基于Hankel矩陣改進TLS-ESPRIT算法的散射中心參數提取及RCS重構

李尚生, 王旭坤, 付哲泉, 張軍濤

(海軍航空大學岸防兵學院, 山東 煙臺 264000)

0 引 言

早期的雷達系統由于分辨率低,難以實現基于結構特征的目標識別,僅用來判斷目標的存在與否,以及確定目標的空間位置。隨著雷達技術的發展以及寬帶雷達技術的應用,雷達可以從目標的回波中獲得更多的特征信息,為目標識別提供更多的信息數據。

在光學區,使用寬帶雷達技術可以獲取目標的一維高分辨距離像。目標的回波可以等效成目標所有散射中心回波信號的相干合成,包含目標各散射中心在雷達視線上的一維投影信息,各局部散射源稱為強散射中心[1]。關于如何精確地描述目標的回波信號,國內外學者已經做了大量的研究,其中雷達回波信號的頻域模型包括:衰減指數和(damped exponential, DE)模型[2]、非衰減指數和(undamped exponential, UDE)模型以及幾何繞射理論(geometrical theory of diffraction, GTD)模型[3-4]等。其中Keller[3]和Kouyoumjian[4]所提出的GTD理論不僅考慮到散射中心位置以及幅度信息,還能夠提供散射中心幾何類型的具體信息,故可以準確描述光學區雷達目標散射中心回波模型,經過化簡后滿足陣列信號譜估計的形式,所以如何利用陣列信號譜估計方法精確估計GTD模型中散射中心參數是目前研究的熱點。如多重信號分類(multiple signal classification, MUSIC)算法[5-10]、旋轉矢量不變技術(estimating signal parameter via rotational invariance technique, ESPRIT)算法[11-14]、總體最小二乘-旋轉矢量不變技術(total least squares-estimating signal parameter via rotational invariance techniques, TLS-ESPRIT)算法[15-19]均可以解決散射中心參數的估計問題。賀治華[9]等人用GTD模型取代了指數和模型,利用空間平滑預處理改進了傳統的MUSIC算法。鄭舒予[10]等人對基于GTD模型利用MUSIC算法對回波數據取共軛,得到重構的協方差矩陣,提高了參數的估計精度。MUSIC算法可以提高散射中心參數估計的精度,但是在運算時需要進行譜峰搜索,增大了計算量。與MUSIC算法不同, ESPRIT 算法不需要進行譜峰搜索,可以精確地估計散射中心參數信息。代大海[14]等人基于ESPRIT算法完成在全極化目標回波條件下的散射中心提取與參數估計,提高了估計的精度。

針對TLS-ESPRIT算法計算量較大無法快速提取散射中心參數的問題,王菁[19]等人利用一次奇異值分解代替了TLS-ESPRIT算法中的一次特征值分解與一次奇異值分解,減少計算量,提高了運算速度,但在低信噪比時判斷散射中心參數的誤差也隨之升高。基于此,本文在文獻[19]的基礎之上提出了一種改進的TLS-ESPRIT算法,通過對回波觀測數據進行Hankel矩陣化處理,構成兩個新的回波矩陣,再進行自相關以及奇異值分解等后續的處理。仿真結果表明,該方法提高了在低信噪比情況下散射中心參數估計的精度,具有更好的噪聲魯棒性。

1 GTD模型的化簡

遠區場雷達目標的電磁散射是雷達視線上若干個強散射點的相干疊加。由GTD,雷達的后向散射場E(m)可表示為

(1)

式中,fm=f0+mΔf,f0為雷達發射信號的起始頻率,m表示發射頻點總數,m=1,2,…,M，Δf為頻率的間隔;I表示散射中心數目;Ai為第i個散射中心的散射強度;αi為第i個散射中心的類型;ri為第i個散射中心在雷達坐標系中的位置;c為光速;u(m)表示第m個頻點的量測噪聲,為加性復高斯白噪聲。

表1 典型散射結構的α取值

基于GTD模型的散射中心參數提取可借鑒信號處理中譜估計方法,前提是散射中心模型滿足譜估計模型,故需要對式(1)進行近似化簡,由于式(1)中既有指數函數又有冪函數,其結構形式比較復雜,故重寫為

