一種散體材料SHPB被動圍壓試驗體應力修正方法*

魏久淇，張春曉，曹少華，王世合，李 磊

（1. 軍事科學院國防工程研究院工程防護研究所，河南洛陽471023；2.河南省特種防護材料重點實驗室，河南洛陽 471023）

散體介質是一種非平衡態復雜的能量耗散體系，具有優良的削波耗能特性[1]，在地震工程、采礦工程和防護工程領域受到廣泛應用，如砂土常作為防護結構分配層的填充材料。該類工程在地震、爆炸沖擊等強荷載作用下的響應與材料在高應變率下的動態力學特性密切相關。分離式霍普金森壓桿（SHPB）是研究材料中高應變率力學特性的常用設備，散體材料往往需要厚壁圓筒和墊塊控制材料的初始條件，從而實現該材料的SHPB被動圍壓試驗，國內外諸多學者[2-16]利用該方法對砂土等散體材料的動態力學特性開展了大量研究。SHPB被動圍壓試驗中，試樣及厚壁圓筒內部的應力場和應變場很難通過現有的技術直接測量，目前得到材料體應力-應變關系的主要手段是將厚壁圓筒的受力狀態簡化為平面應力問題[17]，測量厚壁圓筒外表面（如圖1所示）的環向應變εc，由下式計算得到，

圖1 散體材料受約束的幾何結構Fig.1 Geometric structure constrained by SHPB test for bulk material

式中：σrr為極坐標下徑向應力； εrr為極坐標下的徑向應變；εzz為軸向應變；Ec、νc分別為厚壁圓筒的彈性模量和泊松比，εc為應變片測到的厚壁圓筒環向應變，a為厚壁圓筒的外徑與內徑的比；p為體應力，εV為體應變。

對于固體材料而言，因不存在裝樣困難，在滿足SHPB均勻性假定的條件下，試樣的初始厚度可以做到與厚壁圓筒長度等長，在小應變范圍內，材料的體應力應變利用式（1）～（4）計算并無不妥；當試樣厚度與厚壁圓筒不等長時，根據Forquin 等[18]分析厚壁圓筒會發生不均勻凸出變形，圖2樣厚度較長時，試驗時厚壁圓筒的幾何變形圖。由圣維南原理易知，厚壁圓筒L段受力狀態仍可以看成平面應力問題，式（1）～（4）仍有效。然而由于散體材料波阻抗遠小于壓桿的波阻抗，試樣厚度很小才能滿足SHPB均勻性假定條件，加之受裝樣限制，試樣厚度遠小于厚壁圓筒的長度，此時端部效應可能會覆蓋整個不均勻凸出區，公式（1）～（4）的有效性需要予以探討。以往研究石英砂的動態力學特性時，大多只分析砂子的軸向應力應變，Luo等[11]沒有考慮端部效應的影響直接引用式（1）～（4）計算砂子的體應力-應變關系，這有失嚴謹。魏久淇等[5]和文祝等[6]認為由式（1）計算的材料徑向應力與真實應力存在折算系數關系，但并未給出合理的驗證。Bragov 等[15]注意到了該問題，并設計了一個階梯型的圓筒（如圖3所示），裝樣時將試樣置于厚壁對應位置，該方法可以極大限度弱化端部效應，計算材料體應力應變時可直接引用式（1）～（4）。然而該方法存在兩個弊端：一是圓筒薄壁越薄，端部效應對試驗結果的影響越小，但圓筒加工難度越大；二是試驗時無法改變試樣的初始厚度。

圖2 試驗時厚壁圓筒的幾何變形圖Fig.2 Geometric deformation diagram of thick-walled cylinder in test

圖3 階梯型套筒[15]Fig.3 Ladder sleeve[15]

本文中，不改變厚壁圓筒結構，使用傳統厚壁圓筒固定裝樣的方法，利用Autodyn 軟件分析了試樣實時厚度對材料真實體應力應變的影響，基于厚壁圓筒理論提出一種修正方法，并對非飽和鈣質砂進行準一維應變沖擊試驗和數值仿真，驗證修正方法的可靠性，以期對開展散體材料SHPB被動圍壓進行指導。

