學習二次函數應關注的三個方面
——蘇科版數學九（下）第五章“二次函數”整體解讀

文／黃秀旺

第五章 二次函數

領銜人：黃秀旺（江蘇省特級教師）

組稿團隊：江蘇省南京市初中數學黃秀旺名師工作室

二次函數是繼一次函數、反比例函數之后的又一個函數，是描述現實世界數量關系的重要的數學模型。我們學習二次函數應關注三個方面：

一、體現基本的數學思想

1.類比思想

首先，類比之前函數的研究思路（圖1）：在解決生活實際問題的過程中引入了二次函數概念，再探索二次函數的性質，落腳于用二次函數知識解決實際問題。

圖1

其次，我們在學習具體內容時，依然能感受到類比思想。比如，類比一次函數圖像和反比例函數圖像，探索二次函數圖像的畫法；類比一次函數與一次方程的關系，探索二次函數與二次方程的關系；類比研究一次函數時，分k＞0 和k＜0 兩種情況（反比例函數亦是如此），對于二次函數y=ax2，也分a＞0 和a＜0 兩種情況；等等。

再次，在研究不同二次函數時也體現了類比思想。比如，已討論了二次函數y=ax2（a＞0）的圖像與性質，那么，我們就可以類比此情況討論二次函數y=ax2（a＜0）的圖像與性質；再如，先討論了函數y=（x+3）2的圖像與函數y=x2的圖像之間的關系，就可以通過類比討論函數y=-（x+3）2的圖像與函數y=-x2的圖像之間的關系；等等。

2.歸納思想

3.數形結合思想

數形結合思想貫穿二次函數學習的始終。對于最簡單的二次函數y=x2、y=-x2的研究，我們就是從畫函數的圖像開始的，然后通過圖像了解它們的性質。在研究二次函數的最大值或最小值時，也是借助函數圖像的最高點或最低點得到的；探索二次函數與二次方程的關系時，也是利用函數圖像與x軸交點的個數來發現二次函數與二次方程的解（個數）之間的關系。

二、重視知識之間的聯系

本章主要研究二次函數的概念、二次函數的圖像和性質、二次函數與一元二次方程、用二次函數解決問題等內容。“用待定系數法確定二次函數表達式”與方程是密切相關的，而二次函數的圖像與橫軸的交點問題，可以轉化為“二次函數的值為0，對應的一元二次方程的根的情況”。因此，函數與方程是密不可分的，我們到高中學習函數也是如此。當我們認識到這一點時，便可以主動地將函數與方程聯系起來，這樣既強化知識之間的聯系，也優化研究函數的方法。

三、加強應用，體現模型思想

之前我們在學習一次函數時，體會到有些實際問題中變量之間的關系可以用一次函數模型來刻畫，就可以利用一次函數的圖像和性質來研究，從而解決了實際問題。同樣，如果有些實際問題中變量之間的關系可以用二次函數模型來刻畫，就可以利用二次函數的圖像和性質來研究，這一過程體現了模型思想。比如，教材中出現的“稻田收益最大”“魚塘總產量最大”“小兔活動范圍最大”等有關問題，可以歸結為求二次函數的最值問題；又如，“拱橋的水面寬”“拋物線形護欄的不銹鋼管的長度”等有關問題，也可以建立直角坐標系，利用二次函數解決。總之，我們在學習數學知識時，應加強與實際生活的聯系，學以致用，體會模型思想的應用。