帶有市場(chǎng)交易信息和隨機(jī)微觀噪聲下的杠桿效應(yīng)研究

苑慧玲，徐 路, 周 勇

(1.香港城市大學(xué)數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，香港 999077;2. 申萬宏源證券有限公司博士后科研工作站, 上海 200031;3. 復(fù)旦大學(xué)理論經(jīng)濟(jì)學(xué)博士后流動(dòng)站, 上海 200433;4. 統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)科學(xué)前沿理論及應(yīng)用教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,華東師范大學(xué)統(tǒng)計(jì)交叉科學(xué)研究院和統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 上海 200062)

1 引言

杠桿效應(yīng)一直是金融市場(chǎng)上研究的熱點(diǎn)問題，它是對(duì)波動(dòng)率非對(duì)稱性的一種解釋，描述的是資產(chǎn)波動(dòng)率和收益率之間的一種負(fù)相關(guān)關(guān)系。Black[1]和Christie[2]首次給出了杠桿效應(yīng)的解釋：當(dāng)資產(chǎn)價(jià)格下降的時(shí)候，公司的杠桿(債券比)變大，引起股票的波動(dòng)率大幅度變化，從而造成更大的風(fēng)險(xiǎn)。隨后，大批學(xué)者和金融學(xué)家投入到對(duì)杠桿效應(yīng)及波動(dòng)率非對(duì)稱性的研究中。Nelson[3]提出ARCH模型的一種新的形式，解決了經(jīng)典的ARCH 模型和GARCH 模型不能解釋非對(duì)稱性現(xiàn)象的缺陷。基于波動(dòng)率非對(duì)稱性現(xiàn)象，Engle和Ng[4]提出了EGARCH模型。Bekaert和Wu[5]通過比較杠桿效應(yīng)和其它用于描述波動(dòng)率非對(duì)稱性的解釋，從公司層面提出了協(xié)方差非對(duì)稱性。Bouchaud等[6]提出了收益率和波動(dòng)率之間的瞬時(shí)相關(guān)關(guān)系。Bollerslev等[7]利用高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析發(fā)現(xiàn)，過去和現(xiàn)在的收益率與現(xiàn)在的收益率的絕對(duì)值之間存在較強(qiáng)的負(fù)相關(guān)關(guān)系，而現(xiàn)在的波動(dòng)率和滯后的收益率之間存在較弱的負(fù)相關(guān)關(guān)系。也有相當(dāng)多的學(xué)者對(duì)杠桿效應(yīng)的估計(jì)進(jìn)行了研究。最近，Ait-Sahalia等[8]考慮如下的杠桿效應(yīng)(瞬時(shí)杠桿效應(yīng))

其中Xt和σt表示資產(chǎn)在時(shí)刻t的真實(shí)價(jià)格和其市場(chǎng)波動(dòng)率。通常由于市場(chǎng)微觀噪聲的存在，資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格Xt無法直接觀察到，因此，無法應(yīng)用通常的辦法對(duì)杠桿效應(yīng)ρt估計(jì)，甚至無法估計(jì)市場(chǎng)波動(dòng)率σt。為此，Ait-Sahalia等[8]考慮了如下加性微觀噪音模型，

Yt=Xt+εt

其中Xt和Yt分別表示資產(chǎn)在時(shí)刻t的真實(shí)價(jià)格和市場(chǎng)價(jià)格，εt是白噪聲。模型表明真實(shí)的資產(chǎn)價(jià)格無法直接可觀察，而觀察到的市場(chǎng)資產(chǎn)價(jià)格受到噪音交易的影響。Ait-Sahalia等[8]利用收益率和波動(dòng)率估計(jì)(例如：TSRV (Zhang等[9]) 和PAV (Jacod等[10])) 之間的相關(guān)系數(shù)對(duì)杠桿效應(yīng)ρt進(jìn)行了估計(jì)，基于加性微觀噪聲模型，他們提出的杠桿效應(yīng)估計(jì)具有優(yōu)良的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，然而此類杠桿效應(yīng)估計(jì)由于估計(jì)偏差和噪聲誤差的存在，引起了杠桿效應(yīng)之謎。

早在二十世紀(jì)八十年代，就有關(guān)于市場(chǎng)微觀噪聲結(jié)構(gòu)的研究。Roll[13]提出微觀噪聲受市場(chǎng)買賣價(jià)差的影響。

εt=αIb/s(tk).

