如何突破中考二次函數(shù)綜合題

文 王 艷

函數(shù)是很重要的數(shù)學(xué)知識，它讓我們體會到由算術(shù)到代數(shù)、由常量到變量、由有限到無窮的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)樂趣。函數(shù)與方程思想更是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法之一。二次函數(shù)在中考中的地位更為特殊，通常以壓軸題呈現(xiàn)。那么，我們該如何提高解二次函數(shù)綜合題的能力呢？這里以2018年宿遷市中考題為例，做一些探討。

例題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=（x-a）（x-3）（0＜a＜3）的圖像與x 軸交于點A、B（點A 在點B 的左側(cè)），與y軸交于點D，過其頂點C作直線CP⊥x軸，垂足為點P，連接AD、BC。

（1）求點A、B、D的坐標(biāo)；

（2）若△AOD 與△BPC 相 似，求a的值；

（3）點D、O、C、B 能否在同一個圓上？若能，求出a的值；若不能，請說明理由。

【分析】（1）注意到點A、B、D 均為拋物線與坐標(biāo)軸的交點，求其坐標(biāo)不難，準(zhǔn)確求解的關(guān)鍵點是如何“確定”坐標(biāo)。

（2）考慮∠DOA=∠BPC=90°為相等的定角，故△AOD 與△BPC 相似需分類討論

（3）共圓問題重在確定圓心和半徑（或直徑）。觀察四點D、O、C、B 可發(fā)現(xiàn)∠DOB=90°，故四點若能在同一個圓上，直徑當(dāng)為BD，之后只需考慮點C 也在該圓上即可。

解：（1）（略解）點A、B、D 的坐標(biāo)分別為（a，0）、（3，0）、（0，3a）。

解得a=0或a=±3。

因為0＜a＜3，

所以a=0和a=±3皆舍去。

因為0＜a＜3，所以a=3，a=0舍去。

（3）若四點D、O、C、B 在同一個圓上，因為∠DOB=90°，所以連接BD，線段BD 即為直徑。

取BD 的中點H，連接OH、CH，則OH=CH，且可得點H的坐標(biāo)為

化 簡 得a4-14a2+45=0，所 以（a2-5）（a2-9）=9，解得或a=±3，因為0＜a＜3，所以

【點評】本題作為中考壓軸題，體現(xiàn)了這樣的特色：

1.注重基礎(chǔ)知識、基本方法、基本技能的綜合考查。本題考查了二次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點問題，相似三角形、圓與二次函數(shù)知識的綜合應(yīng)用，看似很難，若我們把問題分解開再看，發(fā)現(xiàn)其實都是應(yīng)該掌握的基礎(chǔ)知識、基本方法和基本技能。如解決函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)問題必然要考慮設(shè)x=0 或y=0 建立方程。相似問題、共圓問題只要我們按部就班，細(xì)心運算，都不難解決。該題淡化技巧，更多關(guān)注了“通法”的考查。

2.滲透了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程等重要的數(shù)學(xué)思想。不論是相似三角形問題還是四點共圓問題，都要求我們對圖形有很好的感知，不僅要眼中有圖，還要心中有圖，更要能恰當(dāng)構(gòu)圖。本題中的三個問題最終的本質(zhì)都是求值問題，所以必須歸結(jié)到如何構(gòu)建方程上，可見如何建立方程、求解方程是多么重要。因此，解好綜合題必須練就扎實的基本功。

3.突出了對思維嚴(yán)密性的考查。三個問題都突出了一個不起眼的條件0＜a＜3。這一點要用心體會，稍不留神就容易出錯。所以我們要養(yǎng)成細(xì)心這一重要習(xí)慣，全力避免會而不對、對而不全的丟分現(xiàn)象。

總之，要解決好壓軸題，必須深入領(lǐng)會基本知識、熟練掌握基本技能、靈活運用基本數(shù)學(xué)思想，多思考，淡化技巧追求，練就扎實的通法基本功才是我們真正的“解題利器”。