基于自適應奇異值分解無跡卡爾曼濾波算法的車輛質心側偏角估計

王 姝, 趙 軒, 余 強

(長安大學 汽車學院，陜西 西安 710064)

0 引言

橫擺角速度和質心側偏角是車輛穩定性控制中最重要的兩個參數[1,2]。橫擺角速度可以通過陀螺儀采集，但是質心側偏直接測量困難度較大、設備價格高，目前只能通過非接觸式的光學傳感器進行，例如可同時使用多普勒效應測量法和絕對測量法的Kistler Correvit S-HR雙軸光學傳感器。但該傳感器在車輛速度小于15 km/h以下時精度不足，并且最大可測量的側偏角為20°。同時其成本高，對運行環境要求高，該傳感器主要用于路面條件較好平整路面上，該條件下車輛幾乎沒有垂直方向運動。因此考慮到以上因素，車輛上對質心側偏角均采用的是估計器進行實時在線估計。

近年來國內外大量學者都對質心側偏角的估計進行了研究，主要分為基于運動學和基于動力學的估計方法。基于運動學的估計方法一般忽略車輛縱向加速度的影響，利用車輛質心側偏角速度和縱向車速、側向加速度、橫擺角速度、道路坡度之間的運動學關系，對車輛參數、輪胎條件和駕駛操作具有較強的魯棒性[3]。S. CHUNG等人利用ESP系統已有的傳感器，利用積分法求取質心側偏角，并利用道路坡度信息、側向加速度信息對質心側偏角進行補償[4]。但是在多數文獻中都提及由于加速度計和陀螺儀存在偏移誤差，基于運動方法質心側偏角估計容易產生漂移，并且質心側偏角估計值會隨著時間的推移積分累積誤差不斷增大[7-9]。

基于動力學的車輛質心側偏角估計方法多采用粒子濾波估計、滑模估計、卡爾曼濾波估計等最優狀態估計方法實現估計。

粒子濾波是基于蒙特卡洛模擬理論的近似貝葉斯濾波算法，是一種概率統計的方法[5]。且粒子濾波器克服了在計算狀態后驗估計過程中解析求解困難的問題，并對系統噪聲要求低，可以用于具有各類系統噪聲的狀態量估計，而不僅限于高斯白噪聲。但隨著質心側偏角估計迭代次數的增加，大多數粒子的權值會減小到忽略不計的程度，產生退化粒子，并且這些粒子占用了大量的計算資源，造成資源浪費。因此理論上，雖然粒子濾波器的精度也比非線性卡爾曼濾波精度高，但是這是以狀態估計器計算量和實時性為代價的。Chu等人利用無跡粒子濾波對輪胎的側向力、縱向速度、側向速度、橫擺角速度進行估計[6]。Strano等人提出了一種基于狀態依賴-里卡提方程(SDRE)的卡爾曼濾波器的非線性估計方法來估計側滑角[7]。

滑模變結構控制是一種具有控制不連續性的非線性控制器，其在動態過程中根據系統當前的狀態(如模型偏差及其各階導數等)利用高速率的開關控制法，使系統按照預定滑模面的狀態軌跡運動，具有快速響應、魯棒性強、物理實現簡單等優點[8-10]。Stéphant 等人提出了基于滑模觀測器的車輛質心側偏角觀測方法[11]。Huang 等人提出了一種基于滑模控制(SMC)的光滑變結構濾波器(SVSF)[12]。Chen等人提出了一種降階滑模觀測器(RO-SMO)以減輕計算負擔[13]。王健等人以雙曲正切行數為切換函數基于滑模觀測器估計車輛的質心側偏角，有效地減弱了符號切換函數易引起的抖振[14]。滑模估計器由于時間滯后開關、空間滯后開關、系統慣性、系統時間純滯后、空間死區等原因會造成控制系統抖振，抖振會使控制系統不穩定甚至不可用，尤其是對于離散系統。為此研究學者們提出了許多改進型的滑模變結構控制方法，例如基于遺傳算法優化的滑模控制器、魯棒滑模控制器等。但是抖振是不可能完全消除的，只能一定程度上削弱[15]。

