引入Sierpinski層級(jí)特性的新型薄壁多胞管軸向沖擊吸能特性*

何 強(qiáng)，王勇輝，史肖娜，顧 航，陳 宇

（1.江蘇科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212003；2.江蘇理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，江蘇常州213001）

薄壁結(jié)構(gòu)質(zhì)量輕并且具有較好的能量吸收特性，常被用來(lái)生產(chǎn)各種能量吸收或緩沖裝置，已被廣泛應(yīng)用于航天航空、車(chē)輛工程及國(guó)防裝備等領(lǐng)域。薄壁結(jié)構(gòu)在軸向沖擊載荷作用下通過(guò)胞壁的塑性變形吸收大量的沖擊能量，所以研究薄壁結(jié)構(gòu)的軸向壓縮特性具有重要的工程意義。

McFarland[1]最先提出正六邊形多胞結(jié)構(gòu)軸向準(zhǔn)靜態(tài)平均壓縮應(yīng)力的計(jì)算方法，Wierzbicki[2]修正了McFarland 提出的基本折疊模式，并根據(jù)超折疊單元理論[3]對(duì)正六邊形多胞結(jié)構(gòu)的軸向平均壓縮應(yīng)力和折疊波長(zhǎng)進(jìn)行了理論求解；Tran 等[4]通過(guò)理論和數(shù)值手段獲得了多種薄壁管在沖擊載荷作用下的軸向壓縮應(yīng)力理論模型；尹漢鋒等[5]基于超折疊單元理論對(duì)幾種胞元構(gòu)型蜂窩的平均壓縮應(yīng)力進(jìn)行求解，并開(kāi)展耐撞性優(yōu)化設(shè)計(jì)。

薄壁結(jié)構(gòu)的幾何構(gòu)型對(duì)其軸向沖擊載荷作用下的吸能特性有著較大的影響。為提高普通構(gòu)型（三角形、正六邊形、圓形、正方形等）薄壁管的吸能能力，許多學(xué)者對(duì)一些新型層級(jí)薄壁結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了興趣。Sun 等[6]將規(guī)則六邊形多胞結(jié)構(gòu)的每個(gè)頂點(diǎn)替換為一個(gè)較小的六邊形結(jié)構(gòu)，并分析了其軸向沖擊載荷作用下的耐撞性能。Mousanezhad 等[7]提出了具有高剛度和高韌性的蜘蛛網(wǎng)層級(jí)多胞結(jié)構(gòu)，并研究了結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)其面內(nèi)及面外力學(xué)性能的影響。Sun 等[8]用同性子結(jié)構(gòu)替換了規(guī)則六邊形多胞結(jié)構(gòu)的實(shí)心胞壁，研究發(fā)現(xiàn)該層級(jí)特性的引入能大幅度提高其面內(nèi)剛度。張?jiān)降萚9]運(yùn)用數(shù)值模擬方法研究了二階自相似四邊形蜂窩結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)其面外動(dòng)態(tài)壓縮性能的影響。于國(guó)際等[10]研究了二階層級(jí)六邊形蜂窩的面內(nèi)動(dòng)態(tài)壓縮性能。賴燕輝等[11]基于多級(jí)蜂窩構(gòu)型法分析了層級(jí)蜂窩的彈性模量等力學(xué)參數(shù)。

受Sierpinski三角形的啟發(fā)，本文中將Sierpinski分形特性引入薄壁吸能管的層級(jí)設(shè)計(jì)，從而提出一種具有Sierpinski層級(jí)特性的新型薄壁多胞管(Sierpinski hierarchical tube,SHT)，并對(duì)SHTs在軸向沖擊作用下的變形模式和吸能特性進(jìn)行數(shù)值模擬分析。進(jìn)一步基于能量守恒原理對(duì)SHTs在軸向壓縮下的平均壓縮應(yīng)力理論模型進(jìn)行求解，以期為新型薄壁構(gòu)型軸向緩沖吸能裝置的設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)。

