巧用數學史厘清數學概念
——以“小數的初步認識”為例

廣州市白云區三元里小學 崔婉婷

一、追根溯源，解答疑惑

三年級學生對小數是初步感知，小數意義學習教材出現在四年級下冊，這里學生只是對小數有個初步認識。教材說，像3.45、0.85、2.60、36.6、1.2 和1.5這樣的數叫作小數。學生對此有疑惑，為什么不可以叫作點數？圓數呢？利用三年級學生喜歡聽故事的特點，筆者從講數學家劉徽的故事引入。劉徽在《九章算式注》提出整數個位以下無法標注出名稱的部分就叫作微數。宋代的數學家秦九韶在《數學九章》還記錄了小數的計算；到了公元13世紀，元代數學家朱世杰提出了小數這個名稱；同年代數學家劉瑾用減低一行的方法表示小數部分。中國最早提出小數表示方法，故事的引入能讓學生感受小數的產生和發展是經過漫長時間的，同時能感受到數學家的艱辛和偉大。

讓學生閱讀課本，操作并思考：1）.擺一擺學具：像古代時候那樣擺小棒表示出小數“3.12”。2.在本子上用圖形畫出“3.12”。3）.小數3.12跟古代用小棒表示相比較，它們之間有什么聯系嗎？4）.用小數點表示“3.12”優勢在哪里？

讓學生在思考中閱讀。第一個要求：讓學生用小棒擺出“3.12”，在擺的過程中，學生會很刻意地把小數部分“0.12”下移，突出體現了整數部分和小數部分的不同。第二個要求：讓學生畫出“3.12”，學習能力中等或以下的學生基本是按照古代表示方法那樣畫出小棒。學習能力強的學生或者預習過課本內容的學生會用正方形和長方形來表示。在學生畫“3.12”的過程中，可以讓學生初步體驗十進制計數法。第三個要求：在找出古代和現在表示小數方法的聯系中激活學生相關經驗和知識基礎，讓學生感悟小數的含義。第四個要求：用小數點來表示“3.12”的優勢，學生都善于發現更簡潔也更能表示出數位之間的關系，體驗到數學的發展，從而明白：小數點是隨著數學的發展而出現的。

二、博古通今，明晰概念

教師結合義務教育教科書三年級下冊第92 頁例1 的教學進行分析，設計“量身高”情境幫助學生學習小數。前面學生對小數已經有了初步感知，那么怎樣把1米3分米改寫為以米為單位的數呢？

學生展示的結果如下：13 米、1.3 米、1.03 米、13米（把3下沉一行，仿照古人寫法）、1，3米、1 3米，還有的學生用圖畫出來等。顯然學生會把米和分米間隔開，1.3米和13米（把3下沉一行，仿照古人寫法）的表示方法能夠明顯體現數位之間的關系。

觀察并思考：1）.同學們表示1米3分米的這些結果，哪些是合理的，為什么？2）.合理表示出1米3分米的結果中，你認為方便書寫和理解的是哪一個？3）.根據米和分米的關系來說一說寫出的小數的含義。

思考的第一個問題，“1.03”的“0”很難找出合理的解釋來說明這種寫法的含義，13米顯然是錯誤的，這兩種都被公認地剔除。在思考第二個問題中，學生認為各自的書寫都很方便，此時恰當地穿插數學史。1530年德國數學家魯道夫（Christoff Rudolff）表示小數是用一豎間隔開，按照他的表示方法來寫例1的小數就是13，跟我們班同學1 3米表示方法只是實線和虛線的區別，趁機表揚學生善于思考。

1585 年荷蘭的斯提文（Simon Steuin）提出了小數記法，用他的表示法來記錄我們學習的例題是：13①，容易理解但是書寫不夠方便。最早使用小數點是克拉維斯（Chris-topher Clavius）1593 年在《星盤》中使用了，1608 年在《代數學》明確地以小數點作為整數部分與小數部分的分界。1614年英國的納皮爾（John Napier）在算籌用逗號隔開：“1，3”，跟我們學生展示結果中不謀而合。到了19 世紀末，有很多種不同的小數記法展示給學生閱讀了解，比如：1 3 、1’3、1 3、1，3、1’3、1‘3 、1 3、1，3、1.3等表示“1.3”這個小數。學生在了解歷史及國內外表示小數寫法中提高對小數本質的認知，感受了小數的演變和發展史。

第三個問題是讓學生進一步認識小數的含義，讓學生回憶“130”、“13”這兩個數中“1”和“3”分別表示的含義，猜想“1.3”小數中“3”所表示的含義。同一個數字“3”，在不同的數位表示的含義是不同的，思考：“3”在個位上是表示3個一，當“3”在個位后面一個位置（數位）又表示什么呢？

為了讓學生理解十進制計數法，教師穿插一個古時候的故事：據說有兩支隊伍打仗，勝利方清點俘虜，用1 個指頭代表1個俘虜，2個指頭代表2個俘虜……十個手指用完了，俘虜還沒有數完，怎么辦呢？于是就想到把數過的十個俘虜放在一邊，用一根繩子捆起來打一個結，這個結表示10個俘虜。然后接著數，一個結一個結地打下去，就可以數有多少個俘虜了。古今中外有二進制、六十進制，沿用至今是十進制，引導學生自行查閱學習。

三、巧用數學史，滲透數學思想

本文在小數概念教學中多處滲透符號思想。教材第99頁“你知道嗎？”出現了古代用小棒表示小數的方法，這就是最早的用符號來記錄小數的語言和要表達的思想。前面例1所述安排學生用合適的方式表示1米3分米，學生結合知識基礎和學習經歷思考后把他所理解的小數含義用各種符號呈現出來。比如：13 米、1.03 米、13米、1.3 米、1 3 米以及從古至今、國內國外表示小數的方法：1 3 、1’3、1.3、1’3、1‘3、13 、1，3、1.3、1.3、1，3 等，雖然符號不同，但都用特定的符號表示了小數的寫法，展示了小數的歷史，建立了學生的符號意識。

通過例1 認識小數體現了轉化思想。在線段圖中表示同一個位置可以用3分米、十分之三米，也可以用0.3米表示，在學習中感受轉化思想有利于學生后期的學習。數學承載著訓練學生思維的任務，我們還要認識到學科知識的學習、能力的培養固然重要，但是在學習知識中積淀數學思想方法更是不可或缺的寶貴財富。

課堂教學融入數學史，幫助學生厘清概念，能使教學形式更豐富。教師可以通過講故事、了解數學史料、經典數學問題解決、小比賽，讓學生置身于歷史情境中，復原古人解決數學問題的數學思想方法，讓學生體驗成功的喜悅，充滿自信。本文以一節概念課教學為例進行探索，旨在使課堂教學中教師備課視野可以更廣、更深入些，讓學生在學習知識中積淀數學思想，以獲得更大的收獲。與此同時，教師在備課中要尋根追源，查閱資料，閱讀文獻，促使學科專業知識水平得到相應的提升。