基于端口耗散哈密頓系統的電機控制方法*

李紅斌， 王雙喜， 張晶晶， 王 蕊， 竇 晨

(山西農業大學 信息學院， 山西 太谷 030800)

基于耗散哈密頓系統的控制方法是一種從能量角度研究控制策略的方法[1].不同于傳統的控制方法，端口受控哈密頓系統從能量存儲、消耗和轉換的角度，利用網絡中的獨立儲能元件建模，在此基礎上實現對系統的控制.由于其優良的穩定性，基于哈密頓系統的控制方法在電力系統[2-4]、航空航天[5-6]及電機控制[7-8]等方面均有著廣泛的應用.

文獻[9]在電力有源濾波的基礎上，采用互聯和阻尼配置無源控制的方法設計了一種無源混合控制器，用于補償電網電流并抑制諧波，從而獲得優良的直流電壓動靜態性能；文獻[10]將端口受控哈密頓控制方法應用于無人駕駛船只螺旋槳驅動控制，實現了船只驅動技術的輸出優化，同時提升了無人駕駛船只系統的續航能力；文獻[11]利用端口受控耗散哈密頓系統優良的穩定性，并結合反步法協調控制技術的快速性，利用指數協調函數提出了一種二自由度SCARA機器人位置控制技術，實現了對機器人的跟蹤定位.

永磁同步電機伺服系統作為目前廣泛使用的一種電機系統，在數控機床、工業機器人、航空航天等領域均有著重要應用[12-14]，因此，本文研究了基于端口受控耗散哈密頓系統的永磁同步電機無源控制實現方法，將傳統的閉環控制函數轉變為能量李雅普諾夫函數，進一步提高了永磁同步電機控制系統的精度和穩定性.

1 端口耗散哈密頓系統

端口受控的耗散哈密頓系統(PCHD)通過尋找某一個反饋控制函數，使得控制系統能夠達到能量上的平衡，即利用整定控制輸入函數u=β(x)，使系統的能量函數Hd(x)在平衡點x處取極小值.

一般情況下，工程中采用系統互聯和阻尼結構配置的方式來實現耗散哈密頓系統的建模.端口受控耗散哈密頓系統定義為

(1)

式中：J為反對稱參數矩陣，反映了系統內部的互聯關系；R為半正定對稱參數矩陣，反映了端口上附加的阻結構；H為該系統的一個哈密頓能量函數；G為和狀態變量有關的函數.

對系統的控制實質就是通過對參數矩陣的調整，即利用兩個端口之間的互聯和阻尼配置(IDA-PBC)實現對系統的無源控制.假設兩個受控的耗散哈密頓系統分別為A與B，將兩系統通過一個標準反饋形式互聯，則互聯之后的閉環耗散哈密頓系統的參數分別為

(2)

(3)

(4)

(5)

閉環系統的哈密頓能量函數滿足

H=HA+HB

(6)

對于給定的哈密頓系統及平衡點x′，若存在一個向量函數K(x)滿足

(7)

(8)

2 永磁同步電機控制模型

2.1 電機PCH模型建模

d-q坐標系下，永磁同步電機的電壓方程和機械特性方程為

(9)

式中：id、iq為電流；Rs為定子繞組電阻；Ld和Lq為等值電樞電感，對于隱極機有Ld=Lq；ω為角速度；ψf為轉子磁鏈；np為極對數；JM為轉動慣量；τe為電磁轉矩；τL為負載轉矩.

控制系統的狀態變量x、輸入變量u和輸出變量y表示為

(10)

在上述條件下，同步電機哈密頓函數可以表示為

(11)

根據端口受控耗散哈密頓系統的要求，電機的數學模型可以描述為

(12)

y=[id，iq，ω]T

(13)

式中：

G=diag(1，1，1)

2.2 穩定平衡點和控制器設計

為了尋找電機PCH模型的穩定運行平衡點x′，假設

x′=[x′1，x′2，x′3]T

(14)

在此基礎上，構造一個能量函數Hd(x)，使得其在x′處取得最小值，并尋找反饋控制規律u=β(x)，使得閉環系統滿足

(15)

就隱極機而言，一般采用直軸電樞電流id=0 A控制策略時，穩定運行條件下則有

x′3=np[(Ld-Lq)i′di′q+ψfi′q]-τL=0

(16)

當i′d=0 A時，進一步得到

(17)

即在平衡點處有

(18)

加入控制策略u=β(x)后，選取閉環控制系統的哈密頓函數Hd(x)為

(19)

不失一般性，考慮選擇

(20)

Ra=diag(r1，r2，0)

(21)

(22)

(23)

式中：J11、J22、J33為0；J12、J13、J23、r1和r2為待定的互聯與阻尼參數，則有

[J+Ja-(R+Ra)]K(x)=

(24)

求解方程組可得

(J13+npLqiq)ω′

(25)

[J23+np(x1+ψf)]ω′

(26)

(27)

將平衡點方程代入式(27)可得

(28)

在平衡點運行時，滿足τ=τ′=τ′L，則參數J12、J13、J23為

(29)

得到反饋控制ud，uq分別為

(30)

(31)

式中，e1和e2為增益系數，則在x=x′時，可得

(32)

且有Hd(x)的海森矩陣滿足

(33)

因此滿足穩定判別條件，閉環控制系統為漸進穩定系統.

