群體評價中的序關系分析法

宮誠舉，李偉偉，郭亞軍

（1.哈爾濱工程大學 經濟管理學院，黑龍江 哈爾濱 150001；2.東北大學 工商管理學院，遼寧 沈陽 110169）

0 引言

20世紀70年代美國運籌學家Saaty提出了層次分析（AHP）法［1，2］，得到了學者的廣泛關注，但應用層次分析法時構造符合一致性條件的判斷矩陣是一個復雜的問題，并且Saaty給出的判斷矩陣一致性檢驗標準的科學性也受到許多學者的質疑［3］。針對層次分析法存在的問題，郭亞軍教授認為產生上述問題的根源在于能否真實唯一的給出指標之間的序關系，并在此基礎上提出了一種無須一致性檢驗的序關系分析（G1）法［4］。目前序關系分析（G1）法在國內已經得到廣泛的研究和應用，主要體現在：（1）序關系分析法的改進。文獻［5］摒棄序關系分析法中要求評價指標間滿足強一致性的條件，提出了一種評價指標滿足弱一致性條件的改進型序關系分析法；（2）區間數序關系分析法。文獻［6］針對群組評價中各評價者給出的相鄰指標重要性比值均為區間數的情況進行研究，給出一種區間標度群組序關系分析法；（3）不同標度對序關系分析法的影響。文獻［7］對常用的5種標度應用在序關系分析法中的合理性進行了分析，并給出了選擇適合序關系分析法的標度的方法。（4）序關系分析法的應用［8］。目前序關系分析法已經廣泛的應用在機械、電力、石油等行業。

隨著評價問題的復雜性和信息量的不斷增加，越來越多的評價問題需要多個評價者參與，這便構成了群體評價［9～12］，雖然關于序關系分析法的研究很多，但很少有研究針對群體評價中的序關系分析法，文獻［6］的研究雖然是針對區間數情況下群體評價中的序關系分析法，但當區間數退化為具體數值時是否與原序關系分析法計算的權重相同有待進一步的論證。文獻［13］則是通過協商各評價者對評價指標的序關系和相鄰指標重要程度的比值解決群體評價中序關系分析法的應用問題，但是這種方法改變了各評價者最初的想法，甚至會出現向“權威”專家妥協的情況。因此，本文針對群體評價問題的具體情況，提出一種在群體評價中不需要協商的序關系分析法，以解決如何將序關系分析法應用在群體評價中的問題。

1 問題描述與假設條件

1.1 問題描述

對于一個群體評價問題，設評價者的集合為S＝｛s1，s2，…，sn｝，評價指標的集合為X＝｛x1，x2，…，xm｝，被評價對象的集合為O＝｛o1，o2，…，op｝，評價者權重的集合為＝1。xij表示被評價對象oi在評價指標xj下的觀測值，其中，i＝1，2，…，p，j＝1，2，…，m，k＝1，2，…，n，不失一般性，令m，n，p≥3。由于群體評價中各評價者的知識背景、實踐經驗以及看待問題的角度均不相同，因此將序關系分析法應用到群體評價時會出現3種情況：（1）各評價者給出的評價指標間的序關系和相鄰指標之間重要程度的比值均相同；（2）各評價者給出的評價指標間的序關系完全相同，但相鄰指標重要程度的比值不同；（3）各評價者給出的評價指標間的序關系和相鄰指標重要程度的比值均不同。顯然第一種情況在群體評價中很難出現，而另外兩種情況比較容易出現，尤其是第3種情況，因此如何在群體評價中應用序關系分析法是綜合評價研究中值得考慮的問題。

1.2 假設條件

本文的研究基于以下2點前提假設：

（1）各被評價對象在各評價指標下的信息值均為客觀值。

（2）各評價者之間不存在信息交流的情況。

2 序關系分析法簡介［3］

設xij為經過指標類型一致化處理和無量綱化處理后的指標信息。

（1）確定評價指標間的序關系

定義1若評價指標xa相對于某準則的重要程度大于或等于xb時，則記為xa?xb，其中xa，xb∈X。

定義2若評價指標x1，x2，…，xm相對于某準則具有關系式

則稱評價指標x1，x2，…，xm之間按“?”確立了序關系。式中表示｛xj｝按序關系“?”排定順序后的第j個評價指標（j＝1，2，…，m），式（1）的確定方法可參考文獻［3］。為書寫方便且不失一般性，仍記式（1）為

（2）確定相鄰指標間相對重要程度的比值

設評價者關于評價指標xc-1與xc間的重要程度之比ωc-1／ωc的理性判斷為

rc的取值可參考表1選取。

表1 rc取值參考表

定理1若x1，x2，…，xm具有式（2）的序關系，則rc-1與rc之間滿足

（3）計算各評價指標的權重系數

定理2若評價者給出rc的理性賦值滿足定理1，則

3 評價者權重的確定

群體評價中由于各評價者的知識背景、實踐經驗以及看待問題的角度均不相同，因此各評價者對于同一評價問題的貢獻度也不盡相同，各評價者的權重大小也應不盡相同，本文從各評價者對同一評價問題的掌握程度計算各評價者權重。

