2020年高考全國(guó)卷Ⅰ理綜第18題的多種解法比較*

陳新光

(福建師范大學(xué)附屬中學(xué) 福建 福州 350007)

葛淵波

(福州第三中學(xué) 福建 福州 350003)

謝源浩

(福建師范大學(xué)附屬中學(xué) 福建 福州 350007)

1 原題呈現(xiàn)

【題目】一勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖1中虛線所示，ab為半圓，ac，bd與直徑ab共線，ac間的距離等于半圓的半徑．一束質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子，在紙面內(nèi)從c點(diǎn)垂直于ac射入磁場(chǎng)，這些粒子具有各種速率．不計(jì)粒子之間的相互作用．在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為( )

圖1 高考原題題圖

2 試題分析

本題主要考查知識(shí)點(diǎn)是不同速率的帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)情形，結(jié)合有界磁場(chǎng)邊界(半圓形)，要求學(xué)生分析粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間，對(duì)學(xué)生的批判性思維能力要求頗高，具有較好的區(qū)分度．本文先給出網(wǎng)絡(luò)上普遍的分析方法(解法1)，再推導(dǎo)得到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚摫磉_(dá)式(解法2)，最后通過(guò)知識(shí)遷移、模型轉(zhuǎn)化，給出巧妙解法(解法3)．

解法1：放縮圓法

圖2 放縮圓法示意圖

粒子運(yùn)動(dòng)最長(zhǎng)時(shí)間為

選項(xiàng)C正確．

解法2：解析法

由于當(dāng)r≤0.5R和r≥1.5R時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間都是半個(gè)周期，學(xué)生容易想到，在此不再贅述．重點(diǎn)考慮當(dāng)0. 5R

圖3 解析法示意圖

令

且由

0. 5R

可知，x的取值范圍為0.5

從表達(dá)式可以看出，當(dāng)x=1時(shí)，表達(dá)式f(x)有最小值，角度φ有最大值．

當(dāng)f(1)=0.5時(shí)，cosφ=0.5，在本題中φ=60°，即粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角度為θ=π+φ=240°．

解法3：圖像法

基礎(chǔ)模型——單邊界磁場(chǎng)模型：如圖4所示，當(dāng)帶電粒子從M點(diǎn)以π-φ角度入射到MN上半?yún)^(qū)為勻強(qiáng)磁場(chǎng)的區(qū)域中，從N點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)．根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角θ=2(π-φ)．

圖4 粒子在單邊界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)示意圖

對(duì)于本題，由于不同速度粒子都是在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，可以理解為固定c點(diǎn)與離開(kāi)磁場(chǎng)邊界點(diǎn)連線的單邊界模型，如圖5所示，cN,cP和cQ分別為3個(gè)單邊界磁場(chǎng)模型．從圖中可以明顯看出，當(dāng)cP與圓邊界相切時(shí)，邊界線的偏離角度最大，即相對(duì)cP單邊界而言，速度入射方向與邊界cP的夾角最大，進(jìn)而可知軌跡轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角最大．

圖5 轉(zhuǎn)動(dòng)單邊界法示意圖

3 總結(jié)

對(duì)比3種解法，解法1是較為常規(guī)，是絕大多數(shù)學(xué)生能夠想到的方法，也是平時(shí)教學(xué)中要求重點(diǎn)掌握的方法．但是，在卷面上手動(dòng)畫(huà)放縮圓比較困難，軌跡轉(zhuǎn)過(guò)圓心角的最大值不易找到；解法2從物理模型中得到圓心角的數(shù)學(xué)表達(dá)式，從公式中得到圓心角的最大值，方法嚴(yán)謹(jǐn)，但步驟繁瑣，對(duì)數(shù)學(xué)計(jì)算能力要求極高；解法3利用知識(shí)遷移，把帶電粒子在單邊界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的相關(guān)結(jié)論遷移到本題解題中，由圓心角的判斷轉(zhuǎn)化為磁場(chǎng)邊界角的判斷，角度變化趨勢(shì)直觀，計(jì)算簡(jiǎn)單，是考試和平時(shí)學(xué)習(xí)中最佳選擇方法．

以上僅是筆者的一些拙見(jiàn)，還請(qǐng)同行批評(píng)指正．