T-S模糊非齊次馬爾可夫跳躍系統有限時間穩定性分析

葉志勇，羅小玉，嚴 芳

（重慶理工大學理學院，重慶 400054）

在近20年里，帶有馬爾可夫跳系統的控制問題得到了廣泛的關注，已經在制造系統、經濟系統和網絡系統等有著廣泛的應用［1-7］。這些已有的馬爾可夫跳系統大致可分為兩類：線性問題和非線性問題。與線性系統相比，非線性馬爾可夫跳躍系統的計算結果更真實，具有更好的適用性。T-S模糊模型的方法也常應用于非線性系統控制問題的研究。到目前為止，T-S模糊系統［8］，在控制、濾波、故障檢測等方面都取得了一定的穩定性結果。Xiao等［9］針對一類具有參數不確定性和執行機構故障的T-S模糊系統，研究了自適應容錯控制問題。Shan等［10］分析了馬爾可夫跳T-S模糊系統的耗散異步濾波問題。Wu等［11］研究了T-S模糊系統的局部穩定和故障檢測問題。

針對一類具有非齊次跳躍過程的不確定非線性離散時間馬爾科夫跳躍系統，Yin等［12］研究了魯棒模糊濾波問題。其結果只關注李雅普諾夫漸近穩定性，其行為在無限時間間隔內被消除。實際中，動態系統在有限時間區間內的行為比在無限時間區間內的行為更合適、更有吸引力。1961年，Dorato等［13］提出了有限時間穩定性的概念。

本文討論了一類帶有馬爾可夫跳躍的模糊誤差動態系統的有限時間穩定性問題。通過構造時變的李雅普諾夫泛函，直接研究模糊誤差動態系統的本身，得到非線性非齊次模糊誤差動態系統隨機有限時間有界穩定的條件，并用一個特例驗證了該方法的有效性和正確性。

1 基礎知識和模型建立

符號說明：Rn表示n維歐式空間；AT表示矩陣A的轉置；E｛·｝為數理統計期望［0，∞］表示在［0，∞］上平方可積空間的函數；P＞0表示矩陣P是正定的；I表示適當維數的單位矩陣；*表示該對稱矩陣中的對稱項。

在（M，F，P）空間上考慮帶有時變轉移概率的不確定離散事件的非齊次馬兒可夫跳系統。用T-S模糊模型表示如下：

其中 Mij為模糊集，i∈S=｛1，2，3，…，v｝，v為模糊規則數，j∈｛1，2，3，…，g｝，θ1k，…，θgk為前提變量，g是可測前提變量個數。xk∈Rl表示系統狀態矢量，yk∈Rf表示系統輸出矢量，zk∈表示系統受控制矢量，wk∈［0，∞］為系統外部干擾矢量。

此外 Ai（rk），Bi（rk），Ci（rk），Di（rk）和 Li（rk）表示依賴模式適當維數的常數矩陣；fi（·）表示依賴于時間不確定的有界范數。｛rk，k＞0｝表示在有限狀態集 Λ=｛1，2，3，…，N｝中取值的相關離散時間馬兒可夫跳隨機過程。r0表示初始模態，相關的轉移概率矩陣定義為∏（k），其中∏（k）=｛πmn（k）｝，m，n∈Λ。πmn（k）=P（rk+1=n rk=m）表示時刻k的模式m到時刻k+1的模式n的轉移概率，并且滿足如下兩個條件：

對系統（1）的外部干擾矢量和不確定的有界范數進行如下假設。

假設1 假設系統外部干擾矢量滿足

假設2 不確定有界范數 fi（·）在系統（1）中滿足

和

這里的 Fi（rk）、Ni（rk）是適當維數的常數矩陣，γi（rk）是具有Lebesgue可測的未知函數矩陣，滿足

基于模糊規則，馬爾科夫跳躍模糊系統為：

同時構造依賴模式的有限時間的模糊濾波器為：

其中時變的轉移概率矩陣用∏（k）表示

這里的∏s是給定的矩陣，表示多面體的頂點s=

為方便討論，接下來引入兩個定義。

定義1［14］當系統（5）中擾動輸入 ωk=0時，對任意 k∈｛1，2，…，N｝，有定矩陣 R（r）和 0＜c1＜c2如果滿足

則稱模糊濾波誤差系統（5）是隨機有限時間穩定的。這里ˉx0是狀態ˉxk的初始值。

定義2［14］當 R（r）是正定矩陣，0＜c1＜c2時，如果對所有wk≠0滿足假設（1）是隨機有限時間穩定的，則稱模糊濾波誤差系統為隨機有限時間有界穩定的。

2 主要結論

定理1 考慮模糊誤差動態系統式（5），如果存在常數μ≥1，0＜c1＜c2，對稱正定矩陣ˉPs（r），ˉPq（n）和Q（r），滿足下列條件

則稱模糊濾波誤差系統式（5）是魯棒隨機有限時間有界穩定的。

證明：對系統式（5）構造一個依賴參數和模式的李雅普諾夫函數

進一步可知

結合式（6）和式（9）并運用舒爾補引理得到式（10）如下：

終上所述，對所有的 k∈｛1，2，…，N｝，可得E｛ˉxTkR（r）ˉxk｝＜c2，即定理1得證。該定理為本文的主要研究，理論上得出了模糊誤差動態系統是隨機有限時間有界的充分必要條件。接下來運用一個實例驗證該定理的有效性和正確性。

3 實驗仿真

本節考慮一個非線性系統［15］如圖1所示，這里的M是質量，D和K是系統的參數，系統的模型為 x（k+2）=-0.1x3（k+1）-0.02x（k）-0.67x3，

其中 x（k）∈［-1.5 1.5］，x（k+1）∈［-1.5 1.5］。

在T-S模糊模型表示的非線性系統中考慮不確定擾動項，其跳躍的參數矩陣如下：

另一方面，由于本文未設計相應的濾波器，為驗證其有效性，選取特定的濾波矩陣如下：

結合上述參數，利用Matlab軟件對系統的轉移狀態，系統跳躍模式進行模擬，模擬結果如圖2所示。

由圖2可知：該系統的狀態和濾波的誤差在有限的時間內都是收斂的，進一步驗證定理1中結論的有效性和正確性。

另一方面，該系統的跳躍模式和系統的擾動曲線分別如圖3、4所示。

4 結論

利用T-S模糊模型，分析研究了一類不確定離散時間非線性馬爾可夫跳躍系統的隨機有限時間穩定性。通過建立李雅普諾夫函數，給出模糊濾波誤差系統是隨機有限時間穩定的充分必要條件。通過一個特例對定理1的結論進行數值模擬，驗證了結論的有效性和正確性。