整體關聯、局部突破，全面學好“有理數”

文浦敘德（特級教師）

初中數學共有代數、幾何、統計、概率四大篇章，如果說第1章給我們展示的是初中數學學什么、怎么學、為什么這樣學的基本面貌的話，那么第2章“有理數”就真的掀開了初中代數篇章的第一頁。在學習本章內容的時候，我們要做到“整體關聯、局部突破”。何為“整體關聯”？小學數學學習的知識是散點狀的，而初中數學學習的知識是連線狀的，知識之間都是相互關聯的。到了初中階段，我們在學習的時候一定要把所學的知識聯系起來，形成一個整體，這樣才能見到初中數學的“森林”。何為“局部突破”？與小學數學相比，初中數學難點增多、內涵加深，要學好初中數學必須在這些難點處取得突破、深刻理解知識內涵，這樣才能做到“廣而深”。下面就結合有理數的相關內容給同學們做個具體介紹。

一、整體關聯，形成知識主線

本章內容主要有三大塊，一是“數的擴充”。在小學認識的正數、0 和負數的基礎上全面深入學習負數，與正數構成對應的系列數。二是“與數有關的概念”。先學習研究數的工具——數軸，在此基礎上研究相反數、絕對值、倒數（內涵擴充）。三是“數的運算”，包括有理數的加法、減法、乘法、除法、乘方及混合運算，無理數的運算在后面的學習中進一步展開。具體可以從以下3個方面去進行知識關聯，進而提高對有理數的整體認識。

1.掌握研究數的基本路徑。本章是代數中“數”研究的起始章，為今后數的研究提供了思路和方法，所以，非常有必要梳理本章研究的基本路徑。從上面的三大板塊內容可以看出，首先肯定要研究新擴充的數的定義，在此基礎上認識這類數的性質，然后對擴充后的數進行分類，接著研究這類數的運算，最后利用數的知識解決生活中的問題。從中可以看出“數的定義—數的性質—數的分類—數的運算—數的應用”這一研究基本路徑。

2.掌握數的分類。引進負數之后，那么數就有了正、負之分。所以對數的分類就產生了一種新的標準，那就是按數的性質進行分類。比如可以把數分成正數、0、負數三類，這樣整數就可以分成正整數、0、負整數；分數就可以分成正分數、負分數；有理數可以分成正有理數、0、負有理數；無理數可以分為正無理數、負無理數。當然原來的分類標準還是適用的，比如可以把有理數分成整數、分數，整數再分成正整數、0、負整數，分數再分成正分數、負分數等。可以看出，有了兩個對數的分類標準，可以對數進行兩次分類。隨著學習的深入，你會發現，有理數與無理數統稱為實數，這樣又可以對實數進行兩次分類。

3.掌握數的運算。數學運算屬于代數推理，是我們初中生必備的核心素養之一。有理數的運算共有加法、減法、乘法、除法和乘方5 種，每一種運算都有其運算法則。在具體計算時，都是先確定符號，再確定絕對值，分步計算這一點一定要引起我們的高度重視，否則很容易出錯。當然，小學里學習的加法與減法互為逆運算，乘法與除法互為逆運算，這點是不變的，隨著后面知識的學習，你們會發現乘方與開方互為逆運算。同時我們還可以發現，有理數的減法可以轉化為加法進行，有理數的除法可以轉化為乘法進行，這說明，數雖然推廣了，但前面所研究的關于數的結論和方法，仍然適用，比如運算律。

二、局部突破，全面深化認識

在本章的學習過程中，我們會遇到的第一個難點是對“數”的全面認識，第二個難點是對“相反數、絕對值”的全面認識，第三個難點是對“運算法則”的全面認識。對于上述三個難點，我們需要局部突破，可以利用數學的思想方法來全面認識和加深理解。

1.利用特殊與一般的思想方法理解“數的擴充”。對于具體的數而言，我們可以根據定義很快區分它屬于什么數。比如，-3 是負數，是負整數，是負有理數，是有理數，是負數，是負分數，是負有理數，是有理數。對于一個一般的數而言，我們通常用一個字母a 來表示，這時我們就要根據具體問題來對a 進行判定。當a代表一個一般的數時，a=0、a=1、a=-1 是其三種特殊情形，解決相關問題時，我們可以采用“特殊元素、優先考慮”的原則進行驗證。比如，相反數等于本身的數是什么？絕對值等于本身的數是什么？倒數等于本身的數是什么？平方等于本身的數是什么？立方等于本身的數是什么？當把a=0、a=1、a=-1分別代入進行驗證就可以得出：相反數等于本身的數是0，絕對值等于本身的數是非負數，倒數等于本身的數是±1，平方等于本身的數是0、1，立方等于本身的數是0、±1。當然，我們也可以通過列出方程（-a=a，|a|=a，用特殊值法求出結論。

2.利用數形結合的思想方法理解“相反數與絕對值”。相反數與絕對值都可以從代數與幾何兩個視角來認識，從代數角度看相反數，就是這兩個數只有符號不同，特殊時為0，從幾何角度看就是數軸上左右兩個點到原點的距離相等。從代數角度看絕對值，正數的絕對值就是本身，0 的絕對值是0，負數的絕對值是它的相反數，從幾何角度看就是這個數對應的點到原點的距離，可見絕對值具有非負性。在這其中，數軸充當了數形結合的工具，借助數軸，可以直觀地研究相關問題，還可以預防分類討論問題的漏解，所以建議同學們研究有理數相關問題的時候，不妨畫一根數軸，充分利用數形結合的思想方法來分析解決問題。

3.利用分類討論和轉化的思想方法理解“數的運算”。隨著負號的引入，涉及數的運算問題就變得稍微復雜一點，既要考慮符號，又要考慮絕對值。先說分類討論，比如一般在研究數的加法的時候，兩個數相加分幾種情況呢？應該有“正正、正零、正負；零正、零零、零負；負正、負零、負負”9種情況，在具體歸納加法法則的時候，合并成“同號兩數、異號兩數、一數一0”三種情形，這是為了讓運算法則更加方便記憶和運用。再來說說轉化，有理數的運算與小學的數的運算有聯系嗎？答案是肯定的。看看每個法則就知道了，都是把有理數的運算分成兩步，第一是確定符號，第二步就是小學里的運算。這樣實際上就把有理數的運算轉化成了小學里的算術運算，由此可見轉化思想功能的強大，化繁為簡，化難為易，化未知為已知，化腐朽為神奇。

有理數是初中數學學習的開端，希望同學們一要保持數學學習的高度熱情，二要養成良好的數學學習習慣，三要對數學學習做堅持不懈的努力，四要重視數學知識及關聯，同時認識和重視思想方法，只有這樣，才能真正把初中數學學好、學深、學透。