無線通信物理層安全問題中一類魯棒優化問題

摘? 要： 考慮無線通信的物理層安全模型，其中一對用戶在有竊聽者存在的條件下通過中繼轉發輔助進行通信。我們將運用物理層安全技術，即設計中繼的波束成形向量，在保證用戶通信質量和確保竊聽者不會竊聽到有用信息的同時，極小化中繼的總發送功率。由于竊聽者位置未知，用戶與中繼到竊聽者的信道狀態信息是不完全的，相應的優化問題是一個魯棒優化問題。本文首先對魯棒約束進行放縮，松弛掉其中部分魯棒參數。通過S-引理、半定規劃松弛等技巧，可以求得松弛以后的魯棒優化問題的最優解。數值實驗證實，本文提出的模型和算法相比較已有工作，可以得到更低的中繼發送總功率，算法的計算復雜度更低，算法更加高效。

關鍵詞： 物理層安全通信;魯棒優化;不完全信道狀態信息;S-引理

中圖分類號： TN92? ? 文獻標識碼： A? ? DOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2020.10.013

本文著錄格式：陳思琪. 無線通信物理層安全問題中一類魯棒優化問題[J]. 軟件，2020，41（10）：5054+65

【Abstract】： A physical layer security model in wireless communications is considered. Two legitimate users communicate though several relays with the presence of eavesdropper. We jointly design the relay beamforming weights， to minimize the relay total transmit power while ensuring users quality of services and preventing the information being eavesdropped. Since the channel state information （CSI） from users and relays to the eavesdropper is imperfect， the problem is a robust optimization problem. We first relax the problem and reduce the number of robust parameters. Then we design an algorithm by using S-lemma， and solve the relaxed problem optimally. Simulation results indicate that the proposed algorithm achieves lower relay transmit power compared to the state of the art. It also enjoys lower computational cost.

【Key words】： Physical layer security; Robust optimization; Imperfect CSI; S-lemma

0? 引言

基于物理層的無線通信安全技術主要是通過運用波束成形或者添加人工噪聲等方案[1-13]，來提升信息傳輸的安全性能。在設計波束成形向量方案中對應不同的信道狀態信息（Channel State Information，CSI），相應的求解算法也不盡相同。文獻[8]和[9]考慮CSI完全已知的情況。文獻[8]研究了一個單天線用戶的中繼輔助竊聽網絡，設計波束成形向量，在限制節點功率和保證一定的安全速率的要求下，極大化系統的總能效。文獻運用了分式規劃理論、罰函數、交替搜索法等優化技巧，將非凸的優化模型轉化為一系列連續參數化的二次規劃問題求解。事實上，完整的信道狀態信息往往難以得到，因此不完全信道狀態信息和沒有信道狀態信息的通信模型是物理層安全問題中的研究重點。針對沒有任何CSI的情況，文獻[10]采用波束成形與人工噪聲的協同作用來提高系統的安全性。文獻考慮了兩種不同的中繼工作方式：一種是所有的中繼同時轉發用戶信號，另一種是選取其中性能最好的中繼轉發用戶信號。針對兩種情況采取不同的措施，作者建立了不同的優化模型，結合在信道的零空間內發送人工噪聲的思想，以達到優化安全速率的目標。針對不完全的CSI的情況，文獻[11]研究了在多天線竊聽者的情況下，單天線用戶通過中繼輔助進行安全通信的魯棒模型，作者通過優化波束成形向量和噪聲的傳輸協方差矩陣，以極大化最壞情況下的安全速率為目標函數，采用塊坐標下降法將非凸問題轉化為一系列凸的子問題的方法進行求解;文獻[12]則是考慮了不完全的CSI以及無CSI兩種情況下，多個用戶在一個多天線中繼的輔助通信下的無線通信模型，通信中有一位竊聽者。作者以極大化最壞情況下的安全速率作為目標函數，設計波束成形向量，通過引入輔助變量，設計合法用戶的傳輸速率下界，通過迭代近似求解相應的優化問題。文獻[13]則考慮了一對單天線用戶半雙工通信的中繼輔助通信模型，其中有一個已知不完全信道狀態信息的竊聽者存在。在保證合法用戶正常通信以及竊聽者無法竊聽到用戶有用信息的前提下，文獻[13]的作者聯合設計中繼波束成形向量，極小化中繼的總傳輸功率。文中建立了以最壞情況下保障用戶信息不被竊聽的魯棒優化問題;通過線搜索的框架，在每步迭代中求解三個子問題，并給出了放縮后問題的最優性條件刻畫。