卡爾曼濾波能夠利用有限的、非直接的、包含噪聲的測量信息估計缺失的信息。經過多年的發展，研究人員進一步提出了擴展卡爾曼濾波、無跡卡爾曼濾波、粒子卡爾曼濾波、交互多模型卡爾曼濾波等多種形式的濾波器，不斷改進卡爾曼濾波器性能,使其在線性模型、非線性模型、離散模型、連續模型中都具有良好的狀態估計效果，成為一種廣泛使用的質心側偏角狀態估計方法。Jin等人基于四輪非線性車輛動力學模型分別建立了基于交互多模型無跡卡爾曼濾波(IMM-UKF)和基于交互多模型擴展卡爾曼濾波(IMM-EKF)的側偏角估計器[16]。Kim等人采用擴展卡爾曼濾波對車輛的質心側偏角進行估計[17-18]。Doumiati等人對基于EKF和UKF的車輛質心側偏角估計器進行了性能對比[19]。Strano等人提出了一種有約束無跡卡爾曼濾波算法，測量噪聲以提高估計模型的魯棒性，避免對車輛的數學模型進行局部線性化，并充分考慮了狀態邊界[20]。Liu等人提出了一種基于數據融合方法的自適應無跡卡爾曼濾波器(AUKF)來估計系統狀態，以提高估計器的魯棒性[21]。

一些研究人員提出了新的估計方法，使用新的傳感器和技術，如差分GPS、雷達、相機和高清地圖。Bevly等人利用一個GPS天線和一個慣性導航系統，根據GPS提供的航向角和慣性導航系統提供的車輛橫擺角直接估計質心側偏角[22]。Li 等人還將差分GPS(DA-GPS)與其他低成本的車輛傳感器信息相融合利用EKF進行估計[23]。Yoon 等人提出了一種綜合陀螺儀、全球定位系統(GPS)和慣性測量單元(IMU)的方法，同時為了抑制陀螺儀的干擾，設計了雙卡爾曼濾波器[24]。Botha等人分別利用單攝像機和雙攝像機提出了3種基于攝像機圖像的質心側偏角測量方法[25]。但3種基于攝像機圖像的質心側偏角估計方法計算量大，并且在選擇測量用攝像頭時需要均衡系統精度和運行參數的需求。Jiang 等人提出了一種基于開放街道地圖和慣性傳感器融合的新方法來估計和預測車輛運動狀態[26]。但是考慮到成本問題以及GPS信號在隧道、樹蔭等遮蔽物附近信號弱甚至信號丟失及估計器運算量的問題，上述方法實用性并不高。

通過對現有車輛質心側偏角估計方法進行對比，針對無跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter，UKF)在系統強非線性或狀態模型不精確的情況下，存在狀態估計精度降低甚至發散的問題，本研究提出一種基于自適應奇異值分解無跡卡爾曼濾波算法(ASVD-UKF)的車輛質心側偏角估計方法。該算法采用奇異值分解方法改進無跡卡爾曼率波中狀態協方差矩陣的迭代，保證協方差矩陣的非負定性及迭代的穩定性。同時采用自適應因子平衡動力學模型信息與觀測信息的權重，控制動力學模型誤差對系統狀態估值的影響，以改進UKF中狀態協方差矩陣的迭代穩定性及估計器的魯棒性。

1 基于自適應奇異值分解無跡卡爾曼濾波的質心側偏角估計

1.1 二自由度非線性車輛動力學模型

盡管二自由度線性模型具有計算速度快、計算量小等優點，但是輪胎在非線性區工作與工作在線性區性能有極大的區別。質心側偏角作為車輛穩定性控制中關鍵參數，對于它的估計應盡量精確，以保證整個穩定性控制系統的控制精度，因此采用二自由度非線性車輛動力學模型作為估計模型[27]。

圖1 車輛二自由度模型

車輛二自由度模型如圖1所示。對二自由度車輛模型進行受力分析可得：

(1)

(2)

通過變形可以得到：

(3)

(4)

式中，u為車輛縱向速度；v為車輛側向速度；a，b分別為前、后軸到車輛質心的距離；m為整車質量；ωr為車輛橫擺角速度；δf為前輪轉角；β為車輛質心側偏角；Fy1，Fy2分別為前后輪輪胎側向力；Iz為車輛繞z軸的轉動慣量。

