高中藝體生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)落實策略

福建省福安市第六中學(xué) 林主樹

近些年,高考藝體生的數(shù)量每年增長接近10%，但最終錄取率不高。2019 年全國藝體類考生報名人數(shù)約為 100萬，占總考生人數(shù)的九分之一。而 這100 萬考生中，約70%的人與本科院校失之交臂，最主要的原因就是文化課成績差。藝體生除高一、高二日常專業(yè)訓(xùn)練外，他們高三上學(xué)期的時間幾乎都花在專業(yè)課上，導(dǎo)致文化課成了絕大部分藝體生的薄弱點。而很多高校都提升了對文化課的要求，這也對藝體生提出了更高要求。文化課中，數(shù)學(xué)是藝體生普遍害怕的科目，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)弱、建模意識淡薄、復(fù)習(xí)時間短等因素給落實數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)造成了困難。落實藝體生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，可以培養(yǎng)學(xué)生動手能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，有利于當(dāng)前高中教育教學(xué)的整體發(fā)展。

一、高中數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的主要含義

（一）基于《數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》的高中數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版）指出：“數(shù)學(xué)教育要引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界。通過數(shù)學(xué)建模破譯數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活緊密聯(lián)系的密碼，提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。”數(shù)學(xué)建模是將現(xiàn)實問題抽象為數(shù)學(xué)問題（發(fā)現(xiàn)問題），用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題（提出問題），用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型，通過計算求解模型并不斷驗證完善模型，最終解決實際問題的素養(yǎng)。新教材中設(shè)置了數(shù)學(xué)建模活動，如：必修一第四章末設(shè)置了“建立函數(shù)模型 解決實際問題”，通過具體實例概括了建模的基本過程，闡述了包含團隊組建、開展研究、報告撰寫、交流展示等建模活動具體要求，旨在讓學(xué)生以小組活動形式體驗建模過程，落實高中數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

（二）基于高考數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)建模

從高考評價體系及新課標(biāo)來看，高考數(shù)學(xué)主要考查數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索、理性思維等學(xué)科素養(yǎng)。近年高考試題對數(shù)學(xué)建模的考查已提升為知識、方法、能力的綜合考查，考題具有綜合性、現(xiàn)實性、文化性、創(chuàng)新性等特征。題目閱讀量大，多以數(shù)學(xué)文化及實際生活為背景，知識點（模型）豐富，能力要求高，強調(diào)數(shù)學(xué)建模及建模意識。這是通過對現(xiàn)實問題情境進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，建立概率統(tǒng)計、函數(shù)、方程、不等式等模型來刻畫問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，通過數(shù)學(xué)計算尋找試題正確答案，考生應(yīng)具備用數(shù)學(xué)思想方法解決實際問題的能力。試題中沒有數(shù)學(xué)建模活動，卻滲透著數(shù)學(xué)建模思想。

二、高中藝體生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)落實策略

（一）注重利用教材，掌握基礎(chǔ)模型

教材中的每一章基本會由一個實際情境問題引入，例如：必修五第一章《解三角形》章頭以“嫦娥奔月”的神話為背景，提出地球與月球之間的距離是怎么測出來的？教學(xué)中，教師帶領(lǐng)學(xué)生感受祖國航空航天事業(yè)蓬勃發(fā)展的同時，可引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，為利用解三角知識解決天文測量、航海測量和地理測量等數(shù)學(xué)模型打造基礎(chǔ)。每一個問題的解決就是一個簡單的數(shù)學(xué)建模過程。高中數(shù)學(xué)課本中主要有概率統(tǒng)計、數(shù)列、函數(shù)(含三角函數(shù)）、不等式、立體幾何等幾種模型，教師在教學(xué)中應(yīng)注重教材利用，有意識地引導(dǎo)學(xué)生體驗數(shù)學(xué)建模，掌握基礎(chǔ)模型。如儲蓄問題、信用貸款問題可結(jié)合在數(shù)列教學(xué)中，給學(xué)生一些數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)建模的初步體驗。新教材中編排了數(shù)學(xué)建模活動，通過小組合作形式讓學(xué)生體驗發(fā)現(xiàn)問題，解決問題的過程，感受數(shù)學(xué)建模思想方法。學(xué)生是建模活動的主體，在建模中學(xué)會交流合作，必要時教師可作適當(dāng)?shù)狞c撥指導(dǎo)，注重學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和探究性學(xué)習(xí)的能力的培養(yǎng)。

（二）加強閱讀訓(xùn)練，讀懂模型背景

高考試題中的數(shù)學(xué)建模多以數(shù)學(xué)文化為背景，源于現(xiàn)實生活、數(shù)學(xué)著作等，題目閱讀量大，有專業(yè)術(shù)語，有文言文，有學(xué)科知識間的交匯，只有正確閱讀理解，才有可能將模型背景進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象。教學(xué)課堂實踐中，教師必須重視加強學(xué)生閱讀訓(xùn)練，提升學(xué)生閱讀理解能力的同時使他們學(xué)會將題目內(nèi)容轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，弄清已知與未知，找出題目關(guān)鍵量，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，實現(xiàn)從“發(fā)現(xiàn)問題”到“提出問題”。閱讀訓(xùn)練中充分發(fā)揮學(xué)生主體地位，引導(dǎo)學(xué)生借助圖像、表格等進(jìn)行分析、聯(lián)想、類比。同時豐富課堂閱讀材料，多接觸實際生活中的數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)著作。

