制造的斜齒輪齒向修形曲線的優(yōu)化探究

田志勇

（南京高精軌道交通設(shè)備有限公司，南京 210000）

齒輪輪齒產(chǎn)生的變形不僅會(huì)受到機(jī)械因素的影響，在工作時(shí)如果出現(xiàn)高速運(yùn)轉(zhuǎn)的情況，也會(huì)因熱因素的影響而變形。齒輪輪齒的變形會(huì)導(dǎo)致輪齒承受的載荷出現(xiàn)失衡的情況，而輪齒在長期載荷失衡時(shí)很容易出現(xiàn)局部早期點(diǎn)蝕或膠合，嚴(yán)重情況下甚至?xí)?dǎo)致輪齒折斷，對(duì)機(jī)械運(yùn)行的穩(wěn)定性與安全性均會(huì)造成嚴(yán)重影響。因此，為使齒輪在嚙合過程中遭受的沖擊被控制在合理范圍內(nèi)，實(shí)現(xiàn)對(duì)載荷分布的有效控制，同時(shí)也是為了減少齒輪運(yùn)行過程中產(chǎn)生的振動(dòng)與噪聲，就需要對(duì)斜齒輪齒向進(jìn)行修形[1]。而關(guān)于修形曲線的優(yōu)化研究，則是保證齒向修形有效性的關(guān)鍵，對(duì)維持機(jī)械的正常運(yùn)轉(zhuǎn)也十分重要。

1 齒輪輪齒變形的產(chǎn)生機(jī)理

輪齒變形主要是指輪齒齒面變形，主要表現(xiàn)為齒輪端面齒廓沿齒寬方向出現(xiàn)一定程度的扭轉(zhuǎn)，齒寬較寬的情況下輪齒齒面會(huì)出現(xiàn)扭曲或磨損，而齒寬較窄時(shí)則很有可能發(fā)生輪齒折斷的情況。該現(xiàn)象出現(xiàn)的原因在一定程度上是因?yàn)辇X輪輪齒各端面切除量存在不均勻的情況。中小模數(shù)齒輪在批量進(jìn)行精密加工時(shí)常采用蝸桿砂輪磨削的技術(shù)，而在應(yīng)用蝸桿砂輪磨削漸開線斜齒輪時(shí)，則可將其工作過程看成是一對(duì)交錯(cuò)軸斜齒輪的嚙合過程。蝸桿砂輪與被加工齒輪在磨削過程中主要以點(diǎn)接觸方式產(chǎn)生接觸，而接觸點(diǎn)會(huì)在輪齒齒面上產(chǎn)生持續(xù)性變化，從而形成接觸跡。而當(dāng)齒輪進(jìn)行齒向修形時(shí)，修形的曲線通常會(huì)疊加在齒輪分度圓的螺旋線上，此時(shí)分度圓上的接觸點(diǎn)在不同端面上的高度是不同的，而這種高度差則是形成齒向修形的關(guān)鍵。

通常接觸跡與齒輪端面會(huì)存在夾角，而一條接觸跡與輪齒頂端及根部的接觸點(diǎn)會(huì)存在明顯的高度差，這就意味著斜齒輪輪齒齒端截面輪廓是在多個(gè)不同接觸跡的共同影響下形成的。而在加工過程中會(huì)受到計(jì)算、誤差等因素的影響，以輪齒頂部到輪齒根部的順序?yàn)閰⒖迹坏┏霈F(xiàn)輪齒上端面頂部到根部的修形量逐漸減小，而輪齒下端面同樣順序下的修形量逐漸增大，也就意味著輪齒上端面到下端面的修形量變化是完全相反的，這種完全相反的情況就會(huì)造成齒輪輪齒變形或扭曲[2]。

