HUUSKA/GULIEV公式挖槽式航道修正系數的連續回歸模型

陳麗寧, 神和龍

(1.廣州航海學院 海運學院， 廣州 510725； 2.大連海事大學 航海仿真與控制交通行業重點實驗室， 遼寧 大連 116026)

運動中的船舶由于流過船體的水流速度增加，作用于船體的壓力減小，造成船舶下沉并伴有縱傾。[1]船舶下沉會減少船舶安全富余水深、降低船舶操縱性，可能造成船舶觸底、擱淺。船舶駕駛員、引航員、海事監管人員、船舶設計人員和航道設計人員等[2]通常使用船舶下沉量經驗公式計算船舶下沉量，其使用不當可能導致計算結果誤差較大。HUUSKA/GULIEV公式是一種適用于計算天然水深航道、挖槽式航道和運河式航道船舶下沉量的經驗公式，國際航運協會(World Association for Waterborne Transport Infrastructure, PIANC)和芬蘭交通設施局(Finnish Transport Infrastructure Agency, FTIA)均推薦在航海實踐、通航安全評估和航道設計中使用該公式。

TUCK[3]采用細長體理論計算靜水中航行船舶的下沉量，并給出船舶下沉量經驗公式，即TUCK公式,其有復雜的積分項，給使用帶來不便。HUUSKA[4]和GULIEV[5]將Tuck公式與試驗觀測數據結合，提出HUUSKA/GULIEV公式，其包含挖槽式航道修正系數，但HUUSKA和GULIEV僅給出該系數的曲線，卻未給出該系數的函數。PIANC[6-7]參考該曲線給出該系數的35個離散值。BRIGGS[8]對這些離散值進行回歸分析，給出5個挖槽水深和航道水深比值(簡稱水深比)的船舶下沉量回歸模型。FTIA[9-10]將該系數函數的定義域分為5個子域，在每個子域中使用相應的Briggs回歸模型，當船速較低、弗勞德數較小時，用細長體理論計算船舶下沉量較準確。[2,11,12]HUUSKA/GULIEV公式來源于細長體理論，其計算結果應與細長體理論數值的計算結果接近。比較發現:使用FTIA模型可能導致HUUSKA/GULIEV公式挖槽式航道下沉量計算結果與細長體理論數值計算結果相差較大。有些研究雖使用HUUSKA/GULIEV公式，但并未明確給出挖槽式航道修正系數的計算方法。

針對上述問題，本文對HUUSKA/GULIEV公式挖槽式航道修正系數進行回歸分析，提出該系數的連續回歸模型。首先以阻塞系數、水深比為坐標的非均勻網格變換為均勻網格，在均勻網格下進行回歸分析，估計回歸參數并檢驗其顯著性，根據顯著性檢驗結果對回歸模型進行改進，剔除線性相關性較弱的回歸變量。對改進后的回歸模型進行適用性檢驗，發現殘差不服從正態分布，該模型具有不適用性，需進行方差穩定化變換。經方差穩定化變換后的模型的殘差服從正態分布，模型的不適用性得到修正。本文模型的計算結果比FTIA模型的計算結果更接近于細長體理論數值的計算結果，精度更高，驗證該模型的有效性。本文模型比細長體理論數值計算更簡捷并便于在工程領域中應用。

1 問題的提出

1.1 HUUSKA/GULIEV公式

HUUSKA/GULIEV公式可用于計算天然水深航道、挖槽式航道和運河式航道的船舶下沉量。HUUSKA/GULIEV公式為

(1)

(2)

式(2)中：s1為無量綱修正阻塞系數。對于挖槽式航道

s1=S/K1

(3)

式(3)中：K1為挖槽式航道修正系數，無量綱；S為阻塞系數，其計算為

(4)

式(4)中：W為航道底寬；n為航道邊坡坡度倒數。HUUSKA[5]和GULIEV[6]給出K1的曲線圖，但未給出K1的函數。PIANC[7-8]參考該曲線圖給出K1的35個離散值，見表1。表1中hT為挖槽式航道的挖槽深度。由表1可知:當0.00≤S≤0.03，K1≡1.00，K1值不受S和hT/h的影響；當0.03

