T-S模糊非齊次馬爾可夫跳躍系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定性分析

葉志勇，羅小玉，嚴(yán) 芳

（重慶理工大學(xué)理學(xué)院，重慶 400054）

在近20年里，帶有馬爾可夫跳系統(tǒng)的控制問(wèn)題得到了廣泛的關(guān)注，已經(jīng)在制造系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)和網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)等有著廣泛的應(yīng)用［1-7］。這些已有的馬爾可夫跳系統(tǒng)大致可分為兩類(lèi)：線性問(wèn)題和非線性問(wèn)題。與線性系統(tǒng)相比，非線性馬爾可夫跳躍系統(tǒng)的計(jì)算結(jié)果更真實(shí)，具有更好的適用性。T-S模糊模型的方法也常應(yīng)用于非線性系統(tǒng)控制問(wèn)題的研究。到目前為止，T-S模糊系統(tǒng)［8］，在控制、濾波、故障檢測(cè)等方面都取得了一定的穩(wěn)定性結(jié)果。Xiao等［9］針對(duì)一類(lèi)具有參數(shù)不確定性和執(zhí)行機(jī)構(gòu)故障的T-S模糊系統(tǒng)，研究了自適應(yīng)容錯(cuò)控制問(wèn)題。Shan等［10］分析了馬爾可夫跳T-S模糊系統(tǒng)的耗散異步濾波問(wèn)題。Wu等［11］研究了T-S模糊系統(tǒng)的局部穩(wěn)定和故障檢測(cè)問(wèn)題。

針對(duì)一類(lèi)具有非齊次跳躍過(guò)程的不確定非線性離散時(shí)間馬爾科夫跳躍系統(tǒng)，Yin等［12］研究了魯棒模糊濾波問(wèn)題。其結(jié)果只關(guān)注李雅普諾夫漸近穩(wěn)定性，其行為在無(wú)限時(shí)間間隔內(nèi)被消除。實(shí)際中，動(dòng)態(tài)系統(tǒng)在有限時(shí)間區(qū)間內(nèi)的行為比在無(wú)限時(shí)間區(qū)間內(nèi)的行為更合適、更有吸引力。1961年，Dorato等［13］提出了有限時(shí)間穩(wěn)定性的概念。

本文討論了一類(lèi)帶有馬爾可夫跳躍的模糊誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性問(wèn)題。通過(guò)構(gòu)造時(shí)變的李雅普諾夫泛函，直接研究模糊誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的本身，得到非線性非齊次模糊誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)隨機(jī)有限時(shí)間有界穩(wěn)定的條件，并用一個(gè)特例驗(yàn)證了該方法的有效性和正確性。

1 基礎(chǔ)知識(shí)和模型建立

符號(hào)說(shuō)明：Rn表示n維歐式空間；AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置；E｛·｝為數(shù)理統(tǒng)計(jì)期望［0，∞］表示在［0，∞］上平方可積空間的函數(shù)；P＞0表示矩陣P是正定的；I表示適當(dāng)維數(shù)的單位矩陣；*表示該對(duì)稱矩陣中的對(duì)稱項(xiàng)。

在（M，F(xiàn)，P）空間上考慮帶有時(shí)變轉(zhuǎn)移概率的不確定離散事件的非齊次馬兒可夫跳系統(tǒng)。用T-S模糊模型表示如下：

其中 Mij為模糊集，i∈S=｛1，2，3，…，v｝，v為模糊規(guī)則數(shù)，j∈｛1，2，3，…，g｝，θ1k，…，θgk為前提變量，g是可測(cè)前提變量個(gè)數(shù)。xk∈Rl表示系統(tǒng)狀態(tài)矢量，yk∈Rf表示系統(tǒng)輸出矢量，zk∈表示系統(tǒng)受控制矢量，wk∈［0，∞］為系統(tǒng)外部干擾矢量。

此外 Ai（rk），Bi（rk），Ci（rk），Di（rk）和 Li（rk）表示依賴模式適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣；fi（·）表示依賴于時(shí)間不確定的有界范數(shù)。｛rk，k＞0｝表示在有限狀態(tài)集 Λ=｛1，2，3，…，N｝中取值的相關(guān)離散時(shí)間馬兒可夫跳隨機(jī)過(guò)程。r0表示初始模態(tài)，相關(guān)的轉(zhuǎn)移概率矩陣定義為∏（k），其中∏（k）=｛πmn（k）｝，m，n∈Λ。πmn（k）=P（rk+1=n rk=m）表示時(shí)刻k的模式m到時(shí)刻k+1的模式n的轉(zhuǎn)移概率，并且滿足如下兩個(gè)條件：

