落實數學活動，積累數學基本活動經驗

黃靜 陳福勤

一、背景介紹

在以“讓每個孩子享受成功——核心素養背景下的課堂教學”為主題，四校聯合開展同題異構教學展示活動中，筆者觀摩了兩位老師的《6.2一次函數（1）》的課堂教學，在課堂中，兩位老師都設置了對一次函數表達式重新賦予實際意義的活動，但學生在這一環節表現平平，老師最后也都只能匆匆收場，進入下一環節。課后，筆者對學生在這一環節的表現進行了深入的思考，對一次函數定義的引入也有一點淺顯想法，現與大家做一些交流。

二、案例呈現與分析

1.案例（一）片段

師：現實生活中，很多問題都可以歸結為函數問題，最近學校剛組織了社會實踐活動，大家思考其中體現的函數模型。

情景1：給汽車加油的加油槍流量為25 L/min。如果加油前油箱里沒有油，那么在加油過程中，用y（L）表示油箱中的油量，x（min）表示加油時間。

（1）y與x之間有怎樣的函數表達式？

（2）如果加油前油箱里有6L油，那么y與x之間有怎樣的函數表達式？

情景2：汽車以80 km/h的速度從學校開始行駛，x h后，離學校距離為y km。那么y與x之間又有怎樣的函數表達式呢？

情景3：若景區距離學校450 km，返校途中，汽車以80 km/h 的速度行駛，行駛x h后與學校距離為y km，那么y和x之間有怎樣的函數表達式？

……

師：這些問題的函數表達式分別為：y=25x，y=25x+6，y=80x，y=-80x+450。分析這些函數表達式的特點，能否用一般的式子表示？

……

師：你能否對一次函數表達式“y=25x+6”重新賦予實際意義？

……

【分析】授課教師有效地組織廣大學生積極參與設計教學活動，培養了學生的獨立分析、歸納的數學思維能力和學習興趣。教師主要著眼于一次函數表達式形式上的特點。

2.案例（二）片段

分別寫出下列函數表達式，并指出其中的自變量：

（1）第二中學到第一中學的路程為5 km，汽車從第二中學到第一中學行駛的時間t （h）與速度v（km/h）之間的關系;

（2）加油站占地是一個正方形場地，加油站占地面積S（m2）與它的邊長a（m）之間的關系;

（3）如果每升汽油6.4元，油卡中有金額200元，油卡的余額y（元）與加油數量x（升）之間的關系;

（4）給汽車加油的加油槍的流量為25 L/ min，加油過程中加油量y（L）與加油的時間x （min）之間的關系;

（5）給汽車加油的加油槍的流量為25 L/ min，如果加油前，汽車油箱里還剩有6 L汽油，那么加油過程中油箱中的油量y（L）與加油的時間x （min）之間的關系。

……

師：這些問題的函數表達式分別為：t=5/v，S=a^₂，y=-6.4x+200，

y=25x，y=25x+6，將以上函數表達式進行分類，并說出你的分類依據。

……

師：你能否對一次函數表達式“y=25x+6”重新賦予實際意義？

……

【分析】解決問題的情境類型具有多樣性，關于自變量的代數式類型主要有整式和分式，整式有一次式和二次式，讓老師和學生充分體會一次函數表達式的多樣性。通過老師和學生的問題分類、辨別等活動，加深對一次函數表達式的形式和特點的認識和理解。

3.教學案例再設計

兩位老師在教學設計中，從一次函數定義的結構特點出發，多角度、多層次地設計教學環節，學生對一次函數表達式的結構特點上達成度很高，但對一次函數定義中的“k”在實際問題中的意義關注不夠，導致學生對一次函數表達式“y=25x+6”的本質意義理解不透。雖說老師在設計中突出的教學理念是“具體——抽象——具體”，但是學生沒有基本的數學實踐活動的經驗，回到具體的問題上就可能會顯得比較茫然。鑒于此，將教學設計修正如下：