表1 K1的離散值

1.2 K1的計算模型-Briggs回歸模型和FTIA模型

文獻[8]對K1進行回歸分析，認為當hT/h為定值時，K1為

(5)

1) 僅給出5個hT/h值K1的回歸模型，實際應用中可能需要計算其他hT/h值的K1。

2) 文獻[8]使用最小二乘法估計回歸參數，但既未給出顯著性檢驗結果和模型適用性檢驗結果，也未提及擬合結果是否滿足最小二乘法的基本假設、模型的穩定性和精度。

表2 Briggs回歸模型的R2和的值

FTIA[10]和GOURLAY[11]將K1函數的定義域分割為5個子域，在每個子域中使用相應的Briggs回歸模型。FTIA模型子域與Briggs回歸模型關系圖見圖1，FTIA模型在每個子域內連續，相鄰子域交界處間斷，即FTIA模型分段連續。

圖1 FTIA模型子域與Briggs回歸模型關系圖

1.3 FTIA模型與細長體理論數值計算結果的比較

為驗證FTIA模型的精度，需將該模型計算結果與試驗結果進行比較。研究人員為研究淺水航行船舶的下沉量進行一系列試驗，包括水池試驗、實船試驗和數值試驗。目前，水池試驗對運河式航道開展較多，對挖槽式航道開展較少。MOCTAR等[11]給出挖槽式航道水池試驗數據，但試驗的水深Fr超出HUUSKA/GULIEV公式適用范圍，試驗結果不適合作為比較對象。GOURLAY[12]開發的Shallowflow軟件實現細長體理論數值計算，并進行數值試驗，其條件也符合HUUSKA/GULIEV公式的要求，因此，選擇GOURLAY的數值計算結果作為比較對象。

數值試驗所用船體為S1704B散貨船，該船體有球鼻艏，Lpp=174.0 m，B=32.2 m，T=12.0 m，CB=0.801，U=10.0 kn。令h=14.0 m，n=4.0，挖槽式航道參數和數值計算結果見表3。由表3可知:當hT/h較小時，文獻[12]數值計算結果與FTIA模型計算結果相差較小，FTIA模型精度較高；當hT/h較大時，文獻[12]數值計算結果與FTIA模型計算結果相差較大，FTIA模型精度較低。FTIA模型用某一特定hT/h值的Briggs回歸模型表征該hT/h值所在子域的回歸模型，這導致在hT/h較大時計算不準確，誤差較大。要解決該問題，需要運用新的回歸模型，該模型應連續，經過顯著性檢驗、模型適用性檢驗表明模型的精度較高，計算結果與細長體理論數值計算接近。

表3 挖槽式航道參數和數值計算結果

2 連續回歸模型表達式形式的確定

由表1可知:當0.03≤ΔS≤0.25、0.2≤hT/h≤1.0時，Δ(hT/h)≡0.2，ΔS為非定值，坐標(hT/h,S)的網格為非均勻網格。為便于計算，可考慮將非均勻網格變換為均勻網格。為此，引入變量ξ、η，有

ξ=hT/h,有

(6)

式(6)中：Δξ≡0.20，Δη≡0.05，坐標(ξ,η)的網格為均勻網格。均勻網格既便于計算機編程實現，也便于使用回歸分析、有限差分和牛頓差值等數學方法。將K1的回歸模型表達式寫為連續形式

(7)

需要注意的是不應使n、m過大，避免表達式的階數過高。由式(5)可得，當n=3時，下一步需要確定m的取值。由式(7)可得，當η為定值時，K1的回歸模型為

(8)

繪制η為定值、ξ為變量的散點圖見圖2，由圖2可知:當η為定值時，K1與ξ近似線性相關，則令m=1，用最小二乘法進行參數估計，并對模型進行回歸顯著性檢驗，以驗證K1和ξ是否存在強線性相關關系。回歸顯著性檢驗為

