基于特征值的動態信道化子帶頻譜檢測改進算法

張春杰，周振宇，司偉建，張佳豪

哈爾濱工程大學 信息與通信工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001

隨著科學技術的發展，現代電子戰信號的電磁環境變得越發復雜[1-2]，接收機作為電子戰中無線信號接收的重要系統，其接收到的信號往往具有非合作、先驗信息未知、接收信號中所包含的子帶信號數目、帶寬及位置均未知的特點[3]。為了能夠動態地適應電子戰系統中低截獲概率(low probability of intercept，LPI)雷達信號等大瞬時帶寬的信號在傳統的均勻寬帶數字信道化接收機中存在的跨信道的情況，動態數字信道化接收機應運而生。在動態數字信道化接收機中，正確地對子帶信號的頻譜實施檢測，判斷子信道中信號的有無，繼而對存在信號的子信道進行綜合，重構出相應的原始信號，實現寬帶信號中多個信號的提取與分離是動態數字信道化技術的關鍵，對后續的信號處理起著關鍵作用[4]。

頻譜檢測作為動態信道化結構中的重要組成部分，對子帶信號檢測的正確與否，影響著整個接收機的性能，是后續信號處理的基礎。以往的經典頻譜檢測處理方法主要包括能量檢測法(energy detection，ED)[5]、匹配濾波法(matched filtering detection，MFD)[6]以及循環平穩特征檢測法(cyclostationary feature detection，CFD)[7]。ED 檢測方法的優勢是實現簡單，無需已知信號的先驗信息，但是需要根據噪聲估計檢測門限，受噪聲的可變性影響較大。MFD 方法的優點是檢測精度高，在一定條件下是最佳檢測，但是其需要了解信號和噪聲的先驗信息，這在現代電子戰中的雷達信號接收中是很難做到的。而CFD 方法的優點是抗噪性能強，但是其實現過程復雜，進行信號檢測的時間較長，不具備實時性。近年來，隨機矩陣理論(random matrix theory, RMT)作為一種新的理論，其發展促進了人們對頻譜檢測技術的研究[8-9]。基于隨機矩陣理論的頻譜檢測方法，通過分析接收信號的采樣協方差矩陣的特征值來進行頻譜檢測，具有實現簡單、不需要先驗信息以及檢測效果好的優點而受到學者們的關注，并出現了包括最大最小特征值之比(maximum-minimum eigenvalue，MME)[9]、最大最小特征值之差(different between the maximum and minimun eigenvalue，DMM)[10]等優秀的算法及其相應的改進算法。然而，已有的算法大多根據最大特征值所具有的分布規律確定門限，獲得的門限精度有待進一步提升，并且他們的檢驗統計量通常只利用到了采樣協方差矩陣的最大特征值和最小特征值的信息，其余特征值因沒有用到而被舍棄，與此同時，最大最小特征值并不能完整地反饋出采樣協方差矩陣的所有特征值信息，因而會造成資源浪費，也會對性能造成相應的損失。同時，特征值之差一類算法的最終門限表達式與噪聲有關，檢測結果受噪聲影響。

從大數據的觀點來看，根據系統觀測采集到的所有數據進行分析和計算，能夠從高維度的角度提取到多維數據的固有屬性，從而能夠更加清晰準確地認識到系統的內部特性，并以此做出相應的判決。對于信號的采樣協方差矩陣來說，其所有的特征值共同反映了信號的特征信息，與只利用最大和最小特征值的信息相比較，對全部特征值進行合理利用將能獲得更好的檢測效果。基于以上想法，本文利用隨機矩陣理論的最新研究成果，應用更為精確的最小特征值的分布[11]，結合采樣協方差矩陣的全部特征值信息，將判決統計量表示為平均特征值與最小特征值之比的形式，在2 種不同條件下推導出了更優的檢測門限表達式，提出了2 種基于特征值的改進檢測方法:平均特征值與最小特征值之比(average eigenvalueminimum eigenvalue，AEME)算法和性能更優的平均特征值與最小特征值之比(improved average eigenvalue-minimum eigenvalue，IAEME)算法。給出了算法的推導過程和算法流程，并通過Matlab仿真實驗與其他文獻中已有的方法進行對比分析，驗證了所提算法的性能。

1 基于特征值的動態信道化子帶頻譜檢測模型

基于特征值的動態信道化子帶頻譜檢測結構可以表示為如圖1 所示。

圖1 基于特征值的動態信道化子帶頻譜檢測結構

假設系統信道個數為K，輸入信號x(n)經過分析濾波器組后可以得到K路子帶輸出，將第i路子帶輸出信號表示為xi(n),i=0,1,···,K-1，并且xi(n)由信號和噪聲2 部分組成:

式中:si(n)為第i路子信道在第n個時刻采樣得到的信號；ωi(n)為第i路子信道中的高斯噪聲，其均值為0、方差為 σ2。頻譜檢測的目的是從輸出子帶信號數據中，根據一定的判決準則，判斷子帶中信號的“有”或“無”，繼而為后續信號重構提供依據。因而，對動態信道化各個子帶的頻譜檢測可

以表述為一個二元假設檢驗問題:

式中:H0和H1分別表示信道中僅包含噪聲和信道中除了噪聲外還有有用信號存在的情況；n=0,1,···,L-1。

當用某種檢測算法對頻譜進行檢測時，需要對各子帶輸出信號的觀測數據進行處理，得到根據某種數據形式計算得到的檢驗統計量T[xi(n)]，假設 γ為檢測門限，則判決規則可以表示為

2 單通道信號的多通道轉換

在動態數字信道化接收機中，各子帶的輸出數據通常都是單通道形式的，即為一個1×L的觀測數據向量。為了獲得各個子帶輸出信號的采樣協方差矩陣及其特征值，需要將單通道信號進行多通道轉換，將單通道接收轉換為多通道接收的形式，即將各個子帶輸出的1×L維觀測數據向量轉換為M×N的數據矩陣形式，常用的方法有延時擴展法[12]、經驗模態分解法[13]和間隔采樣法[14]等。

延時擴展法采用延時處理的方式將觀測數據進行延時獲得多段數據，以此構造虛擬通道，進而將各個通道的數據組合在一起構造接收數據矩陣。其優點是操作簡單且計算量小，但是需要的采樣點數較多。

經驗模態分解法以信號本身的局部時間特性為依據，將要處理的信號分解為一系列固有模態函數(intrinsic mode function，IMF)的和的形式，從而使一般復雜的信號能夠分解為單分量信號。一個單通道的觀測信號經過經驗模態分解后，可以將其擴展成為IMF 分量與殘余量組合的多通道形式，進而獲得數據矩陣。其優點是能夠自適應地將信號分解為多通道接收形式，但是其計算復雜度高，不利于數據的實時處理。

所謂間隔采樣法，是指輸入信號為過采樣信號，對輸入信號進行重采樣可以獲得新的數據向量，用重采樣得到的數據向量即可構成多維矩陣。假設輸入的單通道接收觀測數據向量為x(n),n=0,1,···,L-1，對其以周期T進行重采樣，其中T滿足T/Ts=M，M為整數，Ts為x(n)的采樣周期，則能夠得到M個新的采樣序列xi(n),i=1,2,···,M。

因而可以通過間隔采樣把觀測信號的單通道接收數據轉換為多通道的接收形式。

式中，n=0,1,···,N-1。新的采樣序列的采樣率為原序列的1/M，圖2 給出了將一個過采樣信號通過間隔采樣法得到多個新序列的例子，圖中M=3。

由于信道化處理中的分析濾波器組的輸出子帶帶寬遠小于輸入信號帶寬，每個子帶的輸出均為過采樣信號，因此，間隔采樣法較適合信道化處理中的信號維數轉換。

對第i個子帶的輸出信號xi(n)采用間隔采樣法進行處理，能夠得到如下所示的觀測數據矩陣:

式中xim(n),m=1,2,···,M表示單通道信號xi(n)進行單通道信號的多通道轉換后得到的每一個通道的信號，每個通道的信號含有N個采樣點。

3 檢驗統計量的確定

由式(1)可以求得第i路子帶輸出的采樣協方差矩陣為

當H0成立的條件下，由于信道中只存在噪聲，則第i路子帶的采樣協方差矩陣可以表示為

根據隨機理論可知，此時的Rix(N)是一個Wishart隨機矩陣。

對Rix(N)進行特征分解能夠獲得其M個特征值分別為λ1,λ2,···,λM，在H1的情況下，其各個特征差矩陣Rix(N)=Riω(N)，因此在特征分解后可以獲得其M個相等的特征值λi=σ2。因此在理想情況下，H0和H1的Rix(N)特征值的平均值分別表示為σ2和+σ2，而最小特征值都是 σ2。