在文獻[13]中，作者提出了一種迭代算法，且求得的解僅保證為可行解，在最優性方面仍然缺乏理論保證。本文則針對這個模型和相應的魯棒優化問題，設計更加簡單有效的算法，減少算法的計算復雜度，并在一些特殊情況下保證算法的最優性，為這類問題提供理論的保障。本文的主要結構如下：

（1）描述半雙工安全通信系統模型，建立以設計中繼波束成形向量為目標，以極小化中繼傳輸總功率為標準，在不完全CSI的情況下，這類特殊的魯棒優化問題。

（2）設計新的算法，得到優化問題的最優解。首先對問題進行放縮，減少魯棒參數，化簡問題，接下來利用S-引理將魯棒約束轉化為有限個線性矩陣不等式約束，從而將問題等價轉化為一個半定規劃問題，從而得到松弛后問題的最優解。

（3）數值仿真驗證算法的有效性，并與其他算法進行對比。

符號說明：表示n維復向量;、和表示共軛轉置矩陣、轉置矩陣以及共軛矩陣;表示歐氏范數;表示復數的模值;表示取復數中的實部;表示矩陣的跡;表示與矩陣A具有相同對角項的對角矩陣;表示一個對角矩陣的對角元素是向量a的元素;表示矩陣A為半正定（正定）矩陣;表示x滿足均值為0，協方差為的復高斯分布。

1? 系統模型

考慮一對半雙工通信的用戶Alice和Bob。由于信道衰落等原因兩個用戶無法直接進行通信，需要通過n個中繼進行轉發、輔助通信。此外，通信過程中有一名竊聽者Eve想要獲取Alice和Bob的通信信息。我們能獲得用戶和中繼到竊聽者之間的信道狀態信息的估計值。所有的用戶、竊聽者和中繼均使用單天線通信。具體的通信過程如圖1所示。

設用戶與中繼之間的信道狀態信息向量為和;用戶和中繼廣播消息到竊聽者之間的信道狀態信息為與，這里假定竊聽者的確切位置難以獲得，即用戶和中繼廣播消息到竊聽者之間的信道狀態信息部分已知：

其中與是信道狀態信息的估計值，與是其誤差。

通信過程分為兩個階段。第一階段，Alice和Bob同時向中繼發送信息，其中為信號發射功率，為需要傳遞的信息，且滿足。此時中繼接收到信號：

其中，是均值為0，協方差矩陣為的高斯白噪聲。

第二階段，每個中繼將接收到的信號進行波束成形，乘上波束成形系數后，將其轉發給兩位用戶。則Alice和Bob最終收到的信號分別為：

上述兩個公式中的第二項代表用戶希望得到的目標信號;第一項是自身發送出去的信號;后兩項均為噪聲，分別表示經中繼放大轉發的噪聲和本地噪聲。

這里，我們用信噪比（Signal Noise Ratio， SNR）作為用戶通信質量的衡量標準：

為保證用戶的通信質量，需要使得大于閾值。

其中。這里我們要求不超過上界，以防止竊聽者Eve解碼出有用信息，保障了合法用戶的通信安全。

我們期望聯合設計中繼的波束成形系數，在保證合法用戶的通信質量和確保竊聽者無法得到有用信息的前提下，極小化中繼的總發送功率。由于竊聽者的信道信息不完全，我們希望即便在最壞的情況下，也能保證竊聽者無法解碼獲取有用信息。相應的優化問題如下：

此問題是一個魯棒優化問題，實際上等價于帶有無窮多個約束的二次約束二次規劃問題，是一個NP-難的問題。常規處理這種魯棒優化問題的方法大多直接將問題進行放縮，去掉魯棒約束，得到一個一般的二次約束二次規劃問題（Quadratical Constraint Quadratic Programming，QCQP）。但放縮后的問題往往與原問題的最優解不一致，甚至可能將原本可行的問題變得不可行，因此我們需要設計更有效的方法解決此問題。

