基于小波變換的高邊坡變形監測數據誤差處理方法

雷孟飛，周俊華，湯金毅

（湖南聯智科技股份有限公司，長沙 410073）

0 引言

北斗衛星導航系統（BeiDou navigation satellite system, BDS）是我國自主研發的全天時、全天候提供高精度位置信息的導航定位系統。隨著BDS的逐步完善，BDS 定位精度不斷提高，BDS 高精度定位技術也逐漸被應用到各種工程領域施工期和維護期的變形監測中[1]。利用BDS 進行變形監測，可以克服人工測量所存在的受自然條件限制嚴重、不能實現自動化監測、監測成本高等弊端，因此在變形監測中的應用越來越廣泛。

BDS 自動化監測系統采用靜態相對定位的算法進行高精度解算，由于基準站和監測站的距離相對較近，解算結果水平方向的精度通常能夠達到±3 mm，高程方向能達到±5 mm。監測結果中的大多誤差已經通過差分算法消除，但是對于一些周期性的誤差，比如多路徑誤差、周跳以及設備噪聲造成的高頻誤差和異常跳動則無法剔除干凈，特別對于一些高邊坡監測項目，通常信號遮擋嚴重、衛星星座分布不均，周期性誤差和高頻誤差明顯，并不能得到有效剔除[2]。這些周期性誤差和高頻誤差為邊坡監測帶來很大困難，技術人員很難從各項誤差中提取有用信號來判斷邊坡是否發生形變以及是否需要形變預警，因此有必要對BDS變形監測的數據進行降噪處理，獲得監測點的真實位移坐標時間序列。

小波變換是1 種新的變換分析方法，它克服了傅里葉變換窗口大小不能隨頻率變化等缺點，提供隨頻率改變的“時間-頻率”窗口，可以探測信號中的瞬態成分及頻率成分[3]。在BDS 高邊坡變形監測過程中，可以利用小波變換將監測結果中的高頻噪聲信號分離出來并進行去除，提取有效的形變信息，提高監測精度和穩定性。國內外學者已經將小波變換較多地運用在全球定位系統（global positioning system, GPS）坐標時間序列分析中。文獻[4]提出用小波變換方法提取 GPS 觀測數據中的多路徑信號，對觀測結果進行修正；文獻[5]利用小波分析對全球衛星導航系統（global navigation satellite system, GNSS）高頻低頻多路徑誤差進行濾波降噪，效果良好；文獻[6]提出了1 種基于小波濾波與主成分分析相結合的GPS 去噪方法，構建GPS多路徑誤差的誤差模型，并對GPS 多路徑誤差進行修正；文獻[7]采用小波變換，提取了中國區域8 個國際GNSS 服務組織（International GNSS Service,IGS）站的坐標時間序列中的非線性運動信息，對季節性周期變化進行了分析研究。上述研究中所采用的GPS 坐標時序數據大多為IGS 站點數據，數據質量較高，沒有考慮實際應用中衛星被遮擋、其他信號干擾的情況，因此小波變換在BDS 高邊坡監測中的應用效果并不明確，并且上述研究中并沒有針對性地對坐標時間序列中不同頻率的誤差項進行單獨改正，監測結果容易丟失有用的細節部分。

針對上述問題，本文以廣西某高速公路高邊坡為實驗測區，首先利用小波變換算法對監測結果進行分解，利用低頻層恢復測試數據，剔除監測數據中的粗差數據，然后對監測數據進行2 次小波變換，并對變換后的各層系數分別進行改正，最后恢復監測數據，分析誤差剔除效果。

1 高邊坡變形監測數據誤差處理方法

1.1 小波變換

小波變換主要分為連續小波變換和離散小波變換 2 類[8]。本文采用較常用的離散小波變換（discrete wavelet transform, DWT）進行處理，離散小波變換基本公式[9]為

式中：φ ( t)為小波母函數，對其進行平移和伸縮得到小波基函數集 φa,b(t )；a 為尺度因子；b 為平移因子；R 為實數集。通常取

式中：Z 為整數集； a0為尺度因子擴展步長；0b 為平移因子擴展步長；m 為尺度因子擴展系數；n 為平移因子擴展系數。

將式（2）代入式（1）可得[10]

離散小波變換公式為

式中： fDWT( a , b )為連續小波變換系數；*表示共軛[11]。

1.2 變形監測數據誤差處理流程

基于小波變換的高邊坡變形監測數據誤差處理方法其基本思想是：首先利用小波變換對監測結果的粗差進行剔除；然后對處理后的時間序列進行2 次小波變換；最后將變換后的系數分為高頻、中頻、低頻3 類，分別對每層細節系數采用不同的濾波算法進行濾波，利用各層濾波后的細節系數恢復監測時間序列。其方法流程如圖1 所示，其中各層系數改正的處理流程如圖2 所示。

圖1 數據處理流程

1）數據預處理。選擇監測點一段時間的監測數據進行處理，假設監測數據采樣頻率為s，監測數據時間序列為Y，數據預處理采用3 次樣條插值算法對缺失數據進行插值；

2）小波變換。采用小波變換對監測點數據進行分解，分解后得到細節信號（監測結果的細節信息）以及趨勢信號（包含監測點的位移趨勢）；

3）分解系數分類。①分別計算第2 步的分層結果的頻帶范圍，計算公式[12]為

圖2 各層系數改正流程

式中：Y ' 為監測結果的采樣頻率，通用的單位采樣頻率為1 s/次，而本文中變形監測的采樣頻率較低，因此，本文中定義的單位采樣頻率為1 h/次；j 為分解后的第j 層；式（5）為細節系數的頻帶范圍，式（6）為最后一層分解后的近似系數的頻帶范圍。②根據不同頻段的閾值，將上一步驟計算得到的各層的頻帶范圍進行區分，其中頻段的閾值為各分層系數高頻、中頻和低頻的區分值，高頻信號定義為頻率大于24 h/次，中頻信號約為24 h/次即周期約為24 h，低頻信號頻率小于24 h/次，其具體數值根據監測數據的長度和采樣頻率確定。

