基于模糊分數階PID的食品包裝機張力控制系統設計

胡亞南 李 鑫 霍蛟飛 李明輝 索小娟

(1. 西京學院，陜西 西安 710000；2. 陜西科技大學，陜西 西安 710021；3. 鄭州鐵路職業技術學院，河南 鄭州 450000)

在食品包裝過程中，若要達到包裝袋長精準和袋形外觀平整精美，需保證袋膜供送平穩無偏、袋膜張力恒定，然而放膜卷直徑非線性變小、包裝速度改變、袋膜厚度及摩擦力不均勻等因素影響，從而引起袋膜張力變化[1]。袋膜張力過大易引起袋膜變形、斷裂、撕拉；袋膜張力過小易引起袋膜起皺、打滑、跑偏，進而影響包裝制袋、熱封、切斷的質量，降低包裝袋形質量。因此，袋膜張力精確、穩定是保證包裝產品外觀質量的關鍵點。

目前，包裝機袋膜張力控制多采用傳統PID控制，但放膜卷直徑隨包裝時間出現非線性變小現象，且袋膜厚度、表面質量、包裝速度等因素影響，難以建立精確數學模型，所以固定參數PID控制無法獲得較好控制效果。模糊控制依據專家知識和成熟操作經驗進行邏輯推理智能控制，具有較強的魯棒性和復雜控制系統適用性。溫玉春等[2]針對包裝機熱封溫度控制系統具有時變性、大慣性、非線性特點，設計了具有參數自整定、規則自調整的模糊PID控制器，提高了溫度控制的響應速度和控制精度；胡汪洋等[3]通過建立模糊控制規則，設計了模糊PID控制器在線調控拉膜速度與糾偏輥偏移角度，降低了袋膜跑偏位移量，改善了包裝袋形質量；胡亞南等[4]為提升3D打印產品表面質量，利用模糊PID控制器提升3D打印設備噴頭溫度控制精度和穩定性，取得了較好效果。由上可知，模糊PID控制對非線性、時變性控制系統具有較好的控制效果。

為增強PID控制器的靈活性，同時保留傳統PID優勢，在分數階微積分理論的基礎上，設計分數階PID控制器，同時引入模糊控制規則對分數階PID的參數進行在線實時整定，避免PID控制參數反復繁瑣和盲目性調整，以實現放膜卷力矩的精確調整，提升袋膜張力控制精度和穩定性。

1 張力控制系統

如圖1所示，包裝機放膜控制系統由SIMNENS S7-1200PLC、KP1500觸摸屏、SM1232模擬量輸出模塊、SM1231模擬量輸入模塊、張力傳感器、磁粉制動器等組成。包裝過程中，隨著包裝袋膜消耗，放膜卷直徑逐漸變小，放膜卷輥以角速度ω旋轉必然會導致線速度v變小，引起袋膜張力變化。由于R變化為非線線性，且張力控制系統干擾因素較多，所以張力平穩、恒定控制較難。張力控制原理為：KP1500觸摸屏設定張力設定值，張力傳感器檢測袋膜張力信號傳送到S7-1200PLC控制器進行A/D轉換并與張力設定值進行比較運算獲取張力偏差，控制器依據偏差值進行控制運算并輸出控制作用，經D/A轉換后以勵磁電流形式調節磁粉制動器輸出轉矩，完成袋膜張力閉環控制。

圖1 包裝機放膜卷控制示意圖Figure 1 Schematic diagram of film roll control of packaging machine

設定袋膜厚度為h、線速度為v、張力為T、寬度為b、密度為ρ，放膜卷半徑為R、放膜輥半徑為R0、角速度為ω，磁粉制動器力矩為M，放膜卷、放膜輥、袋膜的轉動慣量分別為J、J0、Jk，則放膜卷系統的力矩平衡方程為[5]：

(1)

(2)

J=J0+Jk，

(3)

(4)

ds=hvdt，

(5)

(6)

式中：

Bf(t)——阻尼系數，(N·s)/m；

ds——單位時間放膜面積值，m2/s；

b——袋膜寬度，m；

h——袋膜厚度，m；

v——袋膜移動線速度，m/s；

T——袋膜張力，N；

ρ——袋膜密度，kg/m3；

R——放膜卷半徑，m；

R0——放膜輥半徑，m；

ω——放膜輥角速度，r/s；

M——磁粉制動器力矩，N·m；

J、J0、Jk——放膜卷、放膜輥、袋膜的轉動慣量，kg·m2。

將式(2)～(6)代入式(1)中，整理得：

(7)

由式(7)可知，食品包裝過程中，袋膜張力與卷徑、包裝速度、加速度及制動力矩有關，通過調整磁粉制動器力矩，可實現不同卷徑和包裝速度條件下張力恒定。

2 模糊分數階PID控制設計

2.1 PID控制

傳統PID控制具有結構簡單、成熟、易實現等優勢，被廣泛應用于包裝設備控制領域，其依據控制對象誤差e(t) 的比例(P)、積分(I)、微分運算(D)的疊加獲取控制輸出u(t)，控制規律為：