2? 算法描述

針對上述模型問題，本文將提出一種新算法來求解得到原問題的可行解。問題中有三類魯棒參數：，與。我們考慮將，進行放縮，再利用S-引理求解放縮后的問題。

2.1? 放縮

我們首先通過放縮，消去魯棒參數，：

（1）對于任意滿足的，，均有以下不等式成立。

其中。顯然，問題（2）的任一可行解均滿足原問題（1）的所有約束條件，是（1）的可行解。

2.2? S-引理

松弛后的問題（2）依然是一個魯棒優化問題。下面我們將運用S-引理對問題（2）進行等價轉化并求解。

運用內點法我們可以求得上述線性半定規劃問題（4）的最優解。

定理2[15]：當復數域QCQP問題的半定松弛可行時，必存在一個解，滿足，其中為線性約束的個數。

問題（4）僅有三個線性約束的條件，可知求得的（4）的最優解解均是秩一的。進而通過秩一分解，我們可以得到問題（2）的最優解。通過這種方式，我們可以求得原問題（1）的可行解。

算法流程圖如圖2所示。

3? 仿真實驗

3.1? 仿真環境

編程實現環境為Matlab 2018b，半定規劃算法使用的是CVX軟件求解。用戶與中繼之間的信道狀態信息向量和取復高斯隨機分布。用戶到竊聽者之間的信道狀態信息估計值，，取復高斯隨機分布，誤差上界取。每個中繼到竊聽者之間的信道狀態信息估計值取復高斯隨機分布，其中取決于中繼到竊聽者之間的距離，誤差上界取。假設所有噪聲的協方差為，用戶的閾值取。每個點隨機試驗1000次，最后取平均值作為仿真結果。

3.2? 仿真結果

（1）與非魯棒模型對比

首先將我們提出的模型和算法與非魯棒模型進行對比，即給定和，具有完全的CSI。模型退化為一個QCQP問題，可以直接運用半定規劃松弛的方法求解。圖3給出了在不同的閾值γ以及中繼數量的條件下，S-引理算法，與非魯棒模型兩者的中繼總功率的大小，其中以及。可以看出兩種算法得出的中繼總功率幾乎重合，中繼數量與γ越大時產生的差距越小。高度重合的實驗結果說明了算法一具有較高的效率，有效平衡了用于正常通信與反饋這兩部分的資源。另外，從圖3還可以看出，隨著中繼數量的增長，中繼所用的總功率呈現下降趨勢，體現出中繼之間的相互合作帶來的資源優化優勢。同時，當用戶SNR閾值增加時，中繼發射總功率增加，滿足以資源消耗增多為代價而提升用戶的通話質量這一事實。

（2）與文獻[13]算法對比

在相同的通信模型下，文獻[13]采用線搜索迭代的方式，求得放縮后問題的可行解。如圖4所示，在不同中繼數量的條件下，比較本文算法與線搜索迭代算法中繼總功率的大小，其中。從圖中易看出，當中繼數量固定時，S-引理算法的中繼總功率是小于線搜索迭代算法的。顯然S-引理算法的表現更優。從算法復雜度來看，算法一僅需要求解一個n維的半定規劃問題即可得到最優解，而線搜索迭代算法中每一步迭代都需要解決兩個n維的半定規劃問題和一個一維優化問題，耗時更久，復雜度更高。

我們隨機生成了1000個算例，分別用S-引理算法與線搜索迭代算法[13]求解。表1給出了1000次算例中兩個算法求得最優解的數目。其中S-引理算法有100%的求解率，也印證了理論上求得最優解的結論。相比之下線搜索迭代算法收斂得到的問題最優解的平均概率是86.7%。顯然S-引理算法解決該類問題更高效。

4? 結論

本文考慮了一個竊聽模型，其中一對用戶在中繼輔助下互相通信，一個竊聽者在竊聽用戶信號。我們希望聯合設計中繼的波束成形系數，在CSI部分已知的情況下，我們建立了一個魯棒優化問題，期望在發送功率盡可能小的情況下，保證用戶的通信質量以及防止竊聽者竊聽到有用信息。我們首先通過放縮化簡問題，減少了魯棒參數。接下來我們利用S-引理將魯棒約束轉化為有限個線性矩陣不等式約束，此時問題等價轉化為一個半定規劃問題。最后我們運用半定規劃松弛的方法求得松弛后問題的最優解。數值實驗中，我們的算法與非魯棒模型結論近似，證明了本文算法的高效性。與文獻[13]算法進行比較，在相同的參數下，本文算法求得的中繼傳輸總功率更小，對資源的配置更加優化，同時最優解求解率也更高。

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