1 SHTs的層級(jí)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

分形結(jié)構(gòu)可以通過(guò)多種方法產(chǎn)生，Sierpinski[12]于1916年提出了一個(gè)典型的自相似集，并命名為Sierpinski 三角形。如圖1所示，Sierpinski 墊是一個(gè)由若干個(gè)三角形構(gòu)成的自相似幾何結(jié)構(gòu)。

基于Sierpinski[12]的研究工作，本文研究的具有Sierpinski 層級(jí)特性的多胞管是通過(guò)胞壁連接規(guī)則三角形薄壁管胞壁中點(diǎn)形成的。在每個(gè)SHT中有3i個(gè)邊長(zhǎng)為li的單位三角形，通過(guò)重復(fù)這一迭代過(guò)程能夠得到更高階的SHTs，i表示層級(jí)數(shù)，同時(shí)普通三角形薄壁管可以定義為零階SHTs。第零～三階SHTs的結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。

圖1 SHT幾何結(jié)構(gòu)Fig.1 Geometrical structuresof SHTs

構(gòu)成SHTs的單位三角形薄壁長(zhǎng)度隨著層級(jí)參數(shù)i的增大而變短，這就會(huì)給數(shù)值模擬帶來(lái)很大的麻煩，因此本文中只考慮到三階SHTs。本文中l(wèi)0為90 mm，多胞管軸向長(zhǎng)度h為250 mm。考慮3組壁厚，即t0=1.0，1.3，1.6 mm，薄壁管的相對(duì)密度分別為0.077、0.100和0.123。

由于Sierpinski層級(jí)結(jié)構(gòu)特征的引入，本文中所研究的SHTs結(jié)構(gòu)變得更復(fù)雜。然而，SHT 作為一種典型的薄壁結(jié)構(gòu)，其仍可以被劃分為若干個(gè)典型單元。如圖2所示，所有的SHTs均可看作由2種基本單元組成，即V 形角單元和K 形角單元。

圖2 SHTs結(jié)構(gòu)角單元示意圖Fig.2 Schematic angle elements of SHTs

2 SHTs的軸向壓縮模擬分析

圖3 SHT 軸向壓縮有限元模型Fig.3 A finite element model for dynamic axial compression of an SHT

2.1 SHTs軸向壓縮有限元模型

利用通用顯式非線性有限元分析軟件LSDYNA 模擬軸向沖擊載荷作用下SHTs的動(dòng)態(tài)壓縮特性，計(jì)算模型如圖3所示。構(gòu)建上下端面剛性板，當(dāng)頂端剛性板沿軸向以10 m/s的恒定速度沖擊薄壁試件時(shí)，底端剛性板固定。為了準(zhǔn)確地模擬薄壁管的大變形，胞壁采用Beltschko-Tsay 四邊形殼單元，單元厚度方向采用五點(diǎn)積分，面內(nèi)采用單點(diǎn)積分。基體材料為鋁合金AA6060T4，材料的楊氏模量EY=68.2 GPa，屈服應(yīng)力σy=80 MPa，極限應(yīng)力σu=173 MPa，密度ρs=2 700 kg/m3，泊松比μ =0.3，冪指強(qiáng)化因數(shù)n=0.23[13]。由于鋁合金對(duì)應(yīng)變率不敏感，本文中未考慮應(yīng)變率的影響。薄壁管胞壁采用自動(dòng)單面接觸算法來(lái)考慮自身變形產(chǎn)生的接觸；薄壁管與剛性板之間采用自動(dòng)點(diǎn)-面接觸算法。數(shù)值模型中的靜摩擦因數(shù)及動(dòng)摩擦因數(shù)均取0.2。

2.2 有限元模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證該模型的可靠性，首先對(duì)薄壁方形管[14]的壓縮行為進(jìn)行模擬。通過(guò)有限元計(jì)算后處理可以提取沖擊端應(yīng)力應(yīng)變曲線，名義應(yīng)力σ可表示為：

表1 薄壁方形管動(dòng)態(tài)平均壓縮力模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[14]的比較Table 1 Comparison between simulated and experimental mean dynamic compressiveforces[14]for thin-walled square tubes

模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[14]的比較見(jiàn)表1，誤差均小于10%，表明模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好。