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

式中,

(7)

(8)

只需估計出式(8)中的Pi,就可以得到散射中心位置參數：

(9)

對式(1)中GTD散射中心模型進行處理,近似為經典的一維譜估計模型,進而利用空間譜估計算法對散射中心參數進行求解。

2 散射中心位置信息的估計

x(m)=[x(m),x(m+1),…,x(m+P-1)]T

(10)

y(m)=[y(m),y(m+1),…,y(m+P-1)]T=[x(m+1),x(m+2),…,x(m+P)]T

(11)

u(m)=[u(m),u(m+1),…,u(m+P-1)]T

(12)

a(ωi)=[1,exp(jωi),…,exp(j(P-1)ωi)]T

(13)

式中，a(ωi)為導向向量。將GTD模型近似處理得到的式(6)表示為向量的形式:

x(m)=As(m)+u(m)

(14)

y(m)=AΦs(m)+u(m+1)

(15)

式中,A=[a(ω1),a(ω2),…,a(ωI)]是響應矩陣,具有Vandermonde矩陣的形式;Φ=diag[exp(jω1m),exp(jω2m),…,exp(jωIm)]為酉矩陣,將空間的向量x(m)和y(m)聯系在一起;s(m)=[s1exp(jω1m),s2exp(jω2m),…,sIexp(jωIm)]T為第i個散射點的復幅值。

2.1 傳統的TLS-ESPRIT算法

傳統的TLS-ESPRIT算法需要對互相關函數進行一次特征值分解,對自協方差函數進行一次奇異值分解運算量較大,具體計算步驟如下:

步驟 1計算x(m)的自相關函數Rxx=E{x(m)·x(m)H}和x(m)與y(m)的互相關函數Rxy=E{x(m)y(m)H}。

步驟 2對Rxx做特征值分解,得到最小特征值λmin。

2.2 改進的TLS-ESPRIT算法

基于式(10)～式(15),文獻[19]利用一次奇異值分解代替傳統的TLS-ESPRIT算法中的一次特征值分解與一次奇異值分解,具體計算步驟如下:

步驟 1計算x(m)的自相關函數Rxx=E{x(m)x(m)H}和x(m)與y(m)的互相關函數Rxy=E{x(m)y(m)H}。

步驟 2對Rxx做奇異值分解:

(16)

確定其有效秩,并存儲與I個主奇異值對應的ΣD1,UD1和VD1,其中ΣD1是I個主奇異值所組成的對角陣,UD1和VD1是I個主左、右奇異矢量構成的矩陣,為信號子空間。ΣD2是非主奇異值所組成的對角陣,UD2和VD2是非主左、右奇異矢量構成的矩陣,為信號的噪聲子空間。

步驟 3計算Σ中的最小奇異值σ2,構造矩陣Cxy=Rxy-σ2Z。

2.3 Hankel矩陣的引入

文獻[19]中算法的改進,提升了計算的速度。但是,當信噪比下降時,估計精度也隨之降低。本文在進行散射中心參數估計時,首先是在回波數據處理時引入Hankel矩陣,隨后再基于文獻[19]改進算法進行對比仿真。

Hankel矩陣特殊的結構,使其具有很多特殊的性質[21],可以很大程度上減小噪聲對信號的影響[22],在陣列信號方面多用于處理信號源數目的估計問題[23]。本文中，在對回波數據的處理過程中引入Hankel矩陣,結合文獻[19]中的算法,提出了一種改進的優化算法,獲得了比較好的仿真結果。

將回波數據x(m)=E(m),m=1,2,…,M,經過疊加處理,重排成具有Hankel矩陣的形式,即:

(17)

(18)

3 散射中心類型α以及強度Ai的估計

由于α的類型有限,故引入信號子空間和噪聲子空間的概念,利用其正交性提取散射中心的類型參數[19,21];基于GTD模型的信號模式矢量a*(αi,ri)為

(19)

UD2為式(16)中奇異值分解得到的噪聲子空間,信號模式矢量在噪聲子空間上的投影模值倒數為

(20)

