基于Vasicek隨機利率模型的美式期權(quán)三叉樹定價

李昊軒 賀鈺淇 張昊陽 解菲

摘 要：現(xiàn)代金融理論的核心問題是金融衍生品的定價問題，期權(quán)作為一種重要的衍生品，在投資市場中有著顯著作用，例如對沖風險、預測投機等。二叉樹模型對于期權(quán)定價理論具有指導性意義。本文首先介紹基于常數(shù)利率假設的二叉樹期權(quán)定價模型，其次推廣到三叉樹定價模型，并利用隨機微分方程和原點矩的思想，推導出三叉樹模型參數(shù)及期權(quán)價格的遞推表達，通過數(shù)值模擬驗證二者具有相同收斂性，但三叉樹定價模型更穩(wěn)定、收斂速度更快。最后考慮隨機利率模型，引入基于Vasicek隨機利率的美式期權(quán)三叉樹定價模型，更貼合目前金融衍生品市場的實際定價策略。

關鍵詞：期權(quán)定價? Vasicek隨機利率? 二叉樹模型? 三叉樹模型? Black-Scholes模型

中圖分類號：F832 文獻標識碼：A 文章編號：2096-0298（2020）08（b）--04

對于期權(quán)，Black-Scholes在1973年提出了B-S模型[1]用于歐式期權(quán)的定價，在假設股票價格行為服從維納過程、市場無摩擦等條件下開創(chuàng)性地得到了歐式期權(quán)定價的顯示表達式。然而，近年來大量的金融統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明B-S模型與實際情形存在系統(tǒng)性誤差，其主要原因是：（1）所涉及的參數(shù)大多認為是已知常數(shù)，導致在參數(shù)估計的時候往往會產(chǎn)生模型誤差;（2）假設利率在購入期權(quán)到執(zhí)行時間內(nèi)始終保持常數(shù)水平，忽略了實際情況下利率隨時間變化的波動性。20世紀70年代后期，Merton[2]在股票價格服從幾何布朗運動基礎上，加入泊松過程。針對于期權(quán)定價的數(shù)值計算，1979年Cox、Ross、Rubinstein提出了二叉樹定價模型[3]，其基本思想是將時間離散化，采用“倒推法”，利用風險中性假設對期權(quán)進行定價。1986年Phelim Boyle提出三叉樹模型[4]，與二叉樹的構(gòu)建和求解過程相似，但是從模型應用效果上具有更大優(yōu)勢。

本文在二叉樹的基礎上引入三叉樹模型，利用隨機微分方程推導出風險中性概率及上升、下降倍數(shù)的表達式，采用Wilcoxon符號秩檢驗法得到三叉樹的收斂性高于二叉樹，之后基于Vasicek隨機利率模型構(gòu)建三叉樹，通過“倒推法”給出歐式及美式期權(quán)定價的數(shù)值方法。

4 結(jié)語

本文基于常數(shù)利率，推導出風險中性下的二叉樹定價模型，緊接著在三叉樹模型中，將期權(quán)時效T進行n等分后利用隨機微分方程和原點矩的思想推導出一種三叉樹模型，并數(shù)值模擬得出二者具有相同收斂性，再使用Wilcoxon符號秩驗證說明三叉樹的收斂速度優(yōu)于二叉樹。隨機利率模型中最著名的是Vasicek模型和CIR模型，本文的創(chuàng)新之處在于將風險中性下的Vasicek隨機利率模型帶入美式期權(quán)三叉樹定價模型中，并同樣采用數(shù)值離散化的方式，利用三叉樹模型給出隨機利率下美式期權(quán)的數(shù)值解，且這種想法更貼合目前金融衍生品市場的實際定價策略。但Vasicek模型的不足之處是可能以正的概率出現(xiàn)負值。

參考文獻

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