時延與丟包情形下的網絡控制系統量化反饋鎮定

王春平

(浙江理工大學 科技與藝術學院，浙江 上虞 312369)

0 引言

網絡控制系統(NCSs,networked control systems)是通過一個實時網絡來形成閉環的反饋控制系統，它由控制器、多個執行器、被控對象、多個傳感器和控制網絡構成的[1-2]。由于通信網絡的介入，閉環反饋回路(即傳感器-控制器通道和控制器-執行器通道)中的各種數據傳遞都要通過這個控制網絡才能實現。相較于傳統的簡單控制系統，NCSs可以減少系統布線，能夠實現對系統的實時監測與控制，易于對系統進行診斷和維護；還能通過網絡實現信息共享，增加系統的靈活性，還有其他許多優點?；谶@些優勢，NCSs已經在航空航天系統、電力系統、工業過程控制系統、汽車控制系統等領域受到了廣泛的關注與應用。

但同時，也正是因為在反饋回路中引入了通信網絡，很多在傳統控制理論中的很多理想性假設需要被重新考慮。比如傳統控制理論中系統組件之間是點對點的，傳感器-控制器通道和控制器-執行器通道之間信息傳遞不存在時延，而且在網絡環境中，多個節點共用一個通信網絡，可能會導致網絡阻塞甚至中斷，由此會引發網絡誘導時延與數據包丟失或亂序。由此導致控制系統的分析與設計變得更加復雜。NCSs涉及的通信數據都是數字信號的，即連續信號在被傳輸之前必須經過數據量化的處理[3-4]，這會影響控制器接收傳感器發送的采樣數據以及執行器接收控制器發出的控制數據，嚴重時會導致系統失穩。所以控制系統的分析與設計變得尤為關鍵。

基于此，本文針對短時延NCSs，考慮兩個通道(傳感器-控制器通道和控制器-執行器通道)都存在數據包丟失以及傳感器-控制器通道設置量化器存時的系統穩定性問題，對系統進行了建模、穩定性分析與控制器設計，并利用Matlab的線性矩陣不等式即LMI(linear matrix inequality)工具箱[5]進行了算例仿真驗證。

1 網絡控制系統結構與建模

假設丟包概率一定，那么丟包過程可以等效為按一定速率切換的開關，開關閉合表示數據正常傳輸，開關打開表示發生數據丟包[6-8]。另外，NCSs中最常見的另外一個現象就是網絡誘導時延，如果系統設計沒有考慮網絡誘導時延的影響，那么控制系統的性能可能會得到降低，嚴重時甚至使得系統失穩。因此，本文進一步考慮系統存在短時延的情況，如果將傳感器-控制器通道存在的時延記為τsc，控制器-執行器通道存在的時延，記為τca，那么網絡總時延τ=τsc+τca

圖1 存在短時延和丟包的NCSs模型

由于網絡通訊帶寬受限，為保證采集的數據信號傳輸質量，在保證系統性能的前提下盡可能降低通信資源占用率，我們在網絡傳輸通道中引入對數量化器，記為h(x)。通過量化器，我們可以將傳感器采集到的連續信號進行量化處理，轉化為一定數量的離散信號，這些離散信號可以代表傳感器采集的信號，編碼、傳輸這些離散信號可以在極大程度上降低連續信號的傳輸量。

量化器記為h(x)=[h1(x1)h2(x2)hn(xn)]，定義如下：

記Δh=diag{Δh1,Δh2,,Δhn}，其中，Δhm∈[-εhm,εhm]。根據文獻[3]，有：

h(x)=(I+Δh)x

假設系統采用輸入零階保持器策略，即在數據包到達之前保持前一周期的輸入，且傳感器采用時間驅動，控制器和執行器采用事件驅動。那么，我們可以將系統描述為以下4種情況：

1)開關S1，S2都閉合：

2)開關S1閉合，開關S2打開：

up(k)=up(k-1)

3)開關S1打開，開關S2閉合：

xc(k)=xc(k-1)

up(k)=up(k-1)

4)開關S1，S2打開：

xc(k)=xc(k-1)

up(k)=up(k-1)

進一步將上述結果簡化為兩種情況：沒有發生丟包(開關S1，S2都閉合)與發生丟包(開關S1和S2中至少有一個打開)。如果引入一個二值變量i來表示系統的丟包情況：

那么，當i=1時，

當i=2時，

up(k)=up(k-1)

我們可以將圖1等效為如圖2所示的單邊丟包與短時延系統。

圖2 等效的單邊丟包與短時延NCSs模型

在NCSs中，被控對象一般是連續的，而控制器卻是離散的，所以要對其進行離散化。假設連續時間下的被控對象狀態模型為：

離散時間下的狀態反饋控制器為：

uc(k)=K(I+Δh)xc(k)=(K+ΔK)x(k)

(1)

令ΔK=K*Δh，那么，離散時間下的被控對象狀態模型為[8]：

y(k)=Cx(k)

(2)

x(k+1)=

(3)

φ(k+1)=Φiφ(k)

(4)

