基于D分解的分數階PID控制器的圖形化參數整定

陳思溢，牛 旭

(湘潭大學 自動化與電子信息學院，湖南 湘潭 411105)

0 引言

分數階微積分起源于三百多年前，分數階和整數階相比能更精確地描述實際對象。鑒于分數階理論的優越性，近年來對分數階控制系統的研究愈發成為一個熱點課題。特別是對分數階控制器研究，1998年I.Podlubny教授提出的分數階PIλDμ控制器作為經典控制器模型已成為最近分數階領域的研究重點[1]。對于分數階PIλDμ控制器的參數整定，取得的成果主要有：圖解設計法、智能優化算法、解析設計法、D分解法等。此外，極點配置在控制系統設計的瞬態響應和魯棒性等性能方面具有重要作用。文獻[2]采用參數空間法討論利用分數階PIλ控制器實現時滯系統極點配置問題。D分解法最早引入自動控制系統分析過程中是有Lanzkron等人在1959年提出[3]。文獻[4]利用D分解法精確地確定不確定系統的控制器參數區間范圍。文獻[5]運用D分解法分別描述了PD/PDμ控制器在(Kp,Kd)平面上的分數階時滯系統的魯棒穩定區域。文獻[6-7]利用D分解法求解閉環系統的漸進穩定性問題，在此基礎上確定參數空間中穩定域邊界的解析表達式，并且研究了線性分數階系統和線性參數相關情況下的D分解方法。文獻[8]應用D分解法和值集的幾何結構提出了一種有效的算法來計算帶時滯的區間對象的魯棒性區域。文獻[9]提出了一種確定滿足給定H∞優化標準的PID控制器的方法。該方法使用D分解的概念確定值集的邊界，通過取區間交集來直觀地描述滿足要求的控制器參數范圍。文獻[10]通過D分解法解決低階控制器控制高階或時滯系統的問題。文獻[11]使用D分解法求解閉環倒立擺系統的漸進穩定問題，同時文中還研究了線性分數階系統和線性參數相關情況下的D分解方法。

本文提出了一種利用D分解法進行主導極點配置的分數階PID控制器設計方法。其基本思想是基于動態響應指標約束來進行主導極點配置，由此可以得到分數階控制器參數Kp,Ki關于Kd,α,β的線性函數，固定參數β后，就只有Kp和α兩個自由參數。D分解法用來確定Kd和α，從而確保所選極點的優勢。在此過程中，引入差分進化算法作為媒介，確定參數的穩定區域，從而使得分數階PID控制器達到理想的系統控制性能。

1 控制系統結構

2DOF PID的概念最早由Horowitz在1963年提出的，和傳統的1DOF PID相比，它較好地實現了抑制擾動和快速響應設定值變化二者之間的均衡。從本質上講，一般情況下的單輸入單輸出系統理應是一個兼有設定值和擾動信號雙輸入且單輸出的系統，使用PID控制器去控制雙輸入系統，本該使系統的兩路性能均達到最優，然而在大部分情況下此二者不可兼得。而2DOF PID正好能較好解決這一問題，它通過引進一組無關誤差的參數，使用Kp,Ki,Kd去進行擾動的抑制，再利用權重系數α,β去調整輸出。

考慮如圖1所示的采用二自由度分數階PID控制策略的閉環控制系統，P(s)為被控對象，C1(s)為采用分數階PID控制策略的主控制器，C2(s)為采用不完全微分控制策略的反饋補償控制器，它們的傳遞函數形式如式(1)～(3)所示：

(1)

(2)

(3)

圖1 控制系統結構

式中，v0,vi,vj為控制對象中的分數階階次，pi,nj為常數。Kp,Ki,Kd為控制器的比例、積分和微分增益，α,β為控制器中的分數階階次，Td為濾波時間常數。

將圖1轉化為具有單位負反饋形式的控制系統結構，如圖2所示。其中：

(4)

圖2 具有單位負反饋形式的控制系統結構

結合式(2)和(4)，可得出圖2所示的控制系統的閉環傳遞函數如式(5)所示：

(5)

式中：

N(s)=(Kp+Kis-β+Kdsα)(Tdsα+1)

D(s)=(Tdsα+1)Kp+(Tdsα-β+s-β)Ki+

2 基于動態響應指標約束的主導極點配置

令s=σd±jωd為系統的閉環主導極點，即閉環特征多項式D(s)的根。考慮到閉環系統的響應特性主要由主導極點確定，可根據閉環主導極點得到式(5)的近似閉環傳遞函數，如式(6):

(6)