基于上述分析，我們利用特征值的平均值與最小特征值的差異，采用二者的比值作為檢驗統計量進行頻譜檢測。則檢驗統計量可表示為

式中i=0,1,···,K-1。

顯然，當采用檢驗統計量T進行頻譜檢測時，根據式(3)，檢測門限 γ的值應該取1，判決規則為

然而，γ=1是在理想情況下得到的門限。在實際的頻譜檢測過程中，由于采樣數據的長度是有限的，因而根據式(2)估計得到的采樣協方差矩陣Rix(N)只是近似等于其統計協方差矩陣。因而在信道中僅存在噪聲時，檢驗統計量T的值不會像式(4)中所表述的那樣為一個常量，二者之間會存在一定的偏差，T的值會以一定的概率密度分布的形式出現。因而，實際的判決規則為

算法檢測性能的優劣取決于 γ的取值，由于事先我們并不知道各個子帶輸出的信號中是否存在有用信號，即我們無法獲得有用信號的任何先驗信息，因而在H1情況下，很難通過檢測概率Pd=P{T＞γ|H1}確定檢測門限的取值。由于在H0情況下采樣協方差矩陣Rix(N)是一個Wishart 隨機矩陣，根據文獻[15-17]可知，Wishart 隨機矩陣的特征值具有極限收斂特性和滿足Tracy-Widom 分布的特性，因而可以通過分析給定虛警概率Pf=P{T＞γ|H0}的概率分布情況獲得檢測門限。

4 檢測門限的確定

Wishart 隨機矩陣的聯合概率密度表達式復雜度很高，根據文獻[15-17]，利用隨機矩陣的漸進理論，可以得出Wishart 隨機矩陣的特征值滿足下面的幾個定理。

定理1假設噪聲為實信號，令

定理2假設噪聲為復信號，令

定理3根據M-P 律，

伴隨著人們對于隨機矩陣理論研究的深入，學者們指出當M和N的取值趨向于無窮時，Wishart隨機矩陣的特征值的最小值 λmin也滿足Tracy-Widom 分布，并且已經證明了最小特征值的極限分布函數具有比最大特征值的極限分布函數更加準確、性能更加良好的特性，尤其是在較低維度情況下[18]。

定理4假設噪聲為實信號，令

式中μ和 υ的表達式參照定理4 即可獲得。

從判決門限的表達式可以看出，檢測門限同樣與噪聲無關，且只與虛警概率Pf以及各個子帶的輸出信號經單通道信號的多通道轉換后得到的觀測數據矩陣的行數M和列數N有關，因而算法的檢測性能同樣不受噪聲的影響。

Tracy-Widom 分布函數的表達式非常復雜，其1 階累積分布函數F1(t)和2 階累積分布函數F2(t)可以分別表示為[19]。

由式(11)～(13)可以看出，要獲得Tracy-Widom分布的閉式表達式非常困難。為了能夠方便地使用Tracy-Widom 分布的累積分布函數，在文獻[17]中Johnstone 等采用級數展開的方法求得了它的一些離散值，如表1 所示。

表1 Tracy-Widom 分布的1 階和2 階函數數值

這樣就可以通過查找表的方式方便地使用Tracy-Widom 分布的函數值。

上述討論均基于實信號，當信號為復信號時，只需將F1(t)換成F2(t)，并將門限表達式中的 μ和 υ參照定理5對應換成 μ′和 υ′即可。

5 算法步驟

綜合前面的內容可知，AEME 和IAEME 這2 種算法的檢驗統計量是相同的，但檢測門限不同，因而可以將2 種算法的執行步驟統一歸納如下:

1)對信道化輸出的第i路子帶信號經單通道信號的多通道轉換后，得到M×N維的觀測矩陣，并構造采樣協方差矩陣Rix(N)；

2)對各子帶信號的采樣協方差矩陣Rix(N)進行特征分解，求出特征值的平均值和當前子帶的最小特征值，進而構造算法相應的檢驗統計量T；

3)根據實際情況設定的虛警概率Pf，確定相應算法的檢測門限 γ的表達式；

4)根據相應的檢測算法的判決表達式確定信號是否存在，即當T＞γ時，判斷存在信號；否則當T≤γ判斷不存在信號。

6 仿真實驗與性能分析

為了驗證本文所提算法的有效性，本節在Matlab仿真實驗平臺上對算法進行仿真并對算法的性能進行分析。

6.1 檢測門限的有效性

設置單通道信號的多通道轉換之后的行數M=5，虛警概率為Pf=0.01。在不同的采樣點數N的條件下，算法的檢測門限與只存在噪聲而不存在有用信號的情況下的檢驗統計量λˉ/λmin的關系，如圖3 所示。