2.3 變形模式和塑性機(jī)理

圖4給出了 ρ ˉ=0.077的不同SHTs結(jié)構(gòu)在軸向沖擊載荷作用下不同時(shí)刻的典型變形圖。由于多胞管的底部被固定，胞壁均從沖擊端開(kāi)始發(fā)生塑性變形，隨著沖擊端的不斷下壓，胞元逐層發(fā)生折疊變形。研究結(jié)果還表明，具有Sierpinski 層級(jí)特性的多胞管在軸向壓縮過(guò)程中均呈現(xiàn)出軸對(duì)稱漸進(jìn)屈曲模式。軸對(duì)稱漸進(jìn)屈曲是理想的屈曲模式，已有研究表明薄壁結(jié)構(gòu)在受到軸向沖擊載荷作用時(shí)也多發(fā)生軸對(duì)稱的向外屈曲變形[2-5]，并且塑性變形主要集中在管壁的連接處。

圖4 不同SHTs 的軸向壓縮變形Fig.4 Deformation of different SHTs under axial dynamic crushing

與此同時(shí)，Sierpinski 層級(jí)特征的引入導(dǎo)致胞元節(jié)點(diǎn)段數(shù)的增加。為保持結(jié)構(gòu)的相對(duì)密度不變，胞壁厚度會(huì)變小，從而在某種程度上削弱了薄壁結(jié)構(gòu)的彎曲變形能。與規(guī)則三角形管相比，引入Sierpinski 分級(jí)特性的多胞管變形吸能最顯著的區(qū)別就是折疊單元的數(shù)量。SHTs完全折疊單元的數(shù)量會(huì)隨著層級(jí)數(shù)的增加而增加。Sierpinski 分級(jí)特性的引入大大縮短了胞壁變形的半折疊波長(zhǎng)，這也就意味著在壓縮過(guò)程中更多的塑性變形能被耗散，增強(qiáng)了薄壁結(jié)構(gòu)的抗壓縮能力。

Abramowicz 等[15]指出，薄壁管在塑性變形過(guò)程中有2類基本的變形單元，即非延展性基本單元和延展性基本單元，如圖5所示。圖5中2H為折疊單元高度，圖5(a)中延展吸能區(qū)域陰影面積為S*，圖5(b)中延展吸能區(qū)域陰影面積為S#。

圖5 兩類基本單元Fig.5 Two kinds of basic elements

前文介紹SHTs結(jié)構(gòu)時(shí)提及到作為一種典型的薄壁結(jié)構(gòu)，其仍可以被劃分為若干個(gè)典型單元，即如圖2所示，所有的SHTs均可看作由2種基本單元組成，即V 形角單元和K 形角單元。

圖6給出了2種角單元的典型變形輪廓圖，通過(guò)對(duì)變形模式的仔細(xì)觀察能得到SHT 結(jié)構(gòu)在整個(gè)變形過(guò)程中的2種典型變形模式。這些變形模式主要取決于相鄰胞壁的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。對(duì)于V 形角單元，在每一個(gè)折疊單元變形過(guò)程中，2個(gè)胞壁都向同一方向移動(dòng)，其變形輪廓如圖6（a）所示，這屬于傳統(tǒng)的非延展性變形模式（Ⅰ型）。

對(duì)于K 形單元，4個(gè)胞壁在折疊變形過(guò)程中均向外移動(dòng)，如圖6（b）所示，此時(shí)相鄰胞壁間的變形機(jī)理屬于延展性變形模式（Ⅱ型）。

圖6 SHTs變形機(jī)理Fig.6 Folding mechanisms of SHTs

3 SHTs的軸向壓縮應(yīng)力計(jì)算

圖7為薄壁結(jié)構(gòu)的胞壁受軸向沖擊載荷作用時(shí)的變形示意圖，其中H被稱為胞元折疊單元半波長(zhǎng)塑性鉸長(zhǎng)度，δ為軸向壓縮長(zhǎng)度，q為沖擊載荷。