Hankel矩陣的引入,使得信號子空間與噪聲子空間區分更加明顯,從而根據式(19)和式(20)判斷散射點類型αi時,在散射點類型判斷正確情況下，信號模式矢量與真實信號越相似，在噪聲子空間上的投影越小,此時P(αi,ri)就越大;據此進行散射點類型的判斷。

通過上面的運算得到了散射點的位置ri以及類型αi信息,下面采用最小二乘法進行計算[9]，對散射中心強度Ai進行估計，可表示為

(21)

4 實驗仿真

仿真實驗中,依據文獻[19]中散射中心的參數進行設置,選取雷達的脈間步進起始頻率f0=10 GHz,工作帶寬B=2 GHz,每個工作周期內采樣100個點。假設目標回波信號由5種不同類型不同的散射中心疊加而成的,其具體的參數如表2所示，在不同信噪比下,分別進行1 000次蒙特卡羅仿真實驗。

表2 散射中心參數

4.1 帶寬相同時不同算法參數估計性能

仿真不同信噪比條件下,對帶寬B=2 GHz時,使用基于Hankel矩陣的TLS-ESPRIT算法與文獻[19]中的算法估計的散射點參數進行對比,信噪比定義為

(22)

散射點參數中距離ri以及強度Ai的估計精度使用均方根誤差(root of mean square error, RMSE)衡量,對于參數類型αi使用判斷正確率衡量,可分別表示為

(23)

(24)

圖1 不同信噪比下兩種算法的r1～r5的RMSE對比

圖2 不同信噪比下兩種算法的A1～A5的均方誤差RMSE對比

由圖1和圖2可知,隨著信噪比的增加,兩種算法得到的散射中心距離ri和強度Ai參數估計的RMSE均有所改善。在相同信噪比的情況下本文算法仿真得到的結果比文獻[19]中算法結果的RMSE低,估計精度更高;提高低信噪比條件下對散射中心距離ri和強度Ai參數的估計精度,使得在低信噪比條件下優勢更為明顯。

由圖3可知,在信噪比為15 dB的情況下,本文算法對散射點類型判斷的正確率達到了50%,較文獻[19]中的仿真結果有了很大的改善,克服了在低信噪比條件下判斷準確率不高的缺點。為低信噪比條件下目標識別[24-25]以及擴展目標的回波模擬[26]提供了優化的算法。

圖3 不同信噪比下兩種算法的α1～α5的正確率對比

4.2 散射點個數增多幅度動態范圍增大仿真結果

第4.1節的實驗仿真中,散射點個數以及散射點強度動態范圍變化較小,為了更真實地模擬目標的實際散射特性,現將散射點數增加至9個,散射點幅度的動態范圍增大至20～30 dB進行仿真對比,具體參數如表3所示。

表3 不同動態范圍散射中心參數

如表3所示,散射點參數的位置以及散射點類型參數均一樣,只有散射中心幅度的動態范圍變化不同,表3第4列中散射中心強度變化范圍為2～3 dB的小動態范圍,表3第5列中散射中心強度最大動態范圍為20 dB以上。圖4為幅度動態范圍不同條件下,本文算法對散射中心參數的RMSE及正確率的對比。

圖4 幅度動態范圍不同條件下r1～r9的RMSE對比

圖4所示為散射點幅度動態范圍不同的條件下,各個散射中心距離參數均方差的對比。由圖4可知,在低信噪比條件下,強度動態范圍變化較小的參數,其RMSE較小;隨著信噪比的增加,二者均方差趨于一致。即當信噪比大于20 dB時散射中心強度動態范圍以及散射中心個數對散射中心距離參數無影響。

圖5 不同幅度動態范圍條件下A1～A9的RMSE對比

圖5所示為散射點幅度動態范圍不同的條件下,各個散射中心幅度參數RMSE的對比。由圖5可知,在低信噪比條件下,強度動態范圍變化較小的參數，其RMSE較小,估計精度更高;隨著信噪比的增加,二者的RMSE趨于一致。當信噪比大于20 dB時散射中心強度動態范圍以及散射中心個數對散射中心強度參數的估計無影響。