圖3 檢測門限的有效性

從圖中3 可以看出，在虛警概率較低時，IAEME算法的門限值與AEME 算法的門限值非常接近，但IAEME 算法的檢測門限相比較AEME 算法的檢測門限更低，且二者隨著采樣點數的增加差距逐漸減小。另一方面，當信道中只存在噪聲的情況下，根據式(5)可知，檢驗統計量應該小于等于算法的檢測門限值。另外，二者的檢測門限值曲線均位于檢驗統計量的上方，由于存在一定的虛警概率，檢驗統計量中有少數點越過了IAEME 算法的檢測門限。

由于2 種算法的檢驗統計量相同，但IAEME算法的檢測門限更低，因而在實際的檢測中，IAEME 算法會獲得更好的檢測效果。從圖中還可以了解到，由于AEME 算法距離實際的檢驗統計量較遠，雖然其能獲得更低的虛警概率，但其是以犧牲檢測性能為代價，不利于實際檢測的應用。從圖中還可以看出，算法的檢測門限隨著采樣點的變化也在動態變化，因而在實際檢測中能夠動態地適應不同的檢測情況，驗證了算法的檢測門限的有效性。

6.2 算法性能的比較分析

為了確定本文所提方法的可行性和有效性，對本文提出的基于特征值的頻譜檢測算法AEME以及IAEME 與已有文獻中的基于特征值的頻譜檢測算法MME、AME、MMAE、MEMAE、IMEMAE和MMGAE[20]等幾種算法的檢測性能進行對比，考察在一定的虛警概率Pf下，算法所能達到的統計檢測概率Pd作為指標來評價算法的性能。設置系統帶寬為B=750 MHz，根據帶通采樣定理可以將系統的采樣頻率設置為fs=1 500 MHz，按照圖1中的動態數字信道化結構，將監視頻帶劃分為K=32個子帶。輸入信號設置為線性調頻信號，起始頻率為1 225 MHz，終止頻率設置為1 315 MHz。信號采用圖1 所示的動態數字信道化結構進行處理后，采用本文提出的算法對子帶頻譜進行檢測。

設置每個子信道的采樣點數L=2 880點，虛警概率為Pf=0.01，觀測數據矩陣的行數設置為M=6，則每行的采樣點數為N=480。設置信噪比變化步長為1 dB，進行10 000 次的蒙特卡洛仿真實驗，可以得到不同算法的檢測概率隨信噪比變化的情況，如圖4 所示。

圖4 不同算法在不同信噪比下的檢測性能曲線

從圖4 中能夠看出，隨著信噪比的提升，各個算法的檢測性能均呈現出上升趨勢。本文提出的2 種算法采用特征值的均值 λˉ與最小特征值λmin的比值作為檢驗統計量，由于采用平均值，引入了信號更多的特征信息，因而會使檢測性能得到提升。同時在檢驗統計量中采用了最小特征值的極限分布，由于對最小特征值的極限分布在低維度下的描述更為準確、性能更加良好，因此同樣會使算法的檢測性能得到提升。同時可以看出，IAEME 算法的檢測性能最好，在信噪比為-10 dB 時，其檢測概率就已經接近90%；其次為AEME 算法，由于其在檢驗統計量相同的情況下，檢測門限值高于IAEME 算法，因而其檢測性能會略差。本文提出的2 種算法隨著信噪比的提升其檢測性能的增長速度相對其他算法而言相對較慢，這是因為在采樣點數有限的情況下，利用特征值的均值改進檢驗統計量相當于降低了檢驗統計量數值的大小，間接使其對檢測門限的敏感性降低。

由于算法的檢測門限表達式與信道化子帶信號間隔采樣后得到的M×N維觀測矩陣的行數M和列數N有關，因此可將M的值固定為M=6，通過改變N來對比不同算法的檢測性能。設置虛警概率Pf=0.01，信噪比SNR=-10dB。將N的變化范圍設置為300～3 000，每次增加60 點，進行10 000次蒙特卡洛仿真實驗。可以得到不同算法的檢測概率與每個子信道間隔采樣之后的采樣點數N之間的變化情況，如圖5 所示。

圖5 不同算法的檢測性能與子信道采樣點數的關系曲線

從圖5 中可以看出，隨著子信道采樣點數的增加，各個算法的檢測性能均得到了提升，由于在檢驗統計量中采用了最小特征值的極限分布，并且對最小特征值的極限分布在低維度下的描述更為準確、性能更加良好，因此會使算法的檢測性能得到提升。因而與已有的算法相比，新提出的2 種算法在較低的采樣點數下會獲得更高的檢測概率。其中IAEME 算法的性能最好，在子信道間隔采樣后的的采樣點數N為540 點時，算法的檢測概率就可以達到90%以上；而AEME 算法的性能稍差一些。本文提出的2 種算法在小樣本的應用情況下能夠獲得更好的檢測效果。

