一種線性規劃的鐵心縱剪排片方案計算方法

李 艷，賈振楠，文 松，劉仁嶠

（1.江西變壓器科技股份有限公司，江西 南昌 330314；2.南昌大學，江西 南昌 330031）

0 引言

變壓器鐵心的各級硅鋼片，是將一定尺寸的硅鋼片卷料（硅鋼卷）縱剪，得到各級硅鋼片的卷料后，再橫剪得到。硅鋼片作為變壓器生產所需的主要原材料之一，其質量占整臺產品總質量的1/3～1/4，費用占整臺產品總物耗的30%以上。在一次生產任務中，如何使用最少量的硅鋼卷而縱剪得到所需要的各級硅鋼片卷料，是非常有意義的問題。它能幫助我們降低硅鋼卷的采購量。而硅鋼卷的低采購量意味著低成本、低庫存[1-3]。

文中提出一種基于線性規劃的鐵心縱剪排片計算方法。該方法將鐵心縱剪描述成一個線性規劃最小化問題，并利用成熟的單純型算法，快速得到一個最優解，從而給出一個相應的鐵心縱剪排片方案。該方案能滿足生產所需且硅鋼卷用量最小[4-7]。

1 鐵心縱剪問題描述及數學建模

為了將問題簡化，這里忽略實際生產中對硅鋼卷的料頭料尾的處理。問題也簡化為：如何安排縱剪，使得所用硅鋼卷的長度最短。

如何安排縱剪，這涉及到寬度、長度兩個方向上的問題，在寬度方向上，有（d1，d2，d3，…，di，…）共n個所需硅鋼片的寬度要通過硅鋼卷的寬度（d）裁剪而來，顯然，硅鋼卷的寬度必須大于等于任何一個所需的硅鋼片寬度

d≥di

大多數時候我們可以找到滿足

ci1×di1+ci2×di2+…≤d

且滿足

ci1×di1+ci2×di2+…≤d

的寬度組合，式中dik為n個寬度中的任意一個寬度，mm；Cik為組合中寬度dik的個數。現舉例說明：有寬度為1 020 mm的硅鋼卷，硅鋼片的寬度有：300 mm，350 mm，390 mm等，其中300 mm是的最小寬度，那么可以很容易找到以下幾個滿足條件的寬度組合：

1）（2×390）mm=780 mm（余240<300）

2）（390+350）mm=740 mm（余280<300）

3）390 mm+（ 2×300）mm=990 mm（余 30<300）

4）（2×350）mm+300 mm=1000 mm（余 20<300）

5）350 mm+（2×300）mm=950 mm（余 70<300）

如上所示，當n較小時，組合的數量不多，僅憑人工依序組合也是輕而易舉，但隨著n的增大，組合數會急劇增加到幾千甚至是幾萬的量級。因而為了得到所有滿足條件的寬度組合，要使用遞歸的方法，具體算法如圖1所示。

圖1 寬度組合算法流程圖

設滿足條件的寬度組合有m個，由于任何一個硅鋼片的寬度都不大于硅鋼卷的寬度，所以對于每一種寬度都會至少存在一個寬度組合包含它。對于這樣一個組合問題，m遠大于n，那么數量如此多的組合要如何取舍？考慮到長度方向上必須要滿足的條件：裁剪所得各寬度硅鋼片的總長度不能低于其所需長度（l1，l2，…，li，…），且我們對母材硅鋼卷的目標也是其長度最短，此時，不妨就將各寬度組合的裁剪長度設為自變量Xj，于是

式中Cij為寬度為di的硅鋼片在第j個組合中所占的個數，組合中不包含寬度為di的硅鋼片時Cij=0。也可以很容易得到所用母材硅鋼卷總長即為各組合長度的和，于是

由于組合長度不可能為負，所以上兩式中

Xj≥0

縱觀以上分析，不難看出，這是一個線性規劃最小化問題：

最小化

滿足約束：

2 利用線性規劃的單純型算法求解

2.1 單純型算法

要求模型轉化為線性規劃的標準型，得到

滿足約束：

最大化：

2.2 約束條件和目標函數的處理

在實際計算中，通常將約束條件的左邊構造為一個m×n的矩陣A=（aij），右邊構造為一個m維的向量b=（bi），將目標函數的系數構造為一個n維向量c=（cj），重寫數學模型得到

最大化

CTx

滿足

Ax≤b

x≥0

計算時，輸入矩陣A和向量b、c作為參數，即可求得向量x。

3 系列產品算例

現有某系列產品的硅鋼片需求表，試用根據本方法編寫的鐵心縱剪優化軟件對其進行縱剪計算。其中硅鋼卷片寬為980 mm，硅鋼片需求表及計算結果如表1、表2。

表1 某系列產品的調變硅鋼片需求表 mm

表2 利用鐵心縱剪優化程序得出的組合方案詳情mm

算例中單邊裁邊寬為5，寬度組合共40 334種。

4 結語

硅鋼片縱剪排片不是一般的數學問題，而是一個比較復雜的工程問題，它既在寬度方向上有一個組合問題，又在長度方向上有一個排列問題，就一個系列的變壓器而言，其排列組合之多，以人工之力，是無法在生產計劃能接受的時間內窮盡并得出一個最優方案的，即使通過計算機編程，窮盡法也不可取。

而此基于線性規劃的排片方法，利用已成熟的單純型算法，可快速求得最優解，給出一個硅鋼卷采購量最小的縱剪排片方案。