1 有限元分析

Autodyn 可用于分析氣體、液體和固體及它們之間耦合作用的高速、瞬態動力學的問題，本文用該軟件輔助分析特殊工況下（試樣厚度遠小于厚壁圓筒長度），式（1）～（4）的有效性，并給出科學計算材料體應力應變的思路。

1.1 建立模型

假定試樣為準一維應變狀態，圖4為試樣應力均勻時厚壁圓筒的受力示意圖，此模型忽略了試樣與厚壁圓筒內壁摩擦力。由圖4可知，當試樣應力均勻時，厚壁圓筒內壁承受沿材樣實時厚度Ls均布徑向內推力σss，根據連續性條件可知 σss=σrr，由式（1）可知εc=2σrr/[Ec(α2-1)]。利用Autodyn 建立厚壁圓筒模型，對厚壁圓筒內壁試樣實時厚度Ls區施加給定σss(t)，輸出厚壁圓筒外中點環向應變εs，對比εs和εc，若εs=εc，則說明式（1）～（4）有效，若 εs≠εc，則反之。圖5為建好的厚壁圓筒模型，選用朗格朗日算法，厚壁圓筒為自由邊界條件。

圖4 厚壁圓筒受力分析Fig.4 Force analysis of thick-walled cylinder

圖5 厚壁圓筒模型Fig.5 Thick-walled cylinder model

1.2 結果與分析

圖6為給定的σss時程曲線，由圖6可知 σss為動態力，可以真實模擬試驗時厚壁圓筒受到的動態徑向內推力。

對于不同的Lc和Ls，圖7給出了公式值εc和數值計算值εs(Lc,Ls) 對比圖，其中Lc與Ls的單位為mm。公式值εc為σss帶入式(1)計算出的厚壁圓筒外表面的環向應變。由圖7 可知，當試樣實時厚度大于30 mm，式(1)有效，當試樣厚度小于20 mm 時，式（1）無效。研究發現：當砂樣實時厚度小于20 mm，公式值εc與數值計算值εs(Lc,Ls) 存在折算關系：k=εc/εs(Lc,Ls)，k為折算系數，試樣實時厚度僅影響折算系數的大小。

圖6 徑向力σ ss時程曲線Fig.6 Time-history curve of radial force σss

圖7 應變公式值（εc）與數值計算值（εs(L c, L s)）的對比Fig.7 Comparison diagram between strain by fomula (εc)and that by simulation (εs(L c, L s))

1.3 有限元仿真驗證

為了驗證上述仿真方法的可靠性，本文開展了數值模擬，圖9為試樣實時厚度與厚壁圓筒等長（Ls=Lc）時，本文模擬計算值εs(Lc,Ls)與εc的（式(1)理論值）對比圖。由圖9可知，當試樣實時厚度與厚壁圓筒相等時，仿真計算值與理論值吻合較好，因此本文Autodyn 有限元分析方法具有一定的可信度。

2 試驗驗證

為進一步驗證本文方法的可靠性，本文開展了含水率為25%和30%非飽和鈣質砂SHPB被動圍壓高速沖擊試驗，每種含水率重復3次試驗。含水率為25%和30%非飽和鈣質砂受高速沖擊壓縮可轉變為飽和鈣質砂。水在飽和鈣質砂中對應力應變關系起主導作用，由于水的等向性，理論上飽和鈣質砂的軸向應力等于徑向應力。非飽和鈣質砂受高速沖擊壓縮轉變為飽和鈣質砂時，若式(6)計算的徑向應力和軸向應力相等，則能進一步驗證本文方法的可靠性。

圖8 折算系數與試樣實時厚度的關系圖Fig.8 relation diagram between conversion coefficient and real-time thickness of samples

圖9 驗證性模擬Fig.9 Verification simulation

2.1 材料基本參數和工況

本文所用材料為鈣質砂，圖10為鈣質砂試樣，呈乳白色，主要成分為CaCO3，摻雜有少量紅色顆粒（碳酸鎂）。原始砂樣經過24 h 充分烘干后，經標準篩篩分稱重后的級配曲線見圖11，考慮到試樣直徑及試樣厚度，大顆粒的存在無法滿足試樣均勻性，極小顆粒量少不易稱量，故將砂樣中粒徑小于0.15 mm 和大于1.18 mm 的粒徑剔除，剔除后剩余粒徑的砂樣組分不變，鈣質砂的比重為2.82，最大最小干密度分別為1.378和1.183 g/cm3，實際工況如表1所示。