其中，Ib/s(tk)表示在時(shí)刻tk的交易類型，如果是交易買方，Ib/s(tk)=1，如果是交易賣方，Ib/s(tk)=-1。Gloste和Harris[14]擴(kuò)展了Roll的模型，指出市場(chǎng)微觀噪聲除了受交易類型的影響，也受交易量的影響，Harris[15]發(fā)現(xiàn)影響微觀噪聲的因素有很多，除了交易類型和交易量還具有其他因素。Almgren和Chriss[16]提出了市場(chǎng)微觀噪聲受交易量和交易率的影響，并建立了模型

εt=αIb/s(tk)+βIb/s(tk)Vtk/Δtk.

其中Vtk表示在tk的交易量，Δtk=tk-tk-1表示兩筆交易的時(shí)間差，Vtk/Δtk表示交易率。

由此表明市場(chǎng)微觀噪聲結(jié)構(gòu)是復(fù)雜的，在我們分析高頻金融市場(chǎng)時(shí)候，應(yīng)當(dāng)充分考慮市場(chǎng)微觀噪聲結(jié)構(gòu)。LI Yingying等[17]在研究可積波動(dòng)率的時(shí)候首先將市場(chǎng)微觀噪聲的交易信息用一個(gè)參數(shù)函數(shù)g(Ztk,θ)表示：

Ytk=Xtk+g(Ztk;θ0),0=t0t1…tn=1,

(1.1)

其中Ytk是在時(shí)刻tk觀測(cè)的log價(jià)格，Xtk表示真實(shí)的log價(jià)格，Ztk是信息集，包含但不盡然是交易量，交易類型和買賣差彈性，θ0是有限維的參數(shù)，以及g(Ztk,θ0)是Ztk和θ0的任意參數(shù)函數(shù)形式。

高頻金融市場(chǎng)的微觀噪聲結(jié)構(gòu)應(yīng)該蘊(yùn)含豐富的信息，模型(1.1)并不是充分的。Li Yingying等[17]拓展了模型(1.1)，提出了下面的模型結(jié)構(gòu)。

Ytk=Xtk+g(Ztk;θ0)+εtk,

0=t0t1…tn=1

(1.2)

其中，Ytk，Xtk和g(Ztk,θ0)與模型(1.1)里的符號(hào)表示相同的含義，εtk是獨(dú)立同分布的，均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為a，且獨(dú)立于F1。由此看出，模型(1.2)中加入了隨機(jī)微觀噪聲變量，比模型(1.1)具有更廣泛的實(shí)際意義。本文旨在基于模型(1.2)提出新的杠桿效應(yīng)估計(jì)，研究新估計(jì)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，并且探討此估計(jì)的應(yīng)用價(jià)值。

本文的結(jié)構(gòu)安排如下：2.1部分重述杠桿效應(yīng)產(chǎn)生的隨機(jī)模型機(jī)制，2.2部分在較為廣泛的模型(1.2)下提出杠桿效應(yīng)估計(jì)，2.3部分研究提出的杠桿效應(yīng)估計(jì)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，給出杠桿效應(yīng)估計(jì)的3個(gè)定理；有關(guān)杠桿效應(yīng)估計(jì)的模擬分析在第3部分；杠桿效應(yīng)的實(shí)證分析在第4部分；結(jié)語在第5部分；所有證明在附錄部分。

2 杠桿效應(yīng)估計(jì)方法及其統(tǒng)計(jì)性質(zhì)