對(duì)系統(tǒng)（1）的外部干擾矢量和不確定的有界范數(shù)進(jìn)行如下假設(shè)。

假設(shè)1 假設(shè)系統(tǒng)外部干擾矢量滿足

假設(shè)2 不確定有界范數(shù) fi（·）在系統(tǒng)（1）中滿足

和

這里的 Fi（rk）、Ni（rk）是適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣，γi（rk）是具有Lebesgue可測(cè)的未知函數(shù)矩陣，滿足

基于模糊規(guī)則，馬爾科夫跳躍模糊系統(tǒng)為：

同時(shí)構(gòu)造依賴模式的有限時(shí)間的模糊濾波器為：

其中時(shí)變的轉(zhuǎn)移概率矩陣用∏（k）表示

這里的∏s是給定的矩陣，表示多面體的頂點(diǎn)s=

為方便討論，接下來(lái)引入兩個(gè)定義。

定義1［14］當(dāng)系統(tǒng)（5）中擾動(dòng)輸入 ωk=0時(shí)，對(duì)任意 k∈｛1，2，…，N｝，有定矩陣 R（r）和 0＜c1＜c2如果滿足

則稱模糊濾波誤差系統(tǒng)（5）是隨機(jī)有限時(shí)間穩(wěn)定的。這里ˉx0是狀態(tài)ˉxk的初始值。

定義2［14］當(dāng) R（r）是正定矩陣，0＜c1＜c2時(shí)，如果對(duì)所有wk≠0滿足假設(shè)（1）是隨機(jī)有限時(shí)間穩(wěn)定的，則稱模糊濾波誤差系統(tǒng)為隨機(jī)有限時(shí)間有界穩(wěn)定的。

2 主要結(jié)論

定理1 考慮模糊誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)式（5），如果存在常數(shù)μ≥1，0＜c1＜c2，對(duì)稱正定矩陣ˉPs（r），ˉPq（n）和Q（r），滿足下列條件

則稱模糊濾波誤差系統(tǒng)式（5）是魯棒隨機(jī)有限時(shí)間有界穩(wěn)定的。

證明：對(duì)系統(tǒng)式（5）構(gòu)造一個(gè)依賴參數(shù)和模式的李雅普諾夫函數(shù)

進(jìn)一步可知

結(jié)合式（6）和式（9）并運(yùn)用舒爾補(bǔ)引理得到式（10）如下：

終上所述，對(duì)所有的 k∈｛1，2，…，N｝，可得E｛ˉxTkR（r）ˉxk｝＜c2，即定理1得證。該定理為本文的主要研究，理論上得出了模糊誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是隨機(jī)有限時(shí)間有界的充分必要條件。接下來(lái)運(yùn)用一個(gè)實(shí)例驗(yàn)證該定理的有效性和正確性。

3 實(shí)驗(yàn)仿真

本節(jié)考慮一個(gè)非線性系統(tǒng)［15］如圖1所示，這里的M是質(zhì)量，D和K是系統(tǒng)的參數(shù)，系統(tǒng)的模型為 x（k+2）=-0.1x3（k+1）-0.02x（k）-0.67x3，

其中 x（k）∈［-1.5 1.5］，x（k+1）∈［-1.5 1.5］。

在T-S模糊模型表示的非線性系統(tǒng)中考慮不確定擾動(dòng)項(xiàng)，其跳躍的參數(shù)矩陣如下：

另一方面，由于本文未設(shè)計(jì)相應(yīng)的濾波器，為驗(yàn)證其有效性，選取特定的濾波矩陣如下：

結(jié)合上述參數(shù)，利用Matlab軟件對(duì)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移狀態(tài)，系統(tǒng)跳躍模式進(jìn)行模擬，模擬結(jié)果如圖2所示。

由圖2可知：該系統(tǒng)的狀態(tài)和濾波的誤差在有限的時(shí)間內(nèi)都是收斂的，進(jìn)一步驗(yàn)證定理1中結(jié)論的有效性和正確性。

另一方面，該系統(tǒng)的跳躍模式和系統(tǒng)的擾動(dòng)曲線分別如圖3、4所示。

4 結(jié)論

利用T-S模糊模型，分析研究了一類(lèi)不確定離散時(shí)間非線性馬爾可夫跳躍系統(tǒng)的隨機(jī)有限時(shí)間穩(wěn)定性。通過(guò)建立李雅普諾夫函數(shù)，給出模糊濾波誤差系統(tǒng)是隨機(jī)有限時(shí)間穩(wěn)定的充分必要條件。通過(guò)一個(gè)特例對(duì)定理1的結(jié)論進(jìn)行數(shù)值模擬，驗(yàn)證了結(jié)論的有效性和正確性。