圖10 試驗砂樣Fig.10 Sand specimens tested

圖11 砂樣顆粒級配曲線Fig.11 Grain size distribution

表1 試驗工況表Table 1 Summary of SHPB tests

2.2 試驗設備

本文所用SHPB 試驗裝置為直徑37 mm 的鋁桿，如圖12(a)所示。子彈長度、入射桿以及透射桿分別為400 mm、2 000 mm 和2 000 mm。由于鈣質砂為松散介質，為精確控制試樣的初始條件，試驗時用厚壁圓筒和墊塊束縛成試件。墊塊和厚壁圓筒如圖12(b)、圖12(c)所示。厚壁圓筒材質為4340鋼，彈性模量為210 GPa,泊松比為0.3，內徑37.1 mm，外徑為47 mm，長為94 mm；墊塊材質跟壓桿材質完全相同，直徑為37 mm，厚度為30 mm。

2.3 結果與分析

試樣裝樣步驟參考Song 等[2]研究成果，整形器為厚1 mm 直徑10 mm 橡膠片。圖13是試驗時的原始典型波形。砂樣動態應力平衡是評判試驗數據有效的重要方法，圖14為鈣質砂試樣的動態應力平衡圖，由圖可知試樣基本滿足應力平衡條件。

圖12 試驗設備Fig.12 Test equipment

圖13 試驗原始波形Fig.13 Test the original waveform

圖14 砂樣動態應力平衡Fig.14 Dynamic stress equilibrium in the sand specimens

圖15為含水率25%、30%鈣質砂的應力-應變曲線。厚壁圓筒的屈服強度為835 MPa,由拉梅公式[19]易知厚壁圓筒內應力（等于砂子的徑向應力）大于325 MPa 時，厚壁圓筒才會屈服。由圖14可知鈣質砂的最大軸向應力為102 MPa，易知厚壁處于彈性狀態。本文砂樣的軸向應變為10-1量級，由式（5）～（7）易知徑向應變為10-4量級，故鈣質砂可以看成準一維應變狀態。因此可得，

式中：e為孔隙比，wsat為飽和含水率，Gs為骨架密度。由式（10）、（11）和（12）易得含水率25%和30%非飽和鈣質砂受高速沖擊壓縮轉變為飽和時的應變拐點，分別記為Sr1、Sr2（見圖15）。由圖14可知：鈣質砂含水率越高，受沖擊壓縮更易飽和，達到飽和點后，由于水不可壓縮，其應力-應變曲線迅速趨陡峭。圖14中鈣質砂的徑向力σrr是由式（5）～（6）計算得到的，由圖可知，飽和狀態時，鈣質砂的軸向應力和修正過的徑向應力基本相等，這主要是因為水在飽和鈣質砂中起主導作用，水對四周力相等。綜上可知，本文方法具有可靠性。

圖15 含水率25%、30%鈣質砂的應力應變Fig.15 Stress and strain of calcareous sand with 25%,30%water content

3 結論

本文利用有限元分析給出了一種解決辦法，并用數值仿真和試驗兩種方法驗證本文方法的可靠性，主要得出以下結論。

（1）散體材料SHPB被動圍壓試驗時，試樣厚度遠小于厚壁圓筒長度時，由于端部效應導致厚壁圓筒不均勻凸出變形，求解材料的體應力-應變關系時不能將厚壁圓筒應力狀態簡化為平面應力問題。

（2）厚壁圓筒處于彈性狀態下，通過厚壁圓筒理論計算出的材料徑向力與材料真實徑向力存在一定比例關系，在一定范圍內，折算系數與試樣實時厚度存在二次函數關系。

（3）試樣厚度、厚壁圓筒長度、厚壁圓筒內外徑之比以及厚壁圓筒材料特性都會影響折算系數，各因素之間還存在多種耦合關系，解析解也尚未給出，仍需進一步探討。開展類似試驗時，針對具體情況，可利用本文提供的方法分析折算系數。