基于旋滾比的電主軸軸承預緊力優化研究

閆 軒，許 濤,2，曾柄杰

(1.西安工程大學機電工程學院，陜西 西安 710600；2.西安市現代智能紡織裝備重點實驗室，陜西 西安 710600)

0 引言

高性能電主軸是目前高端數控機床核心動力部件。“中國制造2025”將提升工業核心功能部件質量、壽命和可靠性作為國家戰略任務之一。滾動軸承作為支撐部件是電主軸功能部件的重要組成部分，具有質量可靠、機構簡單和便于維護等優點[1-4]。滾動軸承動態力學性能嚴重影響電主軸運行狀況，進而影響數控機床在復雜工況下的加工精度。軸承預緊技術對電主軸高精度和高速度運行具有決定性作用，是高速電主軸核心技術之一[5-6]。軸承預緊力過大會導致軸承溫升和磨損加快，降低軸承壽命，而軸承預緊力過小又會導致電主軸剛度降低，無法穩定運轉。適當的軸承預緊力可使主軸準確定位，提高電主軸壽命、剛度和運轉精度。因此，合理的軸承預緊力對于電主軸綜合性能的提升具有重要意義[7]。

軸承預緊力一直是國內外學者的研究熱點，日本研究者Hirano在1965年做了大量實驗，研究了多種工作條件下球軸承的打滑情況，最終從實驗結果中推導出球軸承打滑閾值[8]，確定不同工況下軸承所需最佳預緊力。打滑條件也為確定軸承預緊力標準提供一種可行思路[9]。旋滾比是反映球軸承高速狀態的重要參數，是滾動體在套圈軌道接觸處自轉角速度和滾動角速度比值。在不出現打滑情況下，旋滾比越大，滾動體磨損和發熱越嚴重。球軸承在高速狀態下旋滾比要盡可能低[10]。因此用旋滾比優化軸承預緊力方案可行性較高。

目前，對于軸承預緊力確定很難給出能適用多種工況的理論解。Hirano[8]給出的軸承打滑閾值為軸承預緊力確定提供了可行路徑。本文建立了優化軸承預緊力模型，以Hirano[8]的閾值為優化標準，采用軸承旋滾比優化高速狀態下軸承預緊力。

1 角接觸球軸承動態力學模型

角接觸球軸承滾動體在高速狀態下，受離心力影響使得軸承動力學特性發生變化，進而影響電主軸系統動力學。Jones[11]以軌道控制理論為基礎建立球軸承擬靜力學分析模型。本節基于Jones[11]的軌道控制理論，建立以旋滾比優化軸承預緊力的軸承動力學模型。模型建立過程如圖1所示。

圖1 建立模型流程

1.1 高速狀態下滾動體載荷分析

角接觸球軸承在高速運轉時，滾動體受到離心力和陀螺力矩影響導致軸承內部受力發生改變。本節建立一種考慮離心力和陀螺力矩的軸承動態力學模型，來描述高速狀態下軸承內部載荷變化規律。分析軸承在運轉過程中，滾動體由于離心力和陀螺力矩作用,而導致的滾動體與軌道接觸處力學分布、相對變形和內外軌道接觸角的完整變化規律。角接觸球軸承單個滾動體受力情況如圖2所示。

圖2中，Fa為軸承預緊力；Fr為軸承徑向載荷；Fc為離心力；αi和αo分別為內外軌道實際接觸角；Qi和Qo分別為外滾動體與內外軌道的相互作用力；Ti和To分別為滾動體與內外軌道切向摩擦力；Mg為陀螺力矩。Fc、Qi和Qo可由如下公式計算[9]：

Fc=π3dmρD3n3/10 800

(1)

(2)

(3)

dm為軸承節圓直徑；ρ為滾動體密度；D為滾動體直徑；n為軸承轉速；Ki和Ko分別為內外軌道載荷-位移常數；δi和δo分別為滾動體與內外軌道接觸區變形量。

為保證軸承高速運轉中滾動體能夠平穩運行，圖2a中預緊力Fa、滾動體與外軌道相互作用力Qo和軸承徑向載荷Fr三力需滿足三角形準則，因此，滾動體受力需滿足如下條件[12]：

Fa=Qosinαo

(4)

Fr=Qocosαo

(5)

由式(1)～式(5)可知，角接觸球軸承預緊力與內外軌道接觸角和離心力密切相關。其中，離心力變化主要由于速度改變，接觸角變化也是由于軸承轉速增加。因此，在高速狀態下載荷分析中，轉速和預緊力不可忽視。為保證軸承系統能夠正常運行，預緊力需與轉速共融匹配。

1.2 摩擦磨損機理

當軸承處于無載荷狀態下，內外軌道曲率中心距離為BD，且BD=ri+ro-D(ri為內軌道曲率半徑，ro為外軌道曲率半徑)。在軸向載荷作用下，內、外軌道曲率中心之間將出現接觸變形δi和δo，且隨著軸向載荷的增加而增大，如圖3a所示。圖3b為軸承每個滾動體相對角位置，即滾動體方位角。

圖3 靜載荷作用下不同位置滾動體-軌道接觸

角接觸球軸承在回轉過程中，會出現離心力作用在滾動體上導致滾動體與內外軌道接觸角不同現象，導致內外軌道曲率中心之間連線不再與BD共線，而成為一條折線，如圖4所示[13]。根據Jones的外軌道控制理論，假設外軌道曲率中心在離心力與載荷聯合作用時保持不變，內軌道曲率中心位置發生改變，導致滾動體中心位置也發生改變[11]。在滾動體任意方位角j處，滾動體中心最終位置與外軌道曲率中心距離為