4）粗差識別修復。①利用第3 步得到的低頻層和中頻系數采用小波逆變換恢復監測數據，得到監測數據 Y '；②利用3 倍中誤差原則識別粗差數據，具體為：|Yi－ Yi'| ＞ 3σ的數據為粗差數據，其中 Yi為第i 個原始監測數據， Yi'為第i 個低頻系數恢復后的原始數據；③利用臨近插值法對識別出的粗差數據進行修復，得到粗差修復后的監測數據 Y'' 。

5）高頻系數濾波。將步第4 步2 次小波變換后得到的各層變換系數按照第3 步的方法進行分類，同樣分為高頻和低頻2 部分，高頻系數部分采用自適應卡爾曼濾波算法對高頻系數進行濾波。

6）低頻系數濾波。低頻系數部分主要包含了監測點的趨勢信息，因此低頻系數部分采用滑動平均算法進行簡單濾波，去除部分噪點，最大限度保留監測點的趨勢信息，算法公式為

7）中頻系數改正。中頻系數改正采用中誤差原則進行改正，首先計算中頻系數的中誤差Lσ ，然后按如下公式進行改正，即

式中：Mi為第i 個中頻系數；Lσ 為中頻系數中誤差；為第i 個中頻系數改正值。

8）監測數據恢復。利用處理后各層的系數恢復監測數據。

2 實驗與結果分析

2.1 數據來源

本文采用的監測數據來自廣西陽朔至鹿寨高速公路邊坡2 號監測點（如圖3 所示），該邊坡高約60 m，五級邊坡，植被茂密，邊坡后方為陡坡向上。數據采集設備為本單位自己研發的BDS 高精度接收機，解算軟件亦為本單位自己研發的高精度變形監測后處理軟件，數據解算間隔為1 h，數據時間為2020-02-01—2020-05-19，另外在數據中加入3 個隨機粗差來檢驗粗差剔除效果。

圖3 監測點概況

2.2 處理結果

1）粗差修復。數據的小波變換函數選擇“db08”，分解層數為6 層，a6 為第6 層分解后的近似系數，計算得到的各層頻帶范圍如表1 所示。

表1 頻帶范圍表單位：Hz

計算得到上文所述高頻、中頻和低頻的閾值為0.041 7 Hz，高頻層為d1、d2、d3，中頻層為d4，低頻層為d5、d6。利用低頻層進行小波逆變換，恢復監測數據，并進行粗差識別和修復，修復效果如圖4所示。

圖4 粗差修復效果

從圖4 可以看出，3 處粗差數據都能夠得到較好修復，修復效果良好。

2）細節系數濾波。將上一步驟經過粗差修復后的數據進行2 次小波變換，然后對各項系數進行改正，改正效果如圖5 所示。

圖5 各層細節系數濾波效果

從圖5 各層細節系數濾波效果圖中可以看出：d1、d2、d3、d4、d5及d6各層的細節系數都有比較大的改正，其中d1、d2、d3及d4的改正效果最好，系數的頻率和最大、最小值都有一定的減小；d4周期信號經過改正以后，振幅明顯減小，周期性更加明顯；d5和d6層改正前后細節信息差別不是很大，主要原因是為了保留監測點位移信息僅采用了滑動平均方法進行濾波，能夠看到濾波前后d5和d62 層的整體趨勢都沒有改變，但是改正后的曲線更加平滑，細節抖動去除明顯。

3）數據恢復。利用濾波后的各層系數進行小波逆變換，變換后的效果如圖6 所示。

圖6 誤差削弱效果

從圖6 的誤差削弱效果中可以看出：處理后的觀測數據時間序列的平穩性有很大提高，其中以天為周期的周期性位移信號有了較大改善，數據振幅更小；處理以后，噪聲信息明顯減少，可以清晰地看出點位的位移趨勢，有利于更精確地分析監測站的位移趨勢；在3 月30 日以后監測點發生20 mm 左右位移，經過小波變換處理以后監測點的位移曲線更加明顯，位移量與處理前保持一致，位移開始時間并沒有延遲；另外處理后的監測點數據3 月20—30 日之間的小幅度位移也得到了有效保留；統計了3 月20 日以前原始數據數據的中誤差為3.58 mm，處理后數據的中誤差降為0.92 mm；從上述分析可以看出本文小波變換方法處理后的監測數據時間序列的平穩性和數據質量都有明顯提高。

3 結束語

本文通過廣西陽朔至鹿寨高速公路高邊坡進行小波變換數據處理，可以得到如下結論：

1）利用本文的小波變換方法可以有效去除監測結果中的粗差數據，通過3 次樣條插值算法，能夠很好的對粗差數據進行修復；

2）本文利用2 次小波變化對剔除粗差后的監測數據進行處理，能夠有效去除監測結果時間序列中的高頻誤差信號和以天為周期的周期性信號，提高數據的平穩性；

3）經過數據處理以后，處理結果中能夠有效保留監測點的整體位移趨勢，位移量的大小并沒有損失，并且小位移量的細節部分也能夠有效保留，為技術人員判斷邊坡的形變狀態提供精確的數據支持，可以降低滑坡災害，減少生命和財產損失。