H0:β1=0,H1:β1≠0

(9)

檢驗所用統計量為

(10)

圖2 η為定值的散點圖和回歸直線圖

表4 η為定值的和|t0|

K1=Xβ

(11)

式(11)中：

(12)

(13)

多元回歸相關系數為

(14)

一般而言，向一個模型中增加一個回歸變量時，無論這一變量的貢獻值如何，R2不會下降。因此，多元回歸中通常采用調整后的相關系數RAdj

(15)

(16)

檢驗βij，多元回歸顯著性假設為

H0:βij=0,H1:βij≠0

(17)

如果不能拒絕H0，則表明ηiξj線性相關性不強，βij=0。檢驗所用的統計量為

(18)

表和tij的值

K1=β00+β20η2+β30η3+β21η2ξ+

β31η3ξ+ε

(19)

表6 剔除線性相關性不強回歸變量后的和tij的值

3 模型適用性檢驗及不適用性的修正

顯著性檢驗可檢驗響應變量與回歸變量之間的線性相關性，但不能檢驗誤差是否符合正態分布和回歸模型擬合的優劣。誤差符合正態分布是回歸分析的假設之一，如果模型嚴重違背回歸分析的假設，則模型不穩定。要檢驗誤差是否符合正態分布和模型擬合的優劣，需進行模型適用性檢驗。如果模型適用性檢驗沒有通過，還需修正模型的不適用性。

3.1 模型適用性檢驗

用W檢驗來檢驗假設H0的步驟如下

1) 將ei按升序排序e[1]≤e[2]≤，…，≤e[nsp]。

2) 計算檢驗的統計量

(20)

用正態概率圖尋找模型不適用性的修正方法。外部化學生殘差為

(21)

(22)

計算eti值，按升序排序et[1]≤et[2]≤，…，≤et[nsp]，進而計算et[i]的累積概率Pi，繪制正態概率圖見圖3。由圖3可知:累積概率為重尾分布，誤差的方差不是常數，可采用方差穩定化變換來修正模型的不適用性。[18]

圖3 正態概率圖

3.2 模型不適用性的修正-方差穩定化變換

(23)

表和tij的值

4 計算結果比較

本文提出的回歸模型可計算船舶下沉量，船舶、航道參數與表3一致，計算結果見表8。當hT=10.0 m、h=14.0 m時，FTIA模型計算結果與細長體理論數值計算結果差別較大。W=100.0 m、150.0 m和200.0 m，FTIA模型的相對誤分別為48.94%、43.54%和39.00%，本文模型的相對誤差分別為1.35%、0.00%和1.76%，明顯小于FTIA模型。當hT=6.0 m和h=14.0 m時，雖然FTIA模型計算結果與文獻[12]的計算結果較接近，但本文模型的相對誤差更小。顯然，與FTIA模型相比，本文模型計算結果更接近文獻[12]的計算結果，精度更高。

表8 挖槽式航道參數和本文模型計算結果

5 結束語

HUUSKA/GULIEV公式是基于細長體理論提出的船舶下沉量經驗公式，包含挖槽式航道修正系數。FTIA給出挖槽式航道修正系數的分段連續模型，但FTIA模型計算的挖槽式航道船舶下沉量與細長體理論數值計算的船舶下沉量差別較大。針對這一問題，對HUUSKA/GULIEV公式挖槽式航道修正系數進行回歸分析，給出該系數的連續回歸模型。用最小二乘法估計模型的回歸系數，檢驗回歸系數顯著性，根據檢驗結果確定回歸模型表達式的形式。在此基礎上進行模型適用性檢驗，發現模型的殘差不符合正態分布，模型存在不適用性，需進行方差穩定化變換。方差穩定化變換后模型的不適用性得以修正，模型擬合度良好，與FTIA模型相比，本文模型計算結果更接近于細長體理論數值計算結果，精度更高；本文模型形式簡單，計算量比細長體理論數值計算更小，易于工程應用。