中考函數類問題的一些思考
——以2020 無錫中考壓軸題為例

江蘇省無錫市南長實驗中學 王 蕓

函數是初中數學的重要內容之一，《義務教育數學課程標準》中明確要求學生“能用函數解決簡單實際問題”。在全國各地的中考數學試卷中都少不了運用函數解決貼近實際生活的應用題，函數是中考數學中的一個重要考點。同時，函數還是初高中銜接和高中的重點學習內容。縱觀近幾年的無錫中考題，函數幾乎都出現在最后兩題的位置。函數命題一般有以下特征：問題綜合難度較大，知識點涉及面廣，對學生綜合解決問題的能力提出了非常高的要求，是區分度比較強的一類問題。

函數類問題的解法一般比較多樣，角度和信息都有比較強的綜合性，考查學生全方位的數學素養。下面以一道無錫中考的函數壓軸題為例進行探討。

（1）若點A的橫坐標為8。

①用含m的代數式表示M的坐標；

②點P能否落在該二次函數的圖像上？若能，求出m的值；若不能，請說明理由。

（2）當m＝2 時，若點P恰好落在該二次函數的圖像上，請直接寫出此時滿足條件的所有直線OA的函數表達式。

【分析】（1）①求出點A的坐標、直線OA的解析式，即可解決問題。

②求出直線OB的解析式，求出點N的坐標，利用矩形的性質求出點P的坐標，再利用待定系數法求出m的值即可。

【思考】本題屬于二次函數綜合題，考查了二次函數的性質、一次函數的性質、待定系數法、矩形的性質等知識，解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題。本題在論證過程中需要充分運用函數與幾何性質，構建相應的方程，通過求解獲得準確的點坐標、取值范圍等內容，從而剔除其中的錯誤猜想，得出正確的結論。在日常教學中，教師可以根據本題的特點充分貫徹“先假設，后驗證”的思路，培養學生的直觀想象和嚴謹的推理能力。需要指出的是，通過幾何直觀更能準確地把握問題的本質。幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。所以在教學中要注意培養學生借助幾何直觀解決實際問題的思維能力，切實發揮數學在培養人的思維能力和創新能力方面的不可替代的作用。