如何突破中考二次函數綜合題

文 王 艷

函數是很重要的數學知識，它讓我們體會到由算術到代數、由常量到變量、由有限到無窮的數學學習樂趣。函數與方程思想更是解決數學問題的重要思想方法之一。二次函數在中考中的地位更為特殊，通常以壓軸題呈現。那么，我們該如何提高解二次函數綜合題的能力呢？這里以2018年宿遷市中考題為例，做一些探討。

例題如圖1，在平面直角坐標系中，二次函數y=（x-a）（x-3）（0＜a＜3）的圖像與x 軸交于點A、B（點A 在點B 的左側），與y軸交于點D，過其頂點C作直線CP⊥x軸，垂足為點P，連接AD、BC。

（1）求點A、B、D的坐標；

（2）若△AOD 與△BPC 相 似，求a的值；

（3）點D、O、C、B 能否在同一個圓上？若能，求出a的值；若不能，請說明理由。

【分析】（1）注意到點A、B、D 均為拋物線與坐標軸的交點，求其坐標不難，準確求解的關鍵點是如何“確定”坐標。

（2）考慮∠DOA=∠BPC=90°為相等的定角，故△AOD 與△BPC 相似需分類討論

（3）共圓問題重在確定圓心和半徑（或直徑）。觀察四點D、O、C、B 可發現∠DOB=90°，故四點若能在同一個圓上，直徑當為BD，之后只需考慮點C 也在該圓上即可。

解：（1）（略解）點A、B、D 的坐標分別為（a，0）、（3，0）、（0，3a）。

解得a=0或a=±3。

因為0＜a＜3，

所以a=0和a=±3皆舍去。

因為0＜a＜3，所以a=3，a=0舍去。

（3）若四點D、O、C、B 在同一個圓上，因為∠DOB=90°，所以連接BD，線段BD 即為直徑。

取BD 的中點H，連接OH、CH，則OH=CH，且可得點H的坐標為

化 簡 得a4-14a2+45=0，所 以（a2-5）（a2-9）=9，解得或a=±3，因為0＜a＜3，所以

【點評】本題作為中考壓軸題，體現了這樣的特色：

1.注重基礎知識、基本方法、基本技能的綜合考查。本題考查了二次函數圖像與坐標軸的交點問題，相似三角形、圓與二次函數知識的綜合應用，看似很難，若我們把問題分解開再看，發現其實都是應該掌握的基礎知識、基本方法和基本技能。如解決函數圖像與坐標軸的交點坐標問題必然要考慮設x=0 或y=0 建立方程。相似問題、共圓問題只要我們按部就班，細心運算，都不難解決。該題淡化技巧，更多關注了“通法”的考查。

2.滲透了數形結合、分類討論、函數與方程等重要的數學思想。不論是相似三角形問題還是四點共圓問題，都要求我們對圖形有很好的感知，不僅要眼中有圖，還要心中有圖，更要能恰當構圖。本題中的三個問題最終的本質都是求值問題，所以必須歸結到如何構建方程上，可見如何建立方程、求解方程是多么重要。因此，解好綜合題必須練就扎實的基本功。

3.突出了對思維嚴密性的考查。三個問題都突出了一個不起眼的條件0＜a＜3。這一點要用心體會，稍不留神就容易出錯。所以我們要養成細心這一重要習慣，全力避免會而不對、對而不全的丟分現象。

總之，要解決好壓軸題，必須深入領會基本知識、熟練掌握基本技能、靈活運用基本數學思想，多思考，淡化技巧追求，練就扎實的通法基本功才是我們真正的“解題利器”。