2 如何確定齒向修形方式

通常情況下齒向修形僅僅針對(duì)小齒輪，在具體的內(nèi)容上包括鼓形修形與齒端修形兩種，其中齒端修形的效果在于縮減斜齒輪在嚙合過程中承受的沖擊載荷，但綜合齒輪運(yùn)行的情況來看，齒輪傳動(dòng)過程中具有很多的影響因素，這些因素均會(huì)導(dǎo)致齒輪輪齒出現(xiàn)變形，而齒端修形的工作內(nèi)容僅限于齒端端面及附近的局部區(qū)域，而當(dāng)齒輪具有較大寬度時(shí)很容易引起嚴(yán)重的載荷集中，這種情況是齒端修形無法解決的；鼓形修形則能夠作用于全齒寬方向，因而對(duì)于齒輪因制造誤差或是受載荷時(shí)產(chǎn)生的彈性變形都能有效進(jìn)行彌補(bǔ)。因此在具體修形方式的選用上，需要根據(jù)齒輪的尺寸及用途進(jìn)行分析，在綜合考慮過性價(jià)比的前提下選擇最經(jīng)濟(jì)的修形方式。

一般齒輪在進(jìn)行齒向修形如果選用鼓形修形，通常是指中央鼓形修形，該修形方式能夠有效作用于直齒輪嚙合過程中載荷的有效控制，但在斜齒輪嚙合中僅僅采用中央鼓形修形的效果并不理想。這是由于直齒輪嚙合過程種嚙合線的長度往往是固定的，但斜齒輪的嚙合會(huì)出現(xiàn)嚙合線長度不斷變化的情況，因而僅靠中央鼓形修形無法滿足斜齒輪載荷及各方面能力的要求。

另一方面，承載傳動(dòng)誤差（loaded transmission error，LTE）的情況也需要納入齒輪齒向修形曲線優(yōu)化的考慮范疇。承載傳動(dòng)誤差是指齒輪在運(yùn)轉(zhuǎn)過程中產(chǎn)生振動(dòng)和噪音的源激勵(lì)因素，而降低承載誤差傳動(dòng)幅值（amplitude of loaded transmission error，ALTE）則能夠有效實(shí)現(xiàn)減振降噪。通常承載傳動(dòng)誤差的出現(xiàn)是因?yàn)榭蛰d狀態(tài)下的傳動(dòng)誤差（transmission error，TE）與負(fù)載下斜齒輪輪齒產(chǎn)生變形時(shí)疊加而出現(xiàn)，如果齒輪副重合度系數(shù)居于2 與3 之間，那么斜齒輪輪齒在嚙合過程中必然會(huì)經(jīng)歷三齒- 二齒- 三齒- 二齒- 三齒這樣一個(gè)循環(huán)往復(fù)的過程，考慮到標(biāo)準(zhǔn)漸開線齒輪的傳動(dòng)誤差系數(shù)通常為零，而三齒嚙合區(qū)在變形量上又因?yàn)槭芰Χ嗣孑^多而小于二齒嚙合區(qū)的變形量，因而在嚙合過程中承載傳動(dòng)誤差的變化必然會(huì)呈現(xiàn)出起伏性的特征[3]。考慮到實(shí)際應(yīng)用的斜齒輪在重合度上通常超過2，因此有時(shí)會(huì)將重合度也納入斜齒輪修形方法的優(yōu)化考量范圍中。

由此可見，針對(duì)斜齒輪的齒向修形需要進(jìn)行深入設(shè)計(jì)，提出不同的方案并進(jìn)行驗(yàn)證，以使斜齒輪齒向修形曲線的研究得到充分優(yōu)化。在確定修形曲線的過程中需要考慮眾多因素，包括但不限于斜齒輪制造及安裝過程中產(chǎn)生的誤差、齒輪輪齒變形情況、齒輪軸變形的影響等，對(duì)可能出現(xiàn)的各種變形的組合均加以分析，最終確定斜齒輪齒向修形的曲線。

3 斜齒輪齒向修形曲線優(yōu)化方法

由于斜齒輪齒向修形通常采用鼓形修形的方法，因此此處對(duì)修形曲線的優(yōu)化方法也以鼓形修形方式為基礎(chǔ)進(jìn)行研究。

3.1 齒面扭曲量的計(jì)算

要對(duì)斜齒輪齒向修形曲線進(jìn)行優(yōu)化，首先需要做的是計(jì)算好齒面扭曲量，在此基礎(chǔ)上才能進(jìn)行后續(xù)修形曲線優(yōu)化研究。當(dāng)前對(duì)于齒面扭曲量的計(jì)算還不存在統(tǒng)一化的公式。考慮到齒面扭曲的情況最終會(huì)體現(xiàn)在齒形的誤差上，而齒形誤差又會(huì)因?yàn)辇X向修形曲線的變化而產(chǎn)生變化，這種變化通常在齒輪輪齒上下端面處呈現(xiàn)出誤差絕對(duì)值的最大化（會(huì)出現(xiàn)一個(gè)為正值另一個(gè)為負(fù)值的情況），因此可以通過計(jì)算上下端面齒形誤差的差值來對(duì)齒面扭曲量進(jìn)行評(píng)定。而進(jìn)行這種評(píng)定需要先圍繞齒向鼓形修形曲線各端截面處的齒形誤差建立起相應(yīng)的模型，模型如圖1 所示。