圖1

（三）關(guān)注數(shù)學(xué)文化，發(fā)展建模思維

數(shù)學(xué)文化泛指數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)發(fā)展及數(shù)學(xué)教育中的人文成分，包含數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，數(shù)學(xué)與各文化間的聯(lián)系等。數(shù)學(xué)來源于實際生活，現(xiàn)實生活中蘊含著許多數(shù)學(xué)現(xiàn)象,如銀行存款利率、商品銷售利潤、乘車問題、游戲規(guī)則、家電省電、醉駕酒精檢測等,學(xué)生容易對其產(chǎn)生興趣。教學(xué)中教師可以細(xì)心捕捉,因地制宜地收集、整理適合學(xué)生使用的校本建模素材，用貼近生活實際的問題情境來激發(fā)學(xué)生的建模興趣。數(shù)學(xué)建模問題要合理、有趣、創(chuàng)新，要具備一定的開放性與可擴展性,要能激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲。通過數(shù)學(xué)建模體驗,解決現(xiàn)實生活中的問題，發(fā)展學(xué)生建模思維。以2019 年高考全國I 卷理科數(shù)學(xué)題6 為例：考題以《周易》中“卦”為背景，給出一重卦示意圖，若從所有重卦中隨機取一重卦，求該重卦恰有3 個陽爻的概率。 題目背景為古代典籍《周易》，屬于概率與統(tǒng)計模型，弘揚傳統(tǒng)文化，體現(xiàn)我國古代的哲學(xué)思想，貼近現(xiàn)實生活。

隨著信息技術(shù)的迅速發(fā)展，數(shù)學(xué)在自然科學(xué)、工程技術(shù)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟、金融、生物、交通、環(huán)境等領(lǐng)域都與數(shù)學(xué)緊密聯(lián)系。在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中應(yīng)該重視選用數(shù)學(xué)與物理、化學(xué)、生物、美學(xué)等知識相結(jié)合的跨學(xué)科問題。以學(xué)科知識的交匯為背景，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決問題的能力。例如：三角函數(shù)模型與物理中振動圖像，排列組合與生物的基因組成等，這種數(shù)學(xué)模型可以加深學(xué)生對其他學(xué)科知識的理解，也可以更好地發(fā)展學(xué)生建模思維。再如：2019 年高考全國II 卷理科數(shù)學(xué)題4，以嫦娥四號探測器“登月”為背景，提出為了解決探測器與地面的通訊聯(lián)系，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，該衛(wèi)星沿著圍繞地月拉格朗日平衡點的軌道運行，月球到平衡點的距離為r，根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，求 r 的近似值。題目中涉及地理學(xué)科中地月拉格朗日，物理學(xué)科中的牛頓定律和萬有引力。在學(xué)科滲透的同時，考查學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行近似估算。

（四）結(jié)合藝體生特點，發(fā)揮建模優(yōu)勢

2019 年高考數(shù)學(xué)全國卷結(jié)合學(xué)科知識，展示數(shù)學(xué)之美。“斷臂維納斯”探討人體黃金分割之美，將美育教育融入數(shù)學(xué)教育。黃金分割比例是建筑和藝術(shù)中最理想的一種比例，極具美學(xué)價值。對于高中美術(shù)藝考生來講，黃金分割比是個既基礎(chǔ)又熟悉的概念。在“五育并舉”的教育方針指引下，高考中更注重“體”“美”的滲透。藝體生很多時間花在專業(yè)訓(xùn)練上，因此他們對“體”“美”為背景的數(shù)學(xué)模型體會更深。空間想象能力也是美術(shù)生長期畫素描石膏幾何體練就的“特殊技能”。如2019 年高考全國II 卷理科數(shù)學(xué)題16：題目介紹印信是金石文化的一個代表，南北朝時期官員獨孤信的印信形狀是圖2 所示的“半正多面體”。該空間幾何體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美。同時給出一個棱數(shù)為48 的半正多面體（圖3），該幾何體的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且該正方體的棱長為1.則此半正多面體共有幾個面？其棱長為多少？

圖2

圖3

本題以中國悠久的金石文化為背景，展現(xiàn)空間幾何體的對稱美，立意新穎，空間想象能力要求高，美術(shù)生“特殊技能”剛好派上用場。

三、總結(jié)

應(yīng)用數(shù)學(xué)去解決現(xiàn)實問題時，數(shù)學(xué)建模是十分關(guān)鍵的一步。教學(xué)實踐中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將錯綜復(fù)雜的實際問題抽象、簡化為數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而分析和解決問題。藝體生是特殊群體，在數(shù)學(xué)建模上存在劣勢，也存在獨特的優(yōu)勢，如何因材施教也是教學(xué)智慧的體現(xiàn)。因此，夯實的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)、敏銳的數(shù)學(xué)建模意識、必備的數(shù)學(xué)建模能力都是藝體生高考提分和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)落實的關(guān)鍵。高中藝體生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)落實正如建模本身，需要不斷實踐與完善。