(8)

也可將控制規律以傳遞函數形式表示：

(9)

式中：

KP、KI、KD——比例、積分、微分系數；

s——拉氏變換因子；

e(t)——控制對象誤差值；

u(t)——控制系統輸出值。

2.2 分數階PID控制

為提高PID控制器的靈活性，結合分數階微積分理論，在PID基礎上增加微分階數μ和積分階數λ，使控制范圍更廣，如圖2所示。

由圖2可知，分數階PID控制的參數取值范圍為一個平面，而傳統PID控制為平面中的一個點，表明分數階PID的控制更加精確、控制能力更強。分數階PID的控制規律也是對控制對象偏差進行P、I、D求取并組合實現控制過程，故傳遞函數表達式為[6]：

圖2 P-I-D平面Figure 2 P-I-D plane

(10)

分數階PID控制器結構如圖3所示。

圖3 分數階PID控制器結構示意圖Figure 3 Schematic diagram of fractional-order PID controller structure

由于分數階PID存在階次，在實際運用過程中不能直接使用固有模塊，需對分數階參數μ和λ進行近似推導。利用Oustaloup濾波方法的求解過程為：

設工作頻段為(ωb，ωh)，對微積分算子sa進行擬合，則濾波器傳遞函數為：

(11)

式中：

2N+1——階次。

Oustaloup濾波算法將微積分算子用分數階傳達函數表示為[7]：

(12)

式中：

b>0；

c>0。

頻率段內一階泰勒級數展開得：

(13)

將式(13)中K(s)用Oustaloup遞推式展開得：

(14)

式中：

2.3 模糊分數階PID控制

袋膜張力控制系統較為復雜，受到放膜卷半徑非線性變小、包裝速度、袋膜質量等因素影響，袋膜張力波動較大。如圖4所示，為提高PID控制精度和靈活性，以袋膜張力設定值r(k)與實際值y(k)的偏差e(k)和偏差變化率de/dt[ec(k)]為輸入量，采用模糊控制規則對分數階PID控制器的μ、λ、ΔKP、ΔKI、ΔKD5個參數進行在線調節。

圖4 模糊分數階PID控制器張力控制系統Figure 4 Tension control system of fuzzy fractional-order PID controller

袋膜張力模糊控制器設計步驟：

(1) 控制器結構及變量：依據控制需求，設計控制器結構為二輸入五輸出型，輸入變量為e、ec，輸出變量為μ、λ、ΔKP、ΔKI、ΔKD，輸入變量模糊論域e(ec)∈[-4，4]，輸出變量ΔKP∈[-0.8，0.8]、ΔKI∈[-0.2，0.2]、ΔKD∈

[-5，5]、μ∈[0，1.8]、λ∈[0，1.4]，μ、λ、ΔKP、ΔKI、ΔKD的模糊子集均設定為：NB(負大值)、NM(負中值)、NS(負小值)、ZO(零值)、PS(正小值)、PM(正中值)、PB(正大值)[8]。

(2) 隸屬度函數：隸屬度函數曲線特性等能夠反映控制系統的穩定性和靈敏性，為使袋膜張力控制系統具有較好的控制精度和穩定性，在e、ec較大區域選擇曲線平滑的高斯隸屬度函數，在e、ec較小區域選擇曲線尖銳的三角形隸屬度函數(見圖5)，μ、λ、ΔKP、ΔKI、ΔKD隸屬度函數選取原則與e、ec相同。

圖5 隸屬度函數Figure 5 Membership function

(3) 模糊控制規則：模糊控制規則是模糊控制的核心，決定控制效果。依據工程技術人員實際操作經驗和分數階PID參數功能及性質，分析不同μ、λ、ΔKP、ΔKI、ΔKD參數值對張力e和ec的影響，設計模糊控制規則表(見表1、2)[9]。

表1 μ、λ控制規則表Table 1 μ, λ control rule table

模糊控制器采用Mamdani進行模糊推理，獲取μ、λ、ΔKP、ΔKI、ΔKD參數的模糊控制量，然后采用重心法進行解模糊。

3 控制系統設計

袋膜張力控制系統以Siemens S7-1200PLC控制器和Siemens KP1500觸摸屏為核心，完成包裝過程的自動控制和數據處理，具備數據運算、顯示、報警、存儲等功能。分析控制需求選用CPU 1214C為主控制器，集成Profinet接口，具有較好的擴展性和靈活性；KP1500能夠實現控制系統工藝界面設計、歷史曲線、故障報警、數據報表、參數設置等功能，人機界面友好。

3.1 硬件設計

袋膜張力控制系統主要包括STS-010張力傳感器、STA-05C張力變送器、CPU 1214C控制器、HB-611B恒流源及TJ-POD2磁粉制動器、SM1223和SM1231模塊。STS-010檢測袋膜張力實際信號經STA-05C轉化為4～20 mA電流信號傳輸給SM1231模塊，經CPU 1214C控制運算后由SM1232模塊傳送給HB-611B，然后經HB-611B輸出電流調整TJ-POD2的輸出力矩，實現袋膜張力的恒定控制，系統接線如圖6所示。