考慮如式(7)的典型二階系統閉環傳遞函數：

(7)

式中，ζ為阻尼系數，ωn為振蕩角頻率。由式(7)可得出二階系統的動態響應指標，如式(8)：

(8)

式中，δ%為最大超調量，ts為調節時間。令式(6)和(7)中各項分別相等，可得：

(9)

聯立式(8)和(9)，則可通過預設定δ%和ts解出期望閉環主導極點的位置。

將s=σd±jωd代入閉環特征多項式D(s)，并分別取其實部和虛部，可得關于Kp,Ki,Kd和α,β的多項式方程組如式(10)：

A1Kp+B1Ki+C1Kd=D1

A2Kp+B2Ki+C2Kd=D2

(10)

式中，

求解式(10)，Kp和Ki可通過Kd,α,β描述得出，如式(11):

(11)

3 基于D分解的控制器參數區域化

3.1 D分解思想

經過上一節對閉環極點配置的研究，閉環系統的主導極點可被配置在圖3中由‘×’號所標識的位置，但若有其余極點同樣位于圖3中虛軸左側且陰影部分右側的位置，該對共軛極點則不是主導極點，系統的主要響應性能就無法由它得到確定。

本文采用D分解評估期望閉環極點為主導極點的真實性，它的思想如下。考慮閉環系統的穩定性，以復平面中的虛軸為界，若存在極點在其右側，則該系統不穩定。選取控制器參數Kp,Ki,Kd,α,β，使閉環特征方程包含k個位于右半復平面的不穩定根，則定義控制器參數的變化區域為d(k)。控制器參數的變化區間可由此被劃分成多個子域，其中每個都對應了固定個數位于右半復平面的不穩定根。若能尋找到一子域d(0)，則由對應的控制器參數構造得到的系統的閉環極點全部位于左半復平面，即該系統為穩定系統。

圖3 閉環主導極點示意圖

將D分解思想中的判別邊界由虛軸替換為圖3與實軸相交于mσd的虛線，其中m≥5表示系統的其余閉環極點與虛軸的距離至少5倍于主導極點與虛軸的距離。考慮此情形，在配置好期望極點的前提下，通過D分解評估得出對應控制器參數的子域為d(2)，則認為該極點為主導極點。

3.2 控制器參數區域化

改進后的D分解方法中的邊界性條件可由以下兩點實現：

1)D(0)=0，說明閉環特征多項式D(s)中不包含常數項，如式(12)。

2)D(mσd+jω)=0，其中ω∈(-∞,+∞)，由它即可確定圖3中虛線所示的判別邊界。

(12)

求解式(12)，可將Kd用式(13)描述:

(13)

由D(mσd+jω)=0，并代入式(11)消去其中的Kp和Ki，則有：

(14)

(15)

通過式(14)解出Kd，可得：

(16)

將式(16)代入式(15)，可得：

(17)

可見，在保持β一定的前提下，隨著ω的變化可唯一確定α的變化軌跡，再將α代入式(13)和(16)，可進一步確定兩種α與Kd之間的變化軌跡。由這兩條軌跡包圍而成的區域即為D分解方法中的閉環極點個數判別區域。

4 基于差分進化算法的主導極點配置

若控制器參數的整體變化區間內都不包含d(2)子域，即意味著在圖3中虛軸左側且陰影部分右側的區域內包含兩個以上的閉環極點。本文考慮子域為d(3)或d(4)的情形，對于除主導極點以外的閉環極點，利用差分進化算法在子域內尋找合適的控制器參數α,β和Kd，再根據式(11)確定Kp和Ki，從而在閉環傳遞函數的分子多項式N(s)中配置出復平面中位置與該閉環極點相同或相近的閉環零點，構造偶極子以消除該閉環極點帶來的影響。

令s=σa+jωa為d(3)或d(4)子域中除主導極點外期望被配置出的閉環極點，則有：

D(σa+jωa)=0

N[σa+Δσ+j(ωa+Δω)]=0

(18)

式中，Δσ和Δω表示偶極子中閉環零點與極點之間的微小距離。若子域為d(3)，則意味著該閉環極點為位于[-mσd,0]區間內的負實根，此時有ωa=Δω=0。列出差分進化算法中的目標函數和約束條件如下：

差分進化算法的執行步驟如圖4所示。

步驟1：對種群進行初始化，種群中的每個個體都包含5個參數：分數階階次α、閉環極點的實軸坐標σa和虛軸坐標ωa、以及偶極子中零極點之間間距的實軸坐標Δσ和虛軸坐標Δω。

xi,G=(σa,ωa,Δσ,Δω,α)