2.1 隨機(jī)模型機(jī)制

在金融市場(chǎng)上，最流行的隨機(jī)過程是過程：

dXt=μtdt+σtdWt,X0=x0,

(1)

其中，Wt是一個(gè)維納過程,μt和σt是適應(yīng)的局部有界的隨機(jī)過程, 并且，Wt，μt和σt都是定義在概率空間(Ω,F,P)上的。

可積波動(dòng)率可以定義為：

(2)

dσt=atdt+btdWt+gtdBt

(3)

其中，Bt獨(dú)立于Wt的維納過程, at，bt，gt和σt都是局部有界的。

(4)

2.2 杠桿效應(yīng)估計(jì)方法的提出

針對(duì)隨機(jī)過程Xt，考察n個(gè)等分時(shí)間區(qū)間，令0=tn,0tn,1tn,2…,tn,n=T，那么時(shí)間間隔不失一般性，令T=1。首先，基于微觀噪聲結(jié)構(gòu)模型(1.2)，我們可以得到觀測(cè)價(jià)格Xtn,k+εtn,k的估計(jì)為其次，把n個(gè)價(jià)格觀測(cè)值重新化分為n′個(gè)區(qū)間，每個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度是區(qū)間個(gè)數(shù)具體區(qū)間為H=0=τn,0τn,1τn,2…,τn,n′-1=T，在劃分的區(qū)間[τn,j,τn,j+1]，可以得到真實(shí)價(jià)格Xτn,j的估計(jì)為的樣本均值。即：

(5)

于是，在模型(1.2)下，杠桿效應(yīng)估計(jì)可以定義為:

(6)

(7)

2.3 杠桿效應(yīng)估計(jì)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)

下面給出一些假設(shè)：

假設(shè)2

(ii) 對(duì)所有的k,在Ftk-1的條件下，Ztk和ΔXtk都是條件獨(dú)立的；

假設(shè)3

(ii) 當(dāng)θ∈N(θ0)時(shí)，g(Z;θ)以及g(Z;θ)關(guān)于θ的一階，二階導(dǎo)數(shù)是局部有界的；

(iii) 對(duì)任意的ε>0，當(dāng)n→∞時(shí)，

幾乎處處成立；

(iv)

注釋1

假設(shè)2是連續(xù)隨機(jī)模型和回歸模型的常見假設(shè)，假設(shè)3中的(i)-(iii)是關(guān)于計(jì)算極大似然函數(shù)估計(jì)的假設(shè)，假設(shè)3中的(iv)是Fisher信息陣可逆性的假設(shè)。

定理1

(A1). 當(dāng)假設(shè)1-3成立，T固定的時(shí)候，

(8)

(9)

的表述可見Wang和Mykland[11]的4.1部分。

(A2). 當(dāng)假設(shè)1-3成立，T固定的時(shí)候，

+op(n-1/2)

(10)

其中：

為Wang 和Mykland[11]在考察市場(chǎng)微觀噪聲為白噪聲的情形下提出的杠桿效應(yīng)估計(jì)。

定理2

(11)

其中Z是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)的隨機(jī)變量，并且獨(dú)立于FT，bt，gt，at和μt都是局部有界的。

注釋2

令Zn為一系列χ-測(cè)度的變量,F1?χ。當(dāng)n→∞時(shí)，我們稱Zn以F1-穩(wěn)態(tài)收斂到Z，假如Z是χ的一個(gè)擴(kuò)展，A∈F1，對(duì)于任意有界的連續(xù)函數(shù)g(·)當(dāng)時(shí)，

E(IAg(Zn))→E(IAg(Z))。

(2)通過最小化定理2中的漸近方差，可以得到c和c1的最優(yōu)值：

(12)

和

(13)

其中，

實(shí)際上，c和c1的值可以由最小化方差的漸近形式得出。令

和

通過簡(jiǎn)單的計(jì)算(見附錄)，我們可以獲得下面的等式成立：

以及：

容易看出：

定理3

當(dāng)假設(shè)1-3成立，T固定，并且的時(shí)候，

其中Z1是標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)隨機(jī)變量，且獨(dú)立于域流FT。