其中，

2 指數穩定性分析

本文考慮的NCSs是同時包含連續時間的被控對象與離散事件的閉環系統，稱為異步動態系統(ADS, asynchronous dynamic system)，是兼具離散動態和連續動態的系統，也稱為混雜系統，由Hassibi等人在1999年首次提出[6]，其時間動力學模型由差分方程描述，切換開關描述離散事件動力學模型。數據包到達亦或丟失以及有限開關的開啟與閉合均能使用異步動態系統模型。如傳感器輸出的采樣值通過量化器到達控制器，采樣數據和反饋數據均通過網絡傳輸，網絡的不確定性包括超時等待或擁堵均能導致數據包丟失。文獻[7]給出了異步動態系統指數穩定性的條件，本節在此基礎上展開NCSs穩定性分析，首先需要用到如下引理。

β1‖x‖2≤V(x)≤β2‖x‖2

其中：β1,2>0；且且存在標量α1,α2,,αN，滿足：

(5)

則該系統是指數穩定的。

定理3：對式(4)描述的異步動態系統φ(k+1)=Φiφ(k)，存在事件Es(i) ={E1,E2}，對應事件率為ri={r1,r2}，r1+r2=1，選取Lyapunov函數V(φ(k))=φT(k)Pφ(k)，P為一個對稱正定矩陣。那么，如果存在標量α1，α2，滿足：

(7)

且存在X=P-1，滿足：

(8)

則式(4)所描述的NCSs是指數穩定的。

根據引理1中的式(5)可以得到：

即：

將V(φ(k))=φT(k)Pφ(k)代入可得：

φT(k+1)Pφ(k+1)-αi(-2)φT(k)Pφ(k)≤0

將：

φ(k+1)=Φiφ(k)

代入得：

化簡可得：

由于P是一個對稱正定矩陣，所以P-1也是對稱正定矩陣，將上式分別左乘、右乘P-1，可以得到：

利用引理2可以得到：

設X=P-1，代入上式，得到：

定理3證畢。

仿真算例：

考慮被控對象狀態方程描述的NCSs參數如下：

(9)

采樣周期為0.3 s，控制器和執行器節點都采用事件驅動，系統總網絡誘導時延為0.1 s。若控制器增益為K=[-3.50 -11.55]，如果系統不發生丟包時是指數穩定的。那么要考慮：當通信網絡介入后，發生數據丟包，數據包的傳輸成功率為r1=0.90，即數據丟包發生的概率為r2=1-r1=0.10，此時，利用Matlab的LMI工具箱構造線性矩陣不等式，求解正定矩陣X，最終可以得到如下結果：

代入到Φ1、Φ2中可得：

通過該例可以驗證定理3的結果是有效的，系統指數穩定性可行。

3 狀態反饋控制器設計

在實際的應用場合中，往往需要通過考慮閉環系統穩定性進而設計控制器參數，本節假設已知NCSs的丟包率，利用LMI工具箱設計控制器參數使閉環NCSs是指數穩定的。

3.1 LMI處理方法

將離散狀態空間模型化簡為：

x(k+1)=

i=1，不發生丟包，i=2，發生丟包。

則:

(10)

為具有兩個離散事件的異步動態系統，要想該系統能夠指數穩定，那么需要引理1的兩個條件，從而得到滿足條件的狀態反饋控制器的設計。式(6)可以直接獲得，式(5)可以通過線性矩陣不等式[8]得到。

選取李雅普諾夫函數V(x(k))=xT(k)Px(k)+xT(k-1)Qx(k-1)，P和Q均為對稱的正定矩陣，那么根據引理1中的式(5):

可以得到:

將李雅普諾夫函數代入得:

xT(k+1)Px(k+1)+xT(k)Qx(k)-

根據式(10)可以得到：

1)當i=1時：

這里，

(11)

*表示矩陣相應元素的對稱項。

2)當i=2時：

(12)

令X=P-1，T=P-1QP-1，Y=KX=KP-1，ΔY=(ΔK)X將式(11)和式(12)化簡，最后可以得到如下線性矩陣不等式組：

(13)

對式中存在的非線性項進行處理并根據Schur引理，式(13)可等價于：

利用LMI工具箱構造此線性矩陣不等式組，可以求得X、T、Y，控制器參數可以通過K=YX-1獲得。

3.2 仿真實驗與分析

仍然考慮被控對象狀態方程如式(9)所示的NCSs：

傳感器采樣周期0.3 s，系統總網絡誘導時延為0.1s，數據包的傳輸成功率為r1=0.90，即數據丟包發生的概率為r2=1-r1=0.10。

根據引理1的式(6)，取α1=1.07，α2=0.6時，則衰減率α=1.034 0>1，滿足條件。選擇ε=0.02，σ=50。再利用LMI工具箱求解如式(13)的線性矩陣不等式組，可得:

圖3 系統存在時延和丟包時的狀態響應曲線圖

4 結束語

NCSs是控制領域的研究熱點，但是由于網絡的介入會帶來許多問題，應用在分布式控制與存在丟包的情形時[9-12]，系統的分析與設計顯得尤為重要。本文對存在短時延的NCSs，不僅設置了對數量化器，而且考慮雙通道的數據丟包問題，即傳感器-控制器通道和控制器-執行器通道同時存在數據包丟失的情況，把系統建模成為具有兩個離散事件的異步動態系統。在此基礎上，根據異步動態系統穩定性理論進行該NCSs的指數穩定性分析，并利用MATLAB軟件的LMI工具箱設計出了該異步動態系統控制器參數，同時進行實驗仿真，仿真結果驗證了本文方法是有效且可行的。