軸對(duì)稱漸進(jìn)屈曲是理想的屈曲模式，已有研究[2-5]表明薄壁結(jié)構(gòu)在受到軸向沖擊載荷作用時(shí)也多發(fā)生軸對(duì)稱漸進(jìn)屈曲變形。學(xué)者們基于簡(jiǎn)化超折疊單元（simplified super folded element,SSFE）理論求解了大量該變形模式下薄壁管的塑性坍塌問(wèn)題[3-5]。

圖7 薄壁結(jié)構(gòu)在軸向沖擊載荷下的變形示意圖Fig.7 Schematic of thebuckling of a thin-walled structure under axial impact load

SHTs是一種典型的薄壁結(jié)構(gòu)，通過(guò)數(shù)值模擬和分析可知其在壓縮載荷作用下發(fā)生軸向漸進(jìn)屈曲模式變形，這就啟發(fā)我們運(yùn)用SSFE理論來(lái)推導(dǎo)SHTs的軸向壓縮力。為確定SHTs的軸向壓縮應(yīng)力，還需作如下假設(shè)：

(1)薄壁管材料塑性好，可視為理想剛塑性材料；

(2)如圖7所示，薄壁管在軸向壓縮載荷作用下發(fā)生向外的軸對(duì)稱漸進(jìn)屈曲，變形過(guò)程中各個(gè)折疊的塑性鉸長(zhǎng)度相等，為2H；

(3)在變形過(guò)程中，同一胞元上下表面保持平行，即胞元的各邊變形量相同；

(4)壓縮過(guò)程中胞壁間粘接強(qiáng)度足夠大，不發(fā)生破裂，可忽略粘接對(duì)薄壁結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的影響。

3.1 SHTs的彎曲耗能計(jì)算

圖8 基本折疊單元凸緣充分壓縮示意圖Fig.8 Schematic full compression of a basic folding element flange

3.2 角單元的拉伸耗散能

3.2.1 V 形角單元

圖6給出了簡(jiǎn)化超折疊單元理論中的基本

折疊單元延展吸能示意圖，本文中考慮了SSFE理論中的2種拉伸變形模式。圖5(a)所示為變形模式，延展吸能區(qū)由3個(gè)三角形陰影部分組成，通過(guò)對(duì)陰影面積積分可求得該變形模式下單個(gè)胞壁的拉伸耗散能：

Chen 等[16]指出2個(gè)互相連接的胞壁對(duì)角單元的拉伸形變能具有相似的貢獻(xiàn)。因此，在非延展變形的情況下，直角單元的拉伸耗散吸能可表示為單個(gè)角折疊單元拉伸耗散吸能的2倍：

Tran 等[4]在角單元的拉伸耗散吸能方面做了大量的研究，指出與直角單元相比，V 形角單元的拉伸耗散吸能較小。如圖9所示，V 形角單元在完全塑性坍塌過(guò)程中的拉伸耗散吸能可表示為：

圖9 直角角單元與V 形角單元之間薄膜耗散能關(guān)系Fig.9 Membrane energy relationship between the rectangular angleelement and the V-angle element

3.2.2 K 形角單元

通過(guò)對(duì)變形輪廓圖的分析，不難發(fā)現(xiàn)K 形角單元的變形機(jī)理比直角角單元的變形機(jī)理復(fù)雜。將K 形角單元的薄膜耗散吸能簡(jiǎn)化為由一個(gè)V 形角單元和兩個(gè)附加平面的薄膜耗散吸能組成。K 形角單元中的每個(gè)胞壁都具有相似的變形模式。K 形角單元中包含的V 形角單元與單個(gè)V 形角單元具有相同的抗壓強(qiáng)度，需注意的是根據(jù)仿真結(jié)果（圖7）可知此時(shí)的V 形角單元處于延展性變形模式，如圖6（b）所示。陰影部分為延展吸能區(qū)，通過(guò)積分陰影區(qū)域來(lái)評(píng)估完全塌陷期間每個(gè)胞壁的薄膜耗散吸能：

圖10給出了在K 形角單元的拐角處形成的延展吸能三角形單元。K 形角單元中包含的V 形角單元的薄膜耗散能可表示為：

圖10 變形模式Fig.10 Deformation modes

3.3 SHTs的動(dòng)態(tài)平均壓縮應(yīng)力計(jì)算

普通三角形薄壁管，即零階SHTs是由3個(gè)V 形角單元組合而成。將式（12）和（15）代入式（9），平均壓縮力Pm,0th的理論計(jì)算方程可寫(xiě)為：