圖6所示為散射點幅度動態范圍不同的條件下,各個散射中心類型參數正確率的對比。在低信噪比條件下,表3中第2、第4以及第7個散射中心的參數一樣,得到的圖6(b)、圖6(d)和圖6(g)中兩條曲線基本重合;表3中第1個散射點,仿真結果對應于圖6(a),可知小動態范圍的正確率大于大動態范圍的正確率。表3中其余散射點的強度為第4列小于第5列,得到圖6中仿真結果為小動態范圍的正確率小于大動態范圍的正確率,如圖6(c)、圖6(e)、圖6(f)、圖6(h)以及圖6(i)所示。隨著信噪比的增加,二者的正確率趨于一致。由表3以及圖6的結果可知,散射中心幅度動態范圍大小對散射中心類型估計的正確率無直接關系,而與散射中心強度有關,強度大的散射點在低信噪比條件下,估計精度較高。

圖6 不同幅度動態范圍條件下α1～α9的正確率對比

由仿真結果可知,散射中心強度動態范圍變大導致參數估計精度的變化,其中對散射中心距離以及強度參數估計影響最大,而不會影響散射中心類型參數的估計精度。當信噪比低于15 dB時,強度動態范圍變化較大的散射點距離以及強度參數的RMSE較大,即估計精度下降;隨著信噪比的增加,強度動態范圍大小對散射點距離以及強度參數的估計影響較小。散射中心強度動態范圍大小對散射點類型參數的估計沒有影響,但散射中心強度大小會影響到散射中心類型參數的估計,在低信噪比條件下散射點類型估計正確率隨著散射點強度的增大而增加,隨著信噪比的增加,二者趨于一致。

4.3 基于Hankel-TLS-ESPRIT算法的RCS重構

建立目標雷達散射截面積(radar cross section, RCS)數據庫,一般是存儲一個頻段內的所有方位的RCS數據,數據量大,需要占用較多的內存空間,利用RCS重構[27]技術,只需將目標散射中心的位置、類型以及幅度參數存儲起來,大大地降低了對存儲空間的需求。

圖7(a)和圖7(b)為基于GTD散射中心模型下,信噪比為10 dB和20 dB時,原始RCS與基于Hankel-TLS-ESPRIT算法重構RCS的對比,起始頻率f0=6 GHz,帶寬B=2 GHz,散射點參數設置與表2相同。由圖7可知,隨著信噪比增加,重構的RCS與原始RCS之間吻合度越好。

圖7 重構RCS與原始RCS比較

圖8所示為信噪比在10 dB與20 dB時ΔRCS的起伏變化。信噪比為10 dB時重構RCS與原始RCS的差值起伏在±5 dB之間,誤差的平均值在3 dB以內;信噪比為20 dB時重構RCS與原始RCS的差值起伏在±2 dB之間,誤差的平均值縮減在0.5 dB左右,與文獻[19]中當信噪比為20 dB時RCS誤差平均值在5 dB以內有很大的改善。

圖8 不同信噪比下ΔRCS的差值比較

5 結 論

本文基于GTD散射中心模型,對TLS-ESPRIT算法中的回波數據進行Hankel矩陣化處理,與文獻[19]中對散射中心位置ri、強度Ai以及類型αi的仿真結果相比,提高了在低信噪比情況下散射中心參數的估計精度。同時,根據估計的散射中心參數重構出目標的RCS并與文獻[19]中的重構精度進行對比;當信噪比為20 dB時，本文中的RCS重構精度超過了文獻[19]中的采用正交方法RCS的重構精度。

除此之外,本文還研究了增加散射點個數及散射點強度動態范圍不同時對散射點各個參數估計的影響,得出信噪比小于15 dB,幅度動態范圍較大的散射點距離以及幅度參數的均方差較大,即估計精度下降;散射中心類型參數受散射點強度大小的影響,而與散射點幅度動態范圍無關,低信噪比時,散射點強度越大估計正確率越高。本文所提算法將Hankel矩陣引入陣列信號的TLS-ESPRIT算法中,提高了在低信噪比情況下散射中心參數提取的精度,對研究低信噪比下的目標識別、RCS重構以及外推,目標散射特性數據庫的建立具有重要的意義。