3 模擬分析

對(duì)于隱含的log價(jià)格Xt，Heston模型如下：

(14)

(15)

我們選取兩個(gè)包含交易信息的高頻金融市場(chǎng)微觀噪聲模型g1(Vtk,Ib/s(tk);α,β)和g2(Vtk,Ib/s(tk);β,ζ)。g1(Vtk,Ib/s(tk);α,β)是Almgren和Chriss[16]提出的市場(chǎng)微觀噪聲關(guān)于交易量和交易率的線性模型。g2(Vtk,Ib/s(tk);β,ζ)是Keim和Madhavan[19]提出的市場(chǎng)微觀噪聲模型關(guān)于交易信息的非線性模型。而

g1(Vtk,Ib/s(tk);α,β)=αIb/s(tk)+βIb/s(tk)Vtk/Δtk

g2(Vtk,Ib/s(tk);β,ζ)=Ib/s(tk)log(ζ+βVtk/Δtk)

其中，Ib/s(tk)，Vtk和Vtk/Δtk與Almgren和Chriss[16]文中表示相同，比較g1(Vtk,Ib/s(tk);α,β)和g2(Vtk,Ib/s(tk);β,ζ)，當(dāng)交易量低的時(shí)候，它們是非常接近的。

g1(Vtk,Ib/s(tk);α,β)+εtk,

0=t0

(16)

g2(Vtk,Ib/s(tk);β,ζ)+εtk,

0=t0

(17)

(18)

為了便于計(jì)算，選取F(x)=x,T=1。

圖1 在市場(chǎng)微觀噪聲模型g1(·)和白噪聲及其g2(·)和白噪聲下Zn的Q-Q圖和直方圖

表1 比較Zn,Zyz,ZWM的均值, Q1,Q2,Q3

表2 比較下的方差, 偏差, 均方誤差

4 實(shí)證分析

眾所周知，滬深300指數(shù)是由上海和深圳證券市場(chǎng)中市值大、流動(dòng)性好的300只A股作為樣本編制而成的成份股指數(shù)，具有良好的市場(chǎng)代表性。滬深300指數(shù)是滬深證券交易所第一次聯(lián)合發(fā)布的反映A股市場(chǎng)整體走勢(shì)的指數(shù)。它的推出，豐富了市場(chǎng)現(xiàn)有的指數(shù)體系，增加了一項(xiàng)用于觀察市場(chǎng)走勢(shì)的指標(biāo)，有利于投資者全面把握市場(chǎng)運(yùn)行狀況，也進(jìn)一步為指數(shù)投資產(chǎn)品的創(chuàng)新和發(fā)展提供了基礎(chǔ)條件。在金融市場(chǎng)上，金融產(chǎn)品的未來波動(dòng)率估測(cè)非常重要，可惜的是我們無法給出未來波動(dòng)率的估計(jì)，但是通過收益率與波動(dòng)率之間的關(guān)系可以提供預(yù)測(cè)波動(dòng)率的一種思路。為此，研究以滬深300指數(shù)作為標(biāo)的物的滬深300股指期貨的杠桿效應(yīng)對(duì)波動(dòng)率預(yù)測(cè)的影響將對(duì)相關(guān)金融部門進(jìn)行金融指導(dǎo)具有深遠(yuǎn)的意義。