師：現實生活中，很多問題都可以歸結為函數問題，請大家觀察下列三個問題情境，思考其中體現的函數模型。

情景1：已知彈簧秤中彈簧的長度y（cm）與所掛物體的質量m（kg）之間具有如下表所示的關系：

m/kg 0 1 2 3 4 5

y/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5

請寫出y與m之間的函數表達式。

情景2：如圖1，張師傅駕車從甲地到乙地勻速行駛，已知行駛中油箱剩余油量y（升）與行駛時間x（小時）之間的關系用如圖中的線段表示，根據圖像寫出y與t的函數表達式。

情景3：如圖2， A、B兩地相距 200 km，一列火車從B 地出發沿 BC 方向以 120 km/h 的速度行駛，在行駛過程中，這列火車離A 地的路程y（km）與行駛時間x （h）之間的函數關系式是？

……

師：這些問題的函數表達式分別為：y=0.5x+12，y=-10x+60，y=120x+200。

……

師：你能否對一次函數表達式“y=-10x+60”重新賦予實際意義？

……

【分析】問題設置三個情境，從多種形式呈現函數關系，教師從函數的定義出發，強調對給定一個變量的值，另一個變量有唯一的值與之相對應，引導學生分析得出函數表達式。在提煉一次函數定義時從兩個層面進行分析，一是函數表達式右邊關于自變量的代數式的形式特征;二是關注自變量變化相同時，對應函數值的變化規律，即定義中的“k”在實際問題中的意義。當學生有了這一活動經驗的積累，有效地突破了對一次函數表達式重新賦予實際意義這一難點，凸顯了對一次函數本質屬性的理解。

三、深入反思

1.數學定義的教學，需要多關注數學定義的本質屬性

我們在數學定義的教學中需強調數學定義本質，要特別關注定義與數學知識的內在聯系;關注數學規律的基本形成及其過程;數學思想和方法的運用及其提煉;數學理性精神的培養及其體驗等方面。一次函數定義的教學是一個由具體到抽象的數學教學過程，體現了學生的數學素養，提高了初中學生的思維和認知能力水平，是學生從感性認識的基礎上逐步上升到理性認識的一個過程。在教學中，我們要努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質，突出和把握數學的理論主干和基本知識，淡化數學旁枝末節。

2.數學活動的設計，需要多關注學生基本活動經驗

大部分的學生由于數學認知結構不完善，缺乏系統性，數學知識零散，不能深入地辨析一個數學問題及其本質，找不出其所屬數學知識點的含義和類型，從而不能快速準確地找到解決數學問題的基本方法和切入點。數學教師在組織設計這樣的數學活動時，要充分結合學生現有的數學知識活動結構和需求，在已有的數學知識活動和經驗的積累的基礎上，進一步開展有效的活動，使新的知識和學習活動內容充分結合學生原有的數學認知活動結構并相互作用，從而引導學生形成新的數學認知活動結構。

3.數學課堂教學，需要多一些深層次的學習

數學課堂是數學教師主動實施教學目的的一個主陣地，也是教師引導學生在課堂中獲取豐富的數學知識，學會自主學習、學會獨立思考、學會自主創造，體驗數學樂趣和價值的一種有效途徑。但現在的數學課堂還是在進行一種表層學習，通常只是為了考試而孤立地、粗淺地記憶知識和材料，而沒有對知識和材料進行分析、提煉、整合和反思，從而整個學習的過程就沒有了深度，無法將自己所學的知識融會貫通、舉一反三、推陳出新。課堂教學是實施新課程的主渠道，這也就要求我們的課堂教學應該強調引領學生在實踐中去自主進行探索和合作交流，自主進行知識構建，強調引導學生在對基礎知識與技能的綜合學習與自主探索中，對所學知識進行深層次的綜合加工，產生高層次的創造性思維、深層次的自我體驗，實現內在精神品質的提升。