Fy1，Fy2可以利用利用魔術公式MF5.2輪胎模型進行求取，如式(5)所示。

(5)

式中，α為輪胎側偏角；Fy為輪胎側向力；Shy和Svy為水平偏移和垂直偏移，以彌補輪胎簾布層轉向效應、側偏離作用或滾動阻力引起的偏移；Cy為形狀因子；Dy為峰值因子；By為剛度因子；Ey為曲率因子。由于魔術公式輪胎模型屬于經驗模型，因此模型中的參數(除Cy以外)都可利用試驗數據采用多項式擬合方法獲得。

整理可得基于自適應奇異值分解無跡卡爾曼濾波質心側偏角估計器的狀態方程如式(6)所示。

(6)

式中，u為車輛縱向速度；a，b分別為前、后軸到車輛質心的距離；m為整車質量；ωr為車輛橫擺角速度；δf為前輪轉角；β為車輛質心側偏角；Fy1，Fy2分別為前后輪輪胎側向力;Iz為車輛繞z軸的轉動慣量。

基于無跡卡爾曼濾波質心側偏角估計器的測量方程如式(7)所示。

(7)

式中，m為整車質量；ωr為車輛橫擺角速度；δf為前輪轉角；β為車輛質心側偏角；ωr為車輛橫擺角速度；ay為車輛側向加速度；Fy1，Fy2分別為前后輪輪胎側向力；Iz為車輛繞z軸的轉動慣量。

將基于自適應奇異值分解無跡卡爾曼濾波的質心側偏角估計器的狀態方程和測量方程表達為標準的狀態方程，如式(8)所示：

(8)

式中，X=[β,ωr]T,y=[ay,ωr]T；ωk∈N(0,Qk)、vk∈N(0,Rk)分別為系統觀測噪聲和測量噪聲，且均為高斯白噪聲。

1.2 基于自適應奇異值分解無跡卡爾曼濾波算法

為了改善UKF中狀態協方差矩陣迭代的非負定性及穩定性，增強估計器的魯棒性，提出了基于自適應奇異值分解無跡卡爾曼濾波算法。具體建立步驟如下：

(9)

(10)

(2)構建Sigma點。

常見的Sigma點構建方法包括一般型無跡變換、單形無跡變換、球形無跡變換等。本研究采用對稱采樣方法生成2n+1個Sigma點。在利用UT變換產生Sigma點時需要對方差矩陣P進行分解，常見的矩陣分解方法包括：Cholesky分解、SVD分解、QR分解、Jordan分解[28]。

① 基于Cholesky分解的Sigma點構建

對隨機變量Xk-1的協方差矩陣Pk-1進行Cholesky分解，如式(11)所示。

(11)

式中，Lk-1為Cholesky分解的正定下三角矩陣。

則經過Cholesky分解,得到了Sigma點矩陣χk-1(i=0,1,2,…，2n)如式(12)所示。

(12)

因此

χk-1=(χ0,k-1,χ1,k-1,χ2,k-1,…,χn,k-1,χn+1,k-1,…,

(13)

λ=α2(e+κ)-e，

(14)

② 基于SVD的Sigma點構建

由于觀測粗差、迭代計算過程中的截斷誤差和狀態模型擾動等會造成式(11)中的方差矩陣Pk-1失去對稱正定性，而無法使用Cholesky進行分解。奇異值分解(SVD)是數值穩定和精度較高的一種矩陣分解算法，其突出的優點是不需要被分解矩陣是對稱正定矩陣。本研究采用SVD分解方法進行Sigma點的構建。

對方差矩陣Pk-1進行SVD分解，如式(15)所示。

(15)

式中，Uk-1、Vk-1列向量分別為方差矩陣Pk-1的左右奇異向量；Λ為方差矩陣Pk-1奇異值矩陣。

則經過SVD分解得到的Sigma點矩陣如式(16)所示：

因此

(17)

(3)時間更新

χk|k-1=f(χk-1,Uk)+Wk，

(18)

(19)

(20)

(21)

式中，αk為自適應因子。

(22)

進一步利用自適應因子對奇異矩陣進行修正，得到新的Sigma點及先驗估計誤差的協方差矩陣，如式(23)，式(24)所示。

(23)

(24)

(25)

(4)測量更新

利用測量方程對各Sigma點進行非線性變換。

(26)