一般來講，中國(guó)市場(chǎng)上的期貨交易時(shí)間是每周一至周五的上午9:30-11:30和下午1:00-3:00。然而，大量實(shí)證研究表明期貨在開盤和閉盤時(shí)會(huì)出現(xiàn)大量交易，波動(dòng)率呈現(xiàn)大幅度變化。為了避免股票市場(chǎng)上出現(xiàn)此種情況下不穩(wěn)定的交易活動(dòng)，我們刪除股票開盤和閉盤前五分鐘的交易數(shù)據(jù)，分析每個(gè)交易日時(shí)間區(qū)間在上午9:36至下午2:55的高頻數(shù)據(jù)，那么研究的每個(gè)交易日的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為230。此外，為了便于分析，如果某個(gè)交易數(shù)據(jù)出現(xiàn)刪失數(shù)據(jù)，我們將刪除這個(gè)交易日的所有數(shù)據(jù)。清洗數(shù)據(jù)后，到期時(shí)間為2018年9月21日的期貨合約高頻數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為36110(157個(gè)交易日)；到期時(shí)間為2018年12月21日的期貨合約高頻數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為36340(158個(gè)交易日)。

所有高頻數(shù)據(jù)中的期權(quán)合約價(jià)格應(yīng)當(dāng)轉(zhuǎn)化為log價(jià)格，同時(shí)為了便于分析，log股票價(jià)格乘以100為100×log(Pn,d)，n=1,…,N，d=1,…,230，其中Pn,d在第n個(gè)交易日，第d個(gè)1分鐘的期貨合約價(jià)格。

波動(dòng)率預(yù)測(cè)一直是金融市場(chǎng)上研究的熱點(diǎn)。有大量模型用于預(yù)測(cè)波動(dòng)率，例如：經(jīng)典的長(zhǎng)記憶ARFIMA模型，GARCH模型和隨機(jī)波動(dòng)率(SV)模型(參見Koopman等[20])。國(guó)內(nèi)學(xué)者也對(duì)波動(dòng)率的預(yù)測(cè)模型進(jìn)行了研究，劉曉倩等[21]基于高頻金融數(shù)據(jù)提出了HAR-CVX模型，并對(duì)滬深300指數(shù)的波動(dòng)率預(yù)測(cè)進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)此時(shí)的模型具有更好的預(yù)測(cè)效果。沈根祥等[22]將提出的已實(shí)現(xiàn)GAS-HEAVY模型，應(yīng)用到滬綜指、深成指和滬深300指數(shù)的波動(dòng)率預(yù)測(cè)研究中，分析得出已實(shí)現(xiàn)GAS-HEAVY模型可以做為金融市場(chǎng)上波動(dòng)率預(yù)測(cè)的計(jì)量工具。本節(jié)旨在分析杠桿效應(yīng)對(duì)波動(dòng)率預(yù)測(cè)是否有顯著的作用，不著重分析波動(dòng)率預(yù)測(cè)模型的選取，為此我們選擇了簡(jiǎn)單的波動(dòng)率模型。

(19)

5) ΔXti=Xti-Xti-1和i都是高斯過程；

利用公式(19)考察杠桿效應(yīng)在波動(dòng)率預(yù)測(cè)中的作用。所有結(jié)果可見表3-表6。注意表中“***”表示在0.001的置信水平下參數(shù)是顯著的，“**”表示在置信水平0.01下參數(shù)是顯著的，“*”表示在0.05置信水平下參數(shù)是顯著的，和“·”表示在置信水平0.1下參數(shù)是顯著的。

表3 在(3.3)下, 滬深300股指期貨的波動(dòng)率預(yù)測(cè)結(jié)果(2018.1.22-2018.9.21)

在表3和表4中，杠桿效應(yīng)α4的P值分別是0和0.042，說明合約時(shí)間為2018年1月22日到2018年9月21日滬深300股指期貨的杠桿效應(yīng)在對(duì)未來一天波動(dòng)率的預(yù)測(cè)具有顯著性的影響。相對(duì)而言，表3和表4中的隔夜收益率的P值都大于0.1，表明隔夜收益率對(duì)未來一天波動(dòng)率的預(yù)測(cè)沒有顯著性影響。但是，前一天波動(dòng)率的變化對(duì)未來一天波動(dòng)率是有顯著性影響的，前兩天波動(dòng)率的變化在交易信息為線性模型下，對(duì)未來一天的波動(dòng)率預(yù)測(cè)具有較為顯著性的作用。