3 系統仿真分析

3.1 同步電機速度控制仿真分析

基于上文分析，本文在MATLAB的Simulink環境中搭建了系統仿真平臺，控制框圖如圖1所示，仿真電機參數設置如表1所示.實驗過程中通過調節增益參數e1，e2，使系統達到預期運行目標.

圖1 端口耗散哈密頓控制框圖Fig.1 Control diagram of port dissipative Hamiltonian

表1 電機仿真參數設置Tab.1 Setting of simulation parameters for motor

設置同步電機額定轉速為100 r/min，增益參數e1為15，e2分別為5、10、15、20，電機轉速響應仿真結果如圖2所示.

圖2 不同增益參數下電機轉速響應Fig.2 Response of motor speed with different gain parameters

不同增益參數e1、e2下，基于端口耗散哈密頓系統的電機轉速控制方法能夠使得電機轉速達到其額定速度.由仿真結果可知，控制參數會影響系統的響應速度，即參數e1不變的條件下，e2較小，系統會產生超調；e2較大，系統動態響應時間延長.

負載突加后的速度響應特性是衡量系統穩定性的又一標準.本文設置初始負載轉矩為0 N·m，參數e1=15，e2=15，在t=0.04 s時刻，負載轉矩突加10 N·m，轉速及電磁轉矩響應曲線如圖3所示.由仿真結果可以看出，在突加負載的情況下，在0.02 s內系統即恢復穩定運行，電機轉速等于額定轉速，電磁轉矩等于負載轉矩.一般的PI控制方法需要調節6個參數[15]，而基于端口耗散哈密頓系統的電機控制方法只需要調節兩個參數即可實現對電機的控制，減少了系統復雜性.

圖3 電機轉速和電磁轉矩響應曲線Fig.3 Response curves of motor speed and electromagnetic torque

3.2 負載擾動觀測器設計

電機控制系統中負載擾動時有發生，且不可直接測量，從而導致了電機速度的波動，造成系統性能的下降.為了避免這一問題，本文設計了基于卡爾曼濾波器的負載擾動觀測器，使系統保持穩定運行.負載擾動狀態觀測器的狀態方程為

(34)

寫成標準形式有

(35)

式中，A、C為系數矩陣.

用歐拉法將式(35)展開進行迭代，迭代誤差采用卡爾曼濾波器的反饋校正補償，則

xn=xn-1+(Axn-1+Gun-1)Ts

(36)

式中，Ts為迭代轉化矩陣，整理后可得

xn=Kn-1xn-1+Fn-1un-1

(37)

式中：K=I+ATs；F=GTs.

計算狀態變量的估計值和協方差陣的估計值為

x′n=Kn-1xn-1+Fn-1un-1

(38)

(39)

式中：P為狀態估計誤差的協方差矩陣；Q為系統噪聲的協方差矩陣.卡爾曼濾波器增益為

(40)

在此基礎上計算狀態變量的最優估計值為

xk=x′k+Nn(yk-Cx′k)

(41)

電機額定轉速為100 r/min，控制參數e1=15，e2=15.為了研究負載擾動對電機控制系統的影響，在t=0.04 s突加大小為10 N·m的負載，將觀測轉矩作為參考轉矩的前饋補償，在突加負載的條件下，有補償和無補償的轉速及轉矩仿真結果如圖4、5所示.

由圖4、5的仿真結果可知：系統中添加了以卡爾曼濾波器為基礎的負載轉矩觀測器之后，將觀測轉矩作為參考轉矩的前饋補償，可以有效降低噪聲的影響，同時加快了系統的響應速度，進一步提高了電機運行的穩定性.

3.3 增益參數切換控制

為了使系統具有良好的響應特性，滿足電機在不同工況下的應用需求，需要對電機的增益參數進行切換控制.事實上，增益參數切換控制屬于一種分段控制的方法，當電機系統采用基于端口耗散的哈密頓控制方法時，參數e1和e2決定了系統運行暫態過程的變換情況.

圖4 電機轉速響應仿真曲線對比Fig.4 Comparison of simulation curves for motor speed response

圖5 電磁轉矩變化仿真曲線對比Fig.5 Comparison of simulation curves for electromagnetic torque change

當運行偏差大于臨界運行偏差時，為了減小電機速度調整的時間，采用具有快速響應的參數；當運行偏差小于臨界運行偏差時，為了避免發生超調，應采用相對穩定的運行參數，因此本文選擇的參數切換方案如表2所示.

表2 電機運行參數切換方案Tab.2 Switching schemes of motor operating parameters

電機運行的額定速度在t=0 s時設定為100 r/min，基于上述切換方案的轉速響應仿真如圖6所示.

圖6為選擇e1=15，e2=10和e1=15，e2=20仿真結果與參數切換時電機運行仿真結果的對比.由仿真結果可以看出，當電機運行速度較低時，采用參數切換的控制方法具有較高的響應速度，能夠在短時間內提升電機的運行速度；當運行速度接近額定轉速時，采用參數切換的控制方法能使系統保持穩定而不發生超調.

圖6 不同切換參數下電機轉速響應仿真曲線Fig.6 Simulation curves of motor speed response with different switching parameters

4 結 論

本文介紹了端口受控耗散哈密頓系統，并對d-q坐標系下的永磁同步電機進行了哈密頓系統建模.此外，通過互聯和阻尼配置對電機的速度控制器進行了設計.在此基礎上，利用負載擾動觀測器作為前饋補償，降低了噪聲影響，加快了系統的響應速度.同時，采用增益參數切換的控制方法提高了系統運行的穩定性.