表2 ΔKP、ΔKI、ΔKD控制規則表Table 2 ΔKP， ΔKI， ΔKD control rule table

圖6 袋膜張力控制硬件接線Figure 6 Hardware wiring of bag film tension control

3.2 硬件及網絡組態

包裝機控制系統基于TIA Protal V13平臺進行開發，主要包含Step7下位機程序開發和WinCC HMI界面開發。啟動Protal軟件后項目創建，在新建項目的“設備與網絡”菜單中選擇“添加設備”中的按照設備訂單號或模塊型號選擇PLC、PS、IM、SM模塊完成系統硬件組成[見圖7(a)]，并進行組態故障檢測。將PLC _1(CPU1214C)和HMI_1(KP1500)的PN端口進行連接，然后修改Profinet接口的網絡地址、設備名稱等信息后進行編譯故障查詢，然后保存網絡組態[見圖7(b)][10-11]。Protal軟件相對于“STEP7+WinCC”模式組態具有簡便、高效、可視化性強的優勢。

圖7 系統硬件及網絡組態圖Figure 7 System hardware and network configuration diagram

3.3 程序設計

如圖8所示，控制系統啟動并完成初始化設置，經KP1500 HMI界面設定控制系統初始參數及張力設定值，CPU1214C經SM1231獲取現場實際張力檢測信號值與設定值進行比較，若存在控制偏差，則計算出張力當前周期內e、ec值；將e、ec作為模糊控制器的輸入量，模糊控制器按照模糊規則進行模糊推理的μ、λ、ΔKP、ΔKI、ΔKD參數值；分數階PID依據模糊控制輸出進行控制運算；CPU1214C對控制信號進行邏輯處理和信號轉換，SM1232將控制輸出信號經恒流源作用于磁粉制動器，調整磁粉制動器輸出力矩改變袋膜張力值，最終實現袋膜張力的精確、穩定控制，提高袋膜包裝外觀質量[12]。

圖8 張力控制流程圖Figure 8 Tension control flow chart

4 仿真分析

選用Simulink軟件仿真平臺，分數階PID的微積分時間的分數階用Function建立，PID控制的初始參數設為KP=0.51、KI=0.35、KD=1.2，分別建立PID、模糊PID、模糊分數階PID控制器仿真模型進行仿真對比。設置仿真時間為200 s，張力值為10 N，在t=80 s時修改張力值為5 N，對3種控制器的性能進行仿真對比，如圖9(a) 所示；為驗證3種控制器模型失配魯棒性能力，將張力控制系統傳遞函數的過程增益和時間常數分別增加20%進行仿真對比，如圖9(b)和(c)所示；由于袋膜張力控制系統受多因素干擾，故在t=150 s處添加幅值為1 N(20%)的負向階躍信號對比仿真控制抗干擾能力，如圖9(d)所示。由圖9(a)可知，PID的超調量約為0.62 N，模糊PID、模糊分數階PID不存在超調；模糊分數階PID相比模糊PID的響應速度更快，到達穩定時間更短，控制器性能優越。由圖9(b)可知，當張力控制系統過程增益增加20%時，PID控制超調量明顯增加，且達到穩態時間增長；模糊PID控制存在少量超調，模糊分數階PID曲線所受影響不大。由圖9(c)可知，當張力控制系統時間增加20%時，PID曲線的響應速度、超調量、穩態時間均有較大變化，模糊PID超調量增加較大。由圖9(b)和(c)綜合分析可知，模糊分數階PID控制具有較好的模型失配魯棒性。

圖9 控制器仿真對比曲線圖Figure 9 Comparison graph of controller simulation

如圖9(d)所示，在t=150 s添加階躍干擾后PID、模糊PID、模糊分數階PID曲線偏離最大值約為4.21，0.79，0.48 N，干擾后達到穩態時間約為45，35，18 s，表明模糊分數階PID控制具有較好的抗干擾能力。由圖9可知，模糊分數階PID控制器性能優越，具有較好的動態響應、模型失配魯棒性及抗干擾能力。

5 結語

食品包裝機袋膜張力控制系統具有多干擾、時變性、非線性特征，傳統PID難以獲得較好的控制效果。結合模糊控制、分數階控制、PID控制的優勢，設計靈活性、精確度較好的模糊分數階PID控制器，利用模糊控制規則對分數階PID參數進行在線調節，提升袋膜張力控制精確性和穩定性。以Siemens PLC和HMI界面為核心，介紹了硬件設計、網絡組態及控制流程，設計包裝機自動控制系統。經Simulink軟件對各控制進行對比分析，結果表明：模糊分數階PID的控制器性能最優，具有較好的適用性，能夠滿足袋膜張力控制需求。但由于模糊控制規則庫不具備自我優化和學習能力，后期將研究如何利用智能優化算法對模糊控制規則庫進行在線優化，使張力控制算法適用于各種工況。