表4 在(3.4)下,滬深300股指期貨的波動(dòng)率預(yù)測(cè)結(jié)果(2018.1.22-2018.9.21)

比較表5和表6，在市場(chǎng)微觀噪聲模型(16)和(17)下，隔夜收益率α3的P值都是大于0.1 的，表明隔夜收益率對(duì)未來一天的波動(dòng)率預(yù)測(cè)沒有顯著性影響。杠桿效應(yīng)α4在模型(16) 下的P 值等于0.000，而在模型(17)下的P值大于0.05，但是小于0.1，說明杠桿效應(yīng)在交易信息的線性噪聲模型下，對(duì)未來一天的波動(dòng)率具有顯著性影響，而在交易信息的非線性噪聲模型下，對(duì)未來一天的波動(dòng)率具有較小影響。事實(shí)上，在噪聲模型(17)下，選取的波動(dòng)率預(yù)測(cè)模型(19)的調(diào)整后的R2=0.322，說明模型(19)并不是很好的，但是，由于杠桿效應(yīng)在交易信息的線性噪聲模型下，對(duì)未來一天的波動(dòng)率具有顯著性影響，所以基于波動(dòng)率預(yù)測(cè)模型(19)，在某種程度上表明杠桿效應(yīng)對(duì)未來一日波動(dòng)率是具有顯著性作用的。但是，前一天波動(dòng)率的變化和前兩天波動(dòng)率的變化對(duì)未來一天波動(dòng)率是有顯著性影響的。

表5 在(3.3)下, 滬深300股指期貨的波動(dòng)率預(yù)測(cè)結(jié)果(2018.4.23-2018.12.21)

表6 在(3.4)下,滬深300股指期貨的波動(dòng)率預(yù)測(cè)結(jié)果(2018.4.23-2018.12.21)

5 結(jié)語

附錄：

定理1的證明

首先證明定理1(A1)，其次證明定理1(A2)。由于本文是在模型(1.2)下研究的杠桿效應(yīng)估計(jì)，所以通過模型(1.2)和(5)，可以得出

由于

=:I1+I2+I3+I4+I5+I6.

所以

和

此外，

上式成立是由于假設(shè)2(ii)和白噪聲εtn,k。上式的右邊其實(shí)是Mn個(gè)具有相同界的和，于是上式可以寫作：

(1.3)

并且定義關(guān)于任意函數(shù)φ:N(θ0)→，對(duì)任意的h?0，有：

ω(φ，h):=sup{|φ(θ1)-φ(θ2)|∶|θ1-θ2|≤h},

則對(duì)任意θ1,θ2∈N(θ0)和≤N，存在C使

E|Fn(θ1)-Fn(θ2)|≤C|φ(θ1)-φ(θ2)|,

上面不等式的成立是由于假設(shè)3(ii)以及Li Yingying[17]文中的定理3。

利用Kallenberg[23]中的推論14.9中的證明，對(duì)任意?p/2和m∈，我們可以獲得:

E(ω(Fn,2-m))≤C2-m(2-p)

選取滿足2-m≥K/n?2-m-1，有:

E(ω(Fn,K/n))≤C(K/n)=O(n)

因此對(duì)所有n,B(θ0，K/n)=({θ:|θ-θ0|}≤K/n)?N(θ0)，而對(duì)所有?p

E(ω(Fn,K/n))=Op(n)，

從而對(duì)任意K?0，(1.3)式等于op(n-1/2)，定理A1中(9)式得證。

下面證明定理1中的(A2)。

=:I7+I8+I9.

|F′(·)|≤M

故

|I8+I9|

最后一個(gè)等式成立是由于Kn=Op(n1/4)，而且Xλn,i+1滿足公式(1)，是局部有界的，則：

|I8+I9|≤6M·op(n-1/2)

因此，

所以定理1(A2)得證。

定理2的證明

定理3的證明

通過簡(jiǎn)單計(jì)算，容易可得定理3成立。