(27)

測量值協方差更新如式(28)所示。

(28)

估計值和測量值協方差更新如式(29)所示。

(29)

狀態量的更新如式(30)～(32)所示。

(30)

(31)

(32)

2 試驗驗證

2.1 試驗平臺的構建

本研究基于雙電機驅動電動試驗車，利用AD5435硬件在環仿真系統和MATLAB/simulink代碼自動生成技術搭建了雙電機驅動電動汽車試驗平臺，對基于自適應奇異值分解無跡卡爾曼濾波算法的車輛質心側偏角估計算法進行驗證。試驗平臺的搭建包括硬件開發和軟件開發兩部分。采用AD5435作為車輛的整車控制器，控制器輸入信號包括：方向盤的轉角、角速度、扭矩，加速踏板角度，制動踏板角度，車速，輪速，電機扭矩，電機功率等。輸出信號包括：電機驅動扭矩、電機制動扭矩、液壓制動系統制動扭矩。上述輸入信號可以通過如下傳感器獲得：使用安裝在轉向柱上的方向盤扭矩、角度傳感器采集方向盤轉角、方向盤角速度、方向盤扭矩；使用霍爾式非接觸速度傳感器采集4個車輪的轉速；采用Passat B5雙路加速踏板傳感器采集加速踏板角度；采用制動踏板傳感器采集制動踏板角度；采用三軸陀螺儀采集車輛的縱向加速度、側向加速度、橫擺角速度；電機轉速、扭矩、功率信息可以從電機控制器的CAN信號中獲取。試驗平臺中傳感器性能參數如表1所示。

表1 傳感器性能參數

同時還需要根據各傳感器輸出信號的特性，選取合適的板卡。選取A&D5430-01 16路16位模擬量輸入板卡用于采集加速踏板傳感器、制動踏板傳感器、電流傳感器信號、三軸陀螺儀信號、方向盤扭矩信號；選取A&D5430-03 32通道數字量輸入/輸出板卡采集輪速傳感器信號；選取A&D5430-17 4通道CAN通訊板卡采集兩臺電機控制器信號，并向電機控制器輸出扭矩指令；選取A&D5430-13 28通道PWM輸入/輸出板卡采集方向盤角度、角速度信號。

表2 整車基本參數

之后對板卡的Simulink模型進行設置，利用基于Matlab/Simulink的Real-time Workshop(RTW)技術，對模型、板卡設置模型等進行編譯，利用ModelDef軟件對模型的輸入、輸出及觀測點進行定義；利用VistualConsole對上位機及A&D5435顯示屏GUI進行設計，并將編譯好的程序下載到A&D5435中，完成試驗平臺軟件部分開發。基于A&D5435的雙電機驅動電動汽車試驗平臺如圖2所示。

實車試驗是在長安大學車輛綜合性能試驗場的操穩性廣場上進行的，利用建立的分布式驅動電動汽車硬件在環平臺對基于ASVD-UKF的質心側偏角估計器進行驗證,并與基于無跡卡爾曼濾波的車輛質心側偏角估計器進行對比，驗證質心側偏角估計器的準確性。為此本研究分別在雙移線工況、單移線工況下進行試驗驗證。

圖2 基于A&D5435的雙電機驅動電動汽車試驗平臺

(1)雙移線試驗

試驗選擇在ISO 3888-1標準雙移線工況下進行，如圖3所示為目標行駛路徑。圖中，d1=1.1L+0.25，d2=1.3L+0.25，L為車寬。試驗道路路面附著系數為0.4。首先駕駛人應使車輛與行駛道路保持水平，并且使方向盤位于中間位置；隨后駕駛員操縱車輛在道路上加速直行，使得車輛進入雙移線道路的初始車速為60 km/h，期間應不操縱方向盤使得方向盤保持在中間位置，之后駕駛員根據路面的錐桶標記自由行駛。如圖4所示為ASVD-UKF 估計器、UKF估計器和試驗獲得質心側偏角，如圖5所示為試驗過程中車輛的側向加速度。