將N的值固定為N=480，通過檢測概率與每個子信道的觀測矩陣的行數M值的關系來對比不同算法的檢測性能。設置虛警概率Pf=0.01，信噪比 SNR=-10dB。將觀測矩陣行數M的變化范圍設置為3～10，步長為1，進行10 000 次蒙特卡洛仿真實驗。可以得到不同算法的檢測概率與每個子信道的觀測矩陣的行數M之間的關系如圖6 所示。

圖6 不同算法的檢測性能與M 值的關系曲線

從圖6 中可以看出，隨著M數值的增加，相當于間接增加了各個子信道的采樣點數，因而幾種算法的檢測性能均得到了提升。本文提出的2 種算法在構建檢驗統計量時采用了特征值的平均值，由于采用特征值平均值使得觀測數據矩陣的所有特征信息得以利用，其所包含的矩陣特征要優于只采用其中一個特征值所包含的信息，能夠更加完整地體現矩陣的特征。并且隨著M數值的增加，矩陣的特征值數量也在隨之增加，采用特征值的平均值構建檢驗統計量進行頻譜檢測的優勢會更加明顯，因而在相同的M值下會獲得更高的檢測概率。

綜上，通過以上8 種算法的仿真對比實驗可知，8 種算法隨著信噪比SNR、觀測矩陣的行數M以及列數N的增加其性能均呈上升趨勢，且新提出的2 種方法在較低信噪比時的性能顯著優于其他6 種方法，在較低的信噪比下能夠獲得較高的檢測性能。同時，在M值和N值較低時，新算法的性能也優于其他算法。其中IAEME 算法的檢測性能在所有算法中最高，具有明顯的優越性，在低信噪比、低采樣點數以及低M值的條件下具有更高的檢測概率和可靠性。仿真結果證明了本文所提出的方法是有效的。

本文提出算法的檢測門限表達式只與虛警概率Pf、信道化子帶信號間隔采樣后得到的觀測矩陣的行數M和列數N有關，與噪聲無關，在檢測時不需要已知信號和噪聲的任何先驗信息即可完成檢測，克服了噪聲變化對檢測性能的干擾，是一種盲檢測方法。同時從算法的檢測門限表達式可以看出，算法能夠根據實際情況需要隨著虛警概率、觀測矩陣的行數和列數進行調整獲得不同的檢測判決門限，可以適應不同的應用場景。由于信號與噪聲的特征值差異在任何情況下都是存在的，不論何種形式的信號，都可以通過特征值進行信號與噪聲之間的區分，因此該方法對多種信號均具有檢測性能，具有可以適應復合信號檢測的優點。

7 結論

本文對基于特征值的頻譜檢測算法進行了研究，提出了2 種基于特征值的動態信道化子帶頻譜檢測改進算法，給出了算法的詳細推導過程，并通過仿真實驗驗證了算法的有效性。

1)算法綜合考慮了采樣協方差矩陣所有特征值對信號特征的描述，利用采樣協方差矩陣的特征值的平均值和更為精確的最小特征值的極限分布推導出了更為精確的檢測門限表達式，提高了檢測性能。

2)算法的檢測門限表達式只與虛警概率Pf、信道化子帶信號間隔采樣后得到的觀測矩陣的行數M和列數N有關，與噪聲無關。在檢測時不需要已知信號和噪聲的任何先驗信息即可完成檢測，克服了噪聲變化對檢測性能的干擾，是一種盲檢測方法。

3)算法可以根據實際情況需要對虛警概率進行調整獲得不同的檢測判決門限，可以適應不同的應用場景。

4)由于信號與噪聲的特征值差異在任何情況下都是存在的，不論何種形式的信號，都可以通過特征值進行信號與噪聲之間的區分，因此該方法對多種信號均具有檢測性能，具有可以適應復合信號檢測的優點。

5)算法與已有的算法相比在低信噪比、低采樣點數N以及低M值的情形下，均具有更高的檢測性能，尤其是IAEME 算法的性能最佳，能夠在更惡劣的條件下發揮作用，具有更好的適用性。

綜上所述，本文提出的算法具有實現簡單、不需要先驗信息、適用能力強、檢測性能好等優點，更符合未來電子戰中的信號電磁環境，具有良好的應用前景。