圖1 齒形誤差模型

圖中以La、Lb 分別表示齒頂修形曲線與齒根修形曲線，以L表示分度圓處修形曲線，那么可得任意端面處的齒形誤差如下。

由此齒面扭曲量可表示為：

3.2 齒面鼓形修形曲線的優(yōu)化

通過上一節(jié)齒面扭曲量的計(jì)算公式能夠得知最大修形量g與齒面扭曲量之間呈正比例關(guān)系，如果從齒輪傳動(dòng)角度考慮問題，鼓形修形不必要涉及到全齒寬范圍進(jìn)行，僅僅需要在齒寬中部進(jìn)行調(diào)整，就能夠?qū)崿F(xiàn)載荷在齒寬中部的均勻分布[4]。因此，對(duì)齒向修形曲線兩端進(jìn)行的優(yōu)化可采用二次曲線組合的方式表現(xiàn)，其示意圖如圖2 所示。

圖2 齒向修形曲線優(yōu)化圖

在依照不同的齒寬范圍將優(yōu)化后的齒向修形曲線分成三段之后，可以發(fā)現(xiàn)對(duì)不同齒面扭曲修形的設(shè)計(jì)可通過控制其中的關(guān)鍵量實(shí)現(xiàn)，并確保其齒面扭曲情況在合理范圍內(nèi)。

3.3 計(jì)算結(jié)果與實(shí)例分析

計(jì)算結(jié)果及實(shí)例分析需要在有實(shí)際數(shù)據(jù)支持的情況下才能佐證其可行性與準(zhǔn)確性，本文采用參數(shù)化建模的方式，來為后期的有限元分析提供參考依據(jù)。

首先要做的是對(duì)標(biāo)準(zhǔn)斜齒輪進(jìn)行建模，建模需要確定斜齒輪齒數(shù)、模數(shù)、壓力角、螺旋角、頂系系數(shù)等具體數(shù)據(jù)。取齒輪各方面參數(shù)如下：齒寬2.0mm、螺旋角18°、法面壓力角20°、法面頂隙系數(shù)0.25、齒數(shù)29、法面模數(shù)2.25mm。那么在獲得各方面參數(shù)之后，按照之前得到的齒面扭曲量計(jì)算公式對(duì)鼓形修形曲線優(yōu)化前后齒面的扭曲量進(jìn)行計(jì)算，可得如下計(jì)算結(jié)果：

對(duì)比優(yōu)化前后扭曲量的計(jì)算結(jié)果，很容易看出優(yōu)化后的修形曲線相比原本的修形曲線而言，在扭曲量上降低了72%，這在齒面扭曲量的降低水準(zhǔn)來看無疑是非常明顯的。

隨后基于這些數(shù)據(jù)繪制參考源，以缺省的基準(zhǔn)坐標(biāo)系草繪出齒頂圓、齒根圓、分度圓、基圓基準(zhǔn)曲線后，可借助方程生成兩條關(guān)鍵曲線（漸開線與方程漸開線），并確保兩條漸開線之間擁有相應(yīng)的夾角。之后在根據(jù)這些內(nèi)容草繪端面齒廓曲線與掃描軌跡，具體做法是沿用齒頂圓及齒頂圓弧，隨兩條漸開線作齒根圓角圓弧，并確保齒根圓角圓弧與齒根圓相切，這樣就能得出封閉狀態(tài)的齒廓曲線，隨后可創(chuàng)建原點(diǎn)軌跡線與螺旋軌跡線。最后，以掃描混合的方法生成斜齒輪其中一個(gè)輪齒，而其他輪齒的生成或創(chuàng)建則可采用特征陣列的方法，隨后再進(jìn)行開鍵槽及倒角的操作，就能生成一個(gè)完整的斜齒輪模型。

