上一點P（-3，4），則OP=5，所以cosα=-35=-35，tanα=4-3=-43。

方法二：用定義求解。設角α的終邊上任意一點P（x，y）（x<0，y>0），則OP=r=x2+y2，因為sinα=45=yr，所以x=-34y，r=54y，所以cosα=xr=-35，tanα=yx=-43。

學生通過完成以上預習練習及課堂上的活動，溫習了任意角的三角函數的定義，正弦、余弦、正切這三種三角函數值的幾何表示，嘗試解決“知一求二”的求值問題，以此鞏固基礎知識。學生能夠自主解決大部分問題，為課堂上集中精力解決預習中發現的問題打下思維基礎。學生的預習設計除了一節課的設計之外，還需培養學生的周預習、學期預習，對即將學習的內容進行章節的整體系統預習，了解即將學習的基本內容，初步了解數學知識的結構和關鍵問題，為上課做好充分的準備。學生的這種自學能力能夠在潛移默化中不斷增強，為今后的終身學習打下基礎。

二、 組織合作探討，發展思維能力

時代與社會對人的發展提出新的要求，教育也緊跟著時代的步伐在不斷進步與變革。根據美國緬因州國家訓練實驗室的研究成果學習金字塔理論，學習效果兩周以后保持率在50%及以上的討論、實踐、教授給他人三種學習方式，都是團隊、主動和參與式的學習方式。課堂中的思維導學，需要充分發揮學生主體性的多樣化的學習方式。學生在合作探究學習的過程中，可以深入地多角度理解數學知識，從而建構數學知識之間的聯系，使他們在今后面對實際問題時，能更加容易地激活所學過的數學知識，并能靈活運用數學知識來解決問題。也只有這樣，學生的數學學習才是積極主動的，才能夠真正激發學生學習數學的內在動力。

《同角三角函數關系》的學習單中探究任務設計如下：

探究1：sinα與cosα兩者有什么關系？

探究2：tanα與sinα、cosα之間有什么關系？

基于以上探究問題的“學習地圖”設計的流程為：

通過預備知識的溫習及基礎練習的準備，學生在自主思考的基礎上進行小組合作探究學習，從數量關系及幾何關系兩個角度進行問題的剖析，并自行建立同角三角函數的關系。教師從知識的傳授者轉變為知識意義建構的促進者，學生的學習方式由以往的被動接受學習轉為自主探索及發現學習，使學習真正成為學生的自主活動，使學生成為知識的主動構建者。學生經歷共同發現、自主探究，感受到了成功的喜悅，獲得了成功的體驗，拓展了學習與生活的思維空間，逐步完善個人的數學學習的思維方式，提升了學生的生命價值和意義。

三、 多向對話交流，提升思維能力

課堂上師生之間及生生之間的多向交流互動，能夠改變被動、單項的交流方式，從而提高課堂學習效率。在教學實踐中開展真正意義上的對話學習，建立生生對話機制，可采用培養“小老師”。因為每個學生都有自己的特長和優勢，努力使每個學生都成為“小老師”，既可以在小組內負責對話活動，也可以在展示點評時展示組內同學對問題的理解的方式方法、解題過程、典型的錯誤，同時還可以在課外負責該組的學習計劃的制定及學習對話活動等。教師的主導作用，體現在培養優秀學生成為真正的“小老師”，建立“小老師”培養機制，鼓勵并培養成績優秀的學生人人當基礎薄弱的學生的“老師”。教師運用啟發性的言語引導學生進行進一步的深層次的思考，最終形成問題的解決的規律、數學本質的揭示、思維的優化與拓展，提升思維能力。

《同角三角函數關系》的學習單中探究問題的對話“學習地圖”設計流程為：

在實踐教學過程中，請了兩組同學展示討論的結果。

組1：取α=π6，則sinα=12，cosα=32，猜想sin2α+cos2α=1。證明如下：由三角函數的定義，OP=r=x2+y2，sinα=yr，cosα=xr，所以sin2α+cos2α=y2r2+x2r2=y2+x2r2=r2r2=1，tanα=yx=yrxr=sinαcosα。

師：組1的同學從特殊的角的三角函數值的關系猜想后，利用定義進行了證明。非常好！在證明過程中，我們主要用了怎樣的思想方法呢？請大家一起進行總結。

生：主要是將r消去，用了消元的思想方法。

組2：回顧了預備練習中，我們還可將三角函數進行幾何表示，并從幾何圖形中得到兩組關系。（圖略）

師：組2同學在單位圓中直觀地得到了以上兩組關系，充分利用了數形結合的思想方法，非常到位！

在由兩組代表展講的過程中，不參加展講的同學要求做到“記、思、論、評”，從而成為智慧的參與者。在整個對話學習過程中，學生經歷了三角函數公式的推導，幫助學生建立了數與形結合研究問題的基本思想方法，同時也是數學抽象的過程。學生在這一過程中學會了怎樣從具體的數量關系中尋找一般規律，幫助學生積累從具體到抽象的活動經驗，使學生更好地理解數學概念、命題及方法，逐步養成運用數學抽象的思維方式來解決問題，從而提升了思維力，進一步提升學習力。

四、 共同挑戰難點，拓展學習能力

對已學知識的分析與拓展應用時，需要創設各種學習情境，讓學生創造規律、積極創新、自行變式，從而感受數學知識應用的魅力，調動學生學習的內驅力，讓數學課堂變成創造的過程與場所。運用數學規律編制符合學生認識的練習題，使學生在挑戰這些問題時，經歷知識的發展，規律的創造，從而發展學生的數學素養，提升學生的創造性思維能力，拓展學習能力。

《同角三角函數關系》的學習單中挑戰練習設計如下：

例1 （基礎練習2）已知sinα=45，且α為第二象限角，求cosα，tanα的值。

例2 已知tanα=34，求sinα，cosα的值。

以上拓展例題及變式的“學習地圖”設計流程為：

預設變式1：已知sinα=45，求cosα，tanα的值。

預設變式2：已知2sinα+cosα=1，可以求什么？

這一流程中，學生經歷了“實踐——認識——再實踐——再認識”的過程，是自我認識的不斷肯定與升華的過程。教師在引領學生在數學知識的應用中不斷領悟其中蘊含的思想方法，讓學生嘗試從特殊問題的解決中得到解決問題的規律，并提供比較復雜的問題給學生作為課后挑戰練習，最后共同歸納總結這些問題解決的規律。

總之，數學課堂教學需要有效、科學地設計思維導學的“學習地圖”，設計好課堂教學的關鍵問題，變革陳舊的學習方式，增強學習動力，從而推動課堂學習走向深度學習，提升學生學習的內驅力，喚醒學生的學習熱情，最終落實立德樹人的根本任務、發展素質教育。

參考文獻：

[1]房超平.思維第一 全面提升學習力[M].北京：科學教育出版社，2018.

作者簡介：

宋建祥，江蘇省蘇州市，江蘇省震澤中學。