Δoj=(fo-0.5)D+δoj

(6)

圖4 載荷作用后滾動體中心和軌道曲率中心示意

同理，滾動體中心與內軌道曲率中心最終位置距離為

Δij=(fi-0.5)D+δij

(7)

其中，fi和fo計算方法為

(8)

當角接觸球軸承只受軸向預緊力作用時，軸承內、外軌道之間會產生軸向位移δa，如圖4所示。在滾動體任意方位角處，內、外軌道曲率中心軌跡軸向和徑向距離分別為

(9)

為了便于分析，在圖4中引入新的變量X1和X2，在滾動體任意方位角處，有

(10)

根據勾股定理可得

(11)

據圖2c所示滾動體受力情況，可得平衡方程為

(12)

其中，切向摩擦力T計算方法如下：

T=Mgj/D

(13)

(14)

(15)

(16)

為方便求解方程組(12)，需建立軸承軸向平衡條件：

(17)

Z為角接觸球軸承滾動體個數。在使用Newton-Raphson[14]法計算出每個軸承滾動體X1j、X2j、δij和δoj，并確定離心力Fc和陀螺力矩Mgj后，聯立式(10)～式(17)組成方程組。使用數值迭代法求得αi和αo的解。

1.3 角接觸球軸承滾動體打滑準則

在高速狀態下，軸承滾動體由于離心力作用導致滾動體與內軌道赫茲接觸面積隨轉速增加而減小[8，12-13]。此時，滾動體打滑效應因接觸面積減小而增加。當轉速到一定數值后，滾動體會與內軌道完全隔離，出現打滑現象。滾動體打滑會引起摩擦增加，不利于整個回轉系統工作[9]。因此，電主軸預緊力將直接影響軸承內部摩擦狀態。Hirano[8]針對軸承滾動體打滑效應在不同工況下進行多次試驗研究，最終推導出軸承打滑閾值：

(18)

在確定軸承參數和轉速后，根據圖5所示算法并將該閾值作為約束條件，即可計算出合適的預緊力。

圖5 數值迭代法流程

2 滾動體軌道和自旋速度分析

(19)

圖6 滾動體角速度矢量分解示意

(20)

(21)

假設滾動體與軌道接觸處沒有滑動，則有：

(22)

(23)

將同樣的方法應用于外軌道，可得到滾動體自旋速度ωb大小的另一個表達式為

(24)

γ′=D/dm,γi=D·cosαi/dm，γo=D·cosαo/dm。β為軸承滾動體姿態角，計算方法為

(25)

聯立式(23)和式(24)，可得到滾動體軌道速度ωc和自旋速度ωb，即

(26)

假設滾動體相對于內軌道角速度ωbi與CiO1共線，且O1為相對速度瞬心點。ωbi應為接Ci觸點處內軌道相對于保持架角速度與滾動體角速度的差，即

ωbi=ωb-(ωi-ωc)

(27)

同理，在接觸點Co處，滾動體相對于外軌道角速度為

ωbo=ωb-(-ωc)

(28)

(29)

則內、外軌道旋滾比(RSRi和RSRo)計算公式為

(30)

3 案例分析

以角接觸球軸承B7007C為例，研究滾動體內、外軌道旋滾比與第2節所述閾值之間關系，分析軸承在不同工況下電主軸軸向預緊力優化方法。軸承主要參數如表1所示。

表1 B7007C軸承主要參數

根據該軸承主要參數，以及第1和第2節編寫了MATLAB腳本文件，計算軸承旋滾比。圖7為滾動體內軌道旋滾比計算結果。由圖7可以明顯看出，不同速度旋滾比變化趨勢一致，同一預緊力下，隨著速度增加內軌道旋滾比呈增加趨勢。隨著預緊力的增加，不同速度下旋滾比逐漸與靜止狀態下旋滾比曲線重合。

圖7 滾動體內軌道旋滾比

圖8為內軌道旋滾比隨預緊力和轉速變化三維圖。圖8中，黑線代表Hirano發現的閾值，即滾動體打滑臨界狀態。根據閾值計算內軌道旋滾比大小，再根據旋滾比大小得出對應轉速和預緊力值，即優化結果。該條曲線將圖像劃分為2個區域，即打滑區域和不打滑區域。電主軸在實際運行過程中，軸承預緊效果應達到圖8所示不打滑區域，但預緊力過大會使摩擦加劇，加大滾動體與軌道之間磨損。因此，圖8中曲線所示優化結果既能保證軸承工作效率，又能最大限度降低軸承內部磨損。

圖8 內軌道旋滾比預緊力優化結果

圖8中，曲線對應內軌道旋滾比范圍為0.12～0.14。內軌道旋滾比處于一個相對穩定狀態，因此旋滾比大小可以反映軸承預緊效果。

4 結束語

基于外軌道控制理論，根據角接觸球軸承高速運行過程中滾動體打滑狀態，結合Hirano發現滾動體打滑閾值，建立了一種以旋滾比優化軸承預緊力動力學模型。數字仿真結果顯示：根據打滑狀態可以得出角接觸球軸承不同轉速下最佳預緊力;當軸承處于最佳預緊力下，不同轉速和預緊力狀態下內滾道旋滾比取值穩定在0.12～0.14之間；本文研究可為實際的工程操作提供理論指導。