圖3 雙移線工況軌跡

圖4 車輛質心側偏角曲線

圖5 車輛側向加速度曲線

雙移線工況下基于自適應奇異值分解無跡卡爾曼濾波算法和無跡卡爾曼濾波算法估計得到的車輛質心側偏角最大誤差、平均誤差及均方根誤差如表3所示。

由表2可知，UKF算法最大誤差為1.622 4°，誤差較大處主要位于側向加速度峰值處。ASVD-UKF算法的最大誤差為1.297 8°，減小了20.01%。ASVD-UKF算法的平均誤差為0.015 2°，UKF算法平均誤差為-0.077°，減小了80.26%。ASVD-UKF算法的均方根誤差誤差為0.357 2°，UKF算法均方根誤差為0.445 7°，減小了19.86%。圖5為車輛運行過程中的車輛側向加速度曲線，整個過程中車輛的側向加速度最大值達到-0.460 4g。一般普遍認為當車輛側向加速度小于0.4g時，輪胎工作在線性區域，但在峰值處車輛的側向加速度為0.482 3g，輪胎已經工作在非線性特征區域，但由于采用的是二自由度非線性車輛動力學模型，模型已經充分考慮了輪胎的非線性特征，因此質心側偏角估計器在此工況下仍能良好估計。

表3 雙移線工況車輛質心側偏角最大誤差、平均誤差及均方根誤差

(2)單移線試驗

試驗工況選擇在SAE J2179—2000標準單移線工況進行，試驗道路如圖6所示。圖中h=3.5 m，b=1.2L+0.25 m，L為車寬，d1=50 m，l2=100 m，l3=15u(u為縱向車速)。首先駕駛人應使車輛與行駛道路保持水平，并且使方向盤位于中間位置；隨后駕駛員操縱車輛在道路上加速直行，使得車輛進入單移線道路的初始車速為50 km/h，期間應不操縱方向盤使得方向盤保持在中間位置，之后駕駛員根據路面的錐桶標記自由行駛。如圖7所示為ASVD-UKF估計器、UKF估計器和試驗獲得質心側偏角，如圖8所示為試驗過程中車輛的側向加速度。

圖6 單移線工況軌跡

圖7 車輛質心側偏角曲線

圖8 車輛側向加速度曲線

單移線工況下基于自適應奇異值分解無跡卡爾曼濾波算法和無跡卡爾曼濾波算法估計得到的車輛質心側偏角最大誤差、平均誤差及均方根誤差如表4所示。

表4 單移線工況車輛質心側偏角最大誤差、平均誤差及均方根誤差

UKF算法最大誤差為1.322 2°， SVD-UKF算法的最大誤差為1.021 7°，減小了22.27%。SVD-UKF算法的平均誤差為-0.105 8°，UKF算法平均誤差為0.036 5°，減小了65.5%。SVD-UKF算法的均方根誤差誤差為0.240 8°，UKF算法均方根誤差為0.385 4°，減小37.52%。如圖8所示為車輛運行過程中的車輛側向加速度曲線，整個過程中車輛的側向加速度最大值為-0.462 8g，因此基于奇異值分解無跡卡爾曼濾波算法的質心側偏角估計器可以在車輛線性狀態下良好工作。

根據上述仿真結果，基于ASVD-UKF算法的質心側偏角估計方法在典型車輛穩定性測試工況-雙移線工況、單移線工況下能夠準確估計出車輛的質心側偏角，估計平均誤差、最大誤差及誤差的均方根值均明顯小于基于UKF算法的估計器，估計精度優于基于UKF算法估計出的質心側偏角估計器。因此，可以認為基于ASVD-UKF算法的車輛質心側偏角估計器精度更高，能夠滿足車輛穩定性控制的要求。

3 結論

(1)通過對現有車輛質心側偏角獲取方法進行分析，利用自適應奇異值分解方法構建sigma點，并在時間更新過程中利用自適應因子對奇異矩陣進行修正，改進了 UKF 中狀態協方差矩陣的迭代的穩定性及估計器的魯棒性。

(2)利用分布式驅動電動汽車半實物仿真平臺分別在雙移線工況、單移線工況下對基于UKF和ASVD-UKF算法的質心側偏角估計方法進行了對比驗證。與 UKF估計結果的平均絕對誤差和均方根誤差的比較表明基于ASVD-UKF的估計器性能優于基于UKF的估計器；與真實值對比表明，ASVD-UKF算法精度高，能夠滿足車輛穩定性控制的需要。