例談初中視角下圓的動態(tài)問題的解決策略

彭麗華

動態(tài)幾何問題是近幾年中考的一個高頻考點(diǎn)，如2019年蘇州中考數(shù)學(xué)卷第27題就是動態(tài)幾何和代數(shù)的綜合題，此類題目的解題關(guān)鍵就是要先理清是哪一種類型的動態(tài)問題，再確定臨界條件。本文通過實(shí)例分析，對圓的動態(tài)問題的解題策略及方法角度進(jìn)行探究。

為清楚了解學(xué)生解決這類題型的疑問和難點(diǎn)，對課堂上例題的錯因進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)未得分學(xué)生中，60%是因?yàn)閷忣}失誤而失分的，因此，對于此類題型，要引導(dǎo)學(xué)生明確解題策略，從知識、方法的角度思考問題。

例題（軌跡是圓的動態(tài)問題）：如圖1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是中點(diǎn)，F(xiàn)則是線段BC上的動點(diǎn)，若將△EBF沿EF所在直線折疊，得到△EB'F，則B'D的最小值為多少？

【解題方法】本題根據(jù)圓的定義來確定動態(tài)軌跡問題，由動態(tài)問題轉(zhuǎn)化到定圓問題。

【解題策略】要按照“整體感知→定臨界條件→找基本圖形→建立模型→問題解決”的順序進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，其中，建立模型還要確定動態(tài)圖形的始末位置以及找不變化量之間的數(shù)量關(guān)系。

【例題解析】

（1）整體感知、定臨界條件：本題求解的則是動點(diǎn)B'到定點(diǎn)D的最小距離，本題中E為定點(diǎn)，EB'也就是定長。

（2）找基本圖形：根據(jù)圓的定義可知，動點(diǎn)B'的軌跡就是以E為圓心，EB'為半徑的圓弧，如圖2。

（3）建立模型、問題解決：根據(jù)已知可得到d=DE=，圓的半徑r=AE=2，則B'D的最小值為定點(diǎn)D到圓弧的最短距離，為d-r=-2。

還有一類就是動態(tài)圓與直線相切時的距離求解問題，如圖3所示，∠BAD=30°，已知圓的半徑為2，AO=8，若⊙O沿著OD移動直至與AB相切時，求圓心的運(yùn)動距離。此類題型就需要作常用輔助線，即連接圓心與切點(diǎn)，這種題目需注意的是要分兩種情況討論，即圓在直線的左側(cè)與右側(cè)兩類。

若將上圖稍作變式，如圖4：點(diǎn)P沿AE運(yùn)動，過點(diǎn)P作圓的切線PQ，則PQ的最小值為多少？那么解題關(guān)鍵則在于將所求轉(zhuǎn)化到OP最短時，也就是OP⊥AE，才能使得PQ最小。

上述實(shí)例中不僅應(yīng)用了轉(zhuǎn)化思想，還充分展示了模型思想在幾何問題中的重要性，解題時通過整體感知迅速找到思維的切入點(diǎn)，再通過確定臨界條件找到動態(tài)的范圍，繼而根據(jù)確定的基本圖形來建立模型，問題得以解決。因此，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會提煉數(shù)學(xué)模型，由此來解決一系列圓的動態(tài)問題。