完成斜齒輪建模之后要對(duì)齒輪建模進(jìn)行修形，修形操作需要沿齒向進(jìn)行，這就意味著在建模過程中繪制齒廓曲線時(shí)要對(duì)其進(jìn)行復(fù)制，以便修形時(shí)應(yīng)用平移或旋轉(zhuǎn)的方式獲取多個(gè)齒廓曲線，齒廓曲線的個(gè)數(shù)則需要參考修形曲線來確定。在此過程中，平移操作需確保平移總距離等于斜齒輪寬度，旋轉(zhuǎn)操作則應(yīng)保證旋轉(zhuǎn)總度數(shù)等于螺旋角的度數(shù)，而單次平移和旋轉(zhuǎn)的量則以其總數(shù)除以復(fù)制個(gè)數(shù)得出。之后應(yīng)用復(fù)制生成的齒廓曲線，按照修形曲線修形量草繪出新的齒廓曲線。在完成這些內(nèi)容之后，就可根據(jù)掃描混合命令進(jìn)行拉伸，并最終生成修形完成后的斜齒輪。

對(duì)齒向修形曲線優(yōu)化前后齒面接觸應(yīng)力與齒向載荷分布的分析，主要是為了驗(yàn)證斜齒輪齒向修形曲線的優(yōu)化是否具有相應(yīng)的價(jià)值，因此這種分析是很有必要的。本文借助有限元分析法進(jìn)行驗(yàn)證，首先在對(duì)齒輪副施加相應(yīng)約束的情況下建立嚙合齒面的接觸副，并對(duì)平行軸斜齒輪實(shí)體副進(jìn)行網(wǎng)格劃分。分析過程中首先假定任意時(shí)刻下齒輪副的嚙合運(yùn)動(dòng)均為準(zhǔn)靜態(tài)過程，代入相關(guān)數(shù)據(jù)之后計(jì)算齒面應(yīng)力，可得出標(biāo)準(zhǔn)斜齒輪的最大等效應(yīng)力為386MPa，最大接觸應(yīng)力為499MPa ；而齒向修形曲線優(yōu)化前的最大等效應(yīng)力為347MPa，最大接觸應(yīng)力為452MPa ；在進(jìn)行過齒向修形曲線優(yōu)化之后，斜齒輪的最大等效應(yīng)力為352MPa，最大接觸應(yīng)力為467MPa。那么結(jié)合這些數(shù)據(jù)來看，齒向修形曲線優(yōu)化之后齒輪副的最大接觸應(yīng)力與最大等效應(yīng)力均有一定程度的下降，而齒向修形曲線優(yōu)化前后最大等效應(yīng)力的變化并不明顯，最大接觸應(yīng)力的變化則有小幅度提升，說明齒面最大等效應(yīng)力及最大接觸應(yīng)力受齒向修形曲線優(yōu)化的影響并不明顯。在此基礎(chǔ)上如果提取齒輪副嚙合過程中的最長接觸線，并在該接觸線上均勻取點(diǎn)繪制接觸應(yīng)力變化曲線，很容易發(fā)現(xiàn)經(jīng)歷過齒向修形曲線優(yōu)化后的齒輪，在臨近齒輪端面接觸點(diǎn)承受的應(yīng)力要小于未修形的齒輪，而在斜齒輪經(jīng)過優(yōu)化之后，兩處端面附近的應(yīng)力值相比未優(yōu)化的齒向修形齒輪而言，雖然出現(xiàn)了一定程度的增長，但相對(duì)而言增幅并不很大，因此對(duì)載荷分布的影響也能得到有效控制，斜齒輪承受的載荷整體上依然分布在齒寬中部區(qū)域。

4 結(jié)語

由于機(jī)械運(yùn)動(dòng)涉及到的內(nèi)容相對(duì)比較復(fù)雜，因而為了保證機(jī)械運(yùn)行過程中的穩(wěn)定性與可靠性，就需要綜合多方面因素設(shè)計(jì)斜齒輪齒向修形曲線的優(yōu)化方式。在得出相應(yīng)優(yōu)化方式之后，還需要帶入實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行認(rèn)證，從而確保齒向修形曲線的優(yōu)化具有相應(yīng)的可靠性，能使斜齒輪所受載荷均勻分布在齒寬中部。