(20)

式中，i代表種群中的第i個個體，G代表算法的迭代次數。為兼顧算法的優化效率和運行速度，本文選擇種群的總個體數量和最大迭代次數分別為30和500。

步驟2：根據式(20)中的參數，利用式(11)和(18)計算Kp,Ki,Kd，若α和Kd的取值位于D分解子域d(3)或d(4)內，則認為此時種群個體的選擇滿足邊界約束條件。

(19)

圖4 差分進化算法流程

步驟3：隨機選取種群中兩個不同的個體xr1,G和xr2,G，將兩者的向量差按比例縮放后，與目標個體xi,G進行向量合成，得到變異個體vi,G+1，其計算過程如式(21):

vi,G+1=xi,G+F(xr1,G-xr2,G)

(21)

式中，F為縮放因子，本文中取值為1.2。

步驟4：對目標個體xi,G及其變異個體vi,G+1按一定概率進行個體間的交叉操作，從而確保變異個體中的部分信息能被傳遞到下一代個體ui,G+1。本文中交叉概率取值為0.8。

步驟5：將經過交叉操作得到的個體ui,G+1和原個體xi,G中的參數分別代入式(19)中的目標函數，選取適應度值較優所對應的個體，將其保留并傳遞至下一代xi,G+1。

5 仿真結果與分析

本文所提方法在兩類控制對象上進行仿真驗證，控制對象的模型如式(22)。

(22)

為驗證本文所提方法的優越性，使用改進灰狼優化算法[12-14]和改進粒子群算法[15]被用來作對比，同時為了更好地對各類方法的差異進行量化分析，本文引入如式(23)的ITAE評價指標。

(23)

式中，tm表示仿真終止時間，r(t),y(t),e(t)分別表示閉環控制系統的輸入、輸出和誤差量。

5.1 整數階對象P1(s)

設定期望的最大超調量和調節時間分別為10%和13.92 s，根據式(8)和(9)，可解得期望的主導極點位于s=-0.368 62±j0.296 20，令濾波時間常數Td和分數階階次β分別為0.094 2和1.05，即可通過D分解方法將控制器參數α,Kd的整體可變區域劃分為圖5所示的各個子域。

圖5 由改進D分解方法劃分控制器參數的變化區域

圖6 配置參數后的控制系統零極點圖

由圖6可知，經過配置參數，控制系統有一對共軛零點和一對共軛極點形成了偶極子，使系統的響應性能可以主要受到主導極點的影響。而與其他的極點或零點沒什么太大關系。

以下為三類參數整定方法得到的參數結果，如表1所示，控制對象模型如式(20)。仿真結果如圖7所示。

從試驗結果可知,針對整數階被控系統，本文方法在響應速度和精確度均優于改進灰狼算法及改進粒子群算法。

表1 各類方法的對比

圖7 整數階被控系統階躍輸出響應圖

P1(s)上升時間/s穩定時間/s超調本文方法9.87100改進灰狼算法9.292170.098改進粒子群算法9.768180.122

5.2 分數階對象P2(s)

設定期望的最大超調量和調節時間分別為3%和9.1秒，根據式(8)和(9)，可解得期望的主導極點位于s=-0.330 1±j0.943 9，令濾波時間常數Td和分數階階次β分別為0.094 2和1.05，即可通過D分解方法將控制器參數α,Kd的整體可變區域劃分為類似圖5所示的幾個子域。

以下為三類參數整定方法得到的參數結果，如表3所示，控制對象模型如式(20)。仿真結果如圖8所示。

表3 各類方法的對比

圖8 分數階被控系統階躍輸出響應圖

在實驗中，第20 s時加入干擾信號。從實驗結果可知，針對分數階被控系統，各項性能均優于整數階被控系統，一定程度上也表明了分數階控制器和分數階被控對象結合較之整數階被控對象的系統控制性能更優。而在三類方法對比中，本文方法和改進和灰狼算法的結果相似，同時二者在響應速度、精確度及抗干擾性能方面均優于改進粒子群算法。

6 結束語

本文提出了一種基于D分解法進行主導極點配置的2自由度分數階PID控制器設計方法。其基本思想是基于動態響應指標約束來進行主導極點配置，以差分進化算法作為媒介，在D分解得到的穩定區域中確定最優參數，從而使得分數階PID控制器達到理想的系統控制性能。 針對整數階被控對象和分數階被控對象采用三類參數整定方法設計控制器，對比實驗結果顯示文中所設計的方法在控制系統的快速性，穩定性和魯棒性等方面均表現較好，由于其他兩類整定方法。