3.4 理論模型模擬驗(yàn)證

本文中t0分別取1.0、1.3和1.6 mm，胞壁長(zhǎng)l0取90 mm，分別對(duì)這些新型SHT多胞結(jié)構(gòu)進(jìn)行軸向壓縮的數(shù)值模擬。

用式(29)～(32)計(jì)算出動(dòng)態(tài)壓縮應(yīng)力的理論值，并將其與模擬結(jié)果進(jìn)行比較，如表2所示，當(dāng)t0=1.0mm（ ρ ˉ=0.077）時(shí)，一階、二階及三階SHTs的動(dòng)態(tài)壓縮應(yīng)力較普通三角形薄壁管分別升高了85.8%、138.2%和183.8%。這表明：將Sierpinski 層級(jí)特性應(yīng)用到薄壁管的設(shè)計(jì)中，可以有效提高薄壁管的吸能特性。4種薄壁管的動(dòng)態(tài)壓縮應(yīng)力模擬值和理論值的差異分別為-2.64%～3.42%、-5.23%～1.54%、-2.77%～3.14%和-1.19%～3.67%，結(jié)果基本吻合，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文動(dòng)態(tài)壓縮應(yīng)力理論推導(dǎo)方法的可行性，說(shuō)明理論計(jì)算結(jié)果具有工程應(yīng)用價(jià)值，可用于指導(dǎo)新型薄壁結(jié)構(gòu)軸向緩沖吸能裝置的設(shè)計(jì)。

4 結(jié)論

將Sierpinski分形結(jié)構(gòu)引入到薄壁吸能管的層級(jí)設(shè)計(jì)中，提出了一種具有Sierpinski 層級(jí)特性的新型薄壁多胞管（SHT），并通過(guò)數(shù)值模擬和理論方法研究其受軸向沖擊載荷作用下的變形模式和能量吸收特性，研究結(jié)果表明：

（1）具有Sierpinski層級(jí)特性的SHTs在軸向壓縮過(guò)程中均呈現(xiàn)出理想的軸對(duì)稱漸進(jìn)屈曲模式。SHTs完全折疊單元的數(shù)量會(huì)隨著層級(jí)數(shù)的增加而增加。Sierpinski 分級(jí)特性的引入大大縮短了胞壁變形的半折疊波長(zhǎng)，壓縮過(guò)程中更多的塑性變形能量被耗散，增強(qiáng)了薄壁結(jié)構(gòu)的抗壓縮能力。

（2）SHTs均可看作由兩種基本單元組成，即V 形角單元和K 形角單元。V 形角單元在每一個(gè)折疊單元變形過(guò)程中，兩個(gè)胞壁都向同一方向移動(dòng)，屬于傳統(tǒng)的非延展性變形模式（Ⅰ型）。K 形角單元4個(gè)胞壁在折疊變形過(guò)程中均向外移動(dòng)，相鄰胞壁間的變形機(jī)理屬于延展性變形模式（Ⅱ型）。

（3）基于能量守恒理論和塑性鉸理論建立了SHTs的塑性屈曲理論模型，獲得了壓潰過(guò)程中的塑性彎曲耗散能、薄膜耗散能、軸向壓縮應(yīng)力的理論表達(dá)式，模擬結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果基本吻合，驗(yàn)證了本文中動(dòng)態(tài)壓縮應(yīng)力理論推導(dǎo)方法是可行的，理論計(jì)算結(jié)果具有工程應(yīng)用價(jià)值。

（4）在相同的相對(duì)密度下，一階、二階及三階SHTs的動(dòng)態(tài)壓縮應(yīng)力較普通三角形薄壁管分別增高了85.8%、138.2%和183.8%。將Sierpinski 層級(jí)特性引入到薄壁管的設(shè)計(jì)中，能夠有效提高薄壁管的耐撞性能，這可為新型吸能元件的研究和設(shè)計(jì)提供參考。