有理數中話“負數”

文唐榮喜

由于生產、生活中表示“不足”“負債”等實際問題的需要，數學中解決計算“不夠減”的問題便應運而生，古代數學家引入了“負數”。負數是數系家族中重要的成員之一，人類對負數的認識與應用經歷了漫長的過程，下面我們就來看看古代數學家是如何認識和表示負數的。

中國是世界上較早運用負數的國家，成書于公元前后的《九章算術》，明確給出了正負數概念和加減法則。《九章算術》第八卷是“方程章”，文中出現了科學史上第一次使用負數的記錄，由于列出的方程出現了負數，解題過程中又遇到“小”減“大”的情況，正負數運算就不可避免地自然出現了。公元263 年，數學家劉徽在《九章算術注》中建立了負數的加減法則，他在文中說明了正、負數的兩種記法：一是用紅色的算籌表示正數，黑色算籌表示負數；二是以正擺的算籌表示正數，斜擺的算籌表示負數。到了宋元時期，隨著方程理論的發展，天元術和四元術中，頻繁地運用了正負數，朱世杰的《算學啟蒙》“總括”之“明乘除”一節中給出了正負數的乘法法則，他在數的最右的一個算籌上加斜杠表示負，這時負數的記法基本實現了統一。

相對于中國比較自然地接受負數，西方國家對負數的認識最初是排斥的。負數通過阿拉伯人的著作傳入歐洲，文藝復興時期，西方對負數有所了解，但對方程的負根不承認、不接受。被譽為“代數學鼻祖”的丟番圖在其著作《算術》中稱方程“4x+20=8”是沒有任何意義的。法國數學家笛卡爾雖然最早解釋和系統地使用了負數，但他仍稱之為“假數”，比如方程“z+5=0”，笛卡爾認為它具有“假根”5。在17 世紀，法國數學家帕斯卡對負數也持有懷疑態度，他認為從0 減去4 純粹是胡說。直到18 世紀，還有一些西方數學家不理解負數，他們堅持認為世界上沒有小于“一無所有（即‘0’）”的數。到了20 世紀，人們對負數才有了比較清晰的認識，負數被定義為小于0的數，負號在更廣泛意義上用來表示相反意義的量。1917 年美國數學家亨廷頓在著作中表示整數時記為“……-3，-2，-1，0，+1，+2，+3，……”，給出了當代負數的記法，這時負數的記法才真正實現了統一。中國最終接受現代負號記法已是在辛亥革命之后了。

美國數學家M·克萊因說過：“數學家花了1000年才得到負數的概念，又花了1000年才接受負數的概念。”這足以說明，負數的引入經歷了非常曲折、艱難的歷程。但是，負數的出現，最終為代數學的發展拓寬了道路。