（1）從指標排序的角度衡量各評價者權重

（2）從指標權重的角度衡量各評價者權重

（3）綜合計算各評價者的權重

μk越大，說明評價者sk對評價問題的綜合掌握程度越大，反之，μk越小，說明評價者sk對評價問題的綜合掌握程度越小。

4 針對群體評價的序關系分析法

設計針對群體評價的序關系分析法的關鍵之處在于如何根據群體評價信息確定出一個唯一的指標序關系及相鄰指標的重要程度比值，下面給出群體評價中應用序關系分析法的步驟。

（1）確定各評價者給出的指標重要程度之比的判斷矩陣

式中，Ak為由評價者sk給出的評價指標間的序關系和相鄰指標相對重要程度的比值確定的判斷矩陣表示評價者sk給出的評價指標xl與評價指標xj間重要程度的比值，且

定理3［13］矩陣Ak是完全一致的判斷矩陣。

證明1設j＞d＞l，顯然由式（10）有

所以矩陣Ak為完全一致的判斷矩陣。

（2）將Ak集結成群判斷矩陣A

定理4群判斷矩陣A為完全一致的判斷矩陣。

證明2設j＞s＞l，顯然有alj＞0，由式（11）有

所以群判斷矩陣A為完全一致性判斷矩陣。

（3）計算各評價指標的權重

a）按照層次分析法求解權重的方法求解

由于群判斷矩陣A為完全一致性矩陣，因此可按層次分析法直接求解指標權重，即

b）按序關系分析法求解指標權重

根據完全一致性群判斷矩陣確定集結各評價者信息后的指標序關系，記做

并根據一致性矩陣A中的元素alj確定相鄰指標間相對重要程度的比值由式（2）、式（3）可得

定理5無論用層次分析法還是序關系分析法，計算得到的評價指標的權重系數是完全相同的，即方法a）和方法b）計算的結果相同。

證明3設評價指標的序關系為x1?x2?…?xm，根據序關系分析法可得

又因為群判斷矩陣A為完全一致性判斷矩陣，所以有alkakj＝alj，將其帶入式（20）可得ωj＝aj，mωm。若根據序關系分析法計算得到的權重與層次分析法計算得到的權重相同，則按照序關系分析法計算得到的權向量為群判斷矩陣A的特征向量，則有Aω＝λω，即

根據式（23）可知應用序關系分析法計算出的權向量是群判斷矩陣A的特征向量，此時的特征值為m，又因為完全一致的判斷矩陣最大特征根等于矩陣的階數，所以λ＝λmax（A）＝m，因此可知根據序關系分析法計算出的權向量是群判斷矩陣A的最大特征值對應的特征向量，所以定理5成立。

結論由定理5的證明過程可知，定理5不受確定rc時所選擇的標度類型［7］的影響。

可以證明，當評價者的數量n＝1或各評價者給出的評價指標序關系和相鄰指標的重要性程度的比值均相同時，本文提出的方法退化為普通的序關系分析法，證明過程從略。

4 應用算例

對于一個群體評價問題，設有4個評價者分別為s1，s2，s3，s4，4個評價指標分別為x1，x2，x3，x4，各評價者給出的指標序關系及相鄰兩個指標的重要程度的比值如表2所示。

表2 各評價者的評價信息

（1）由各評價者給出的指標序關系可得到各評價者對于各評價指標的排序值，根據式（7）計算可得ek＝｛0.966，0.909，0.738，0.909｝。由各評價者給出的相鄰指標的排序值及序關系分析法，通過式（5）、式（6）計算各評價者的評價信息按序關系分析法計算得到的指標權重，并根據式（8）計算可得hk＝｛0.905，0.835，0.906，0.951｝。

（2）根據式（9）計算各評價者的權重系數，最終的計算結果為μk＝｛0.276，0.240，0.211，0.273｝。根據各評價者提供的評價信息及式（10）計算各評價者的判斷矩陣，并按照式（11）對各評價者的判斷矩陣進行集結，得到的群判斷矩陣A如下，可以驗證群判斷矩陣A是完全一致的，與文中定理4的結論相同。

（3）根據群判斷矩陣A到最終的指標排序結果為x2?x4?x1?x3，且＝1.08，可以看出，最終得到的排序結果和相鄰指標重要程度的比值是結合所有評價者提供的評價信息的結果，且相鄰指標重要程度的比值更加精確，有利于提高評價結果的準確性。

（4）根據式（17）和式（18）計算各評價指標的權重系數為｛0.195，0.373，0.180，0.252｝，通過計算，利用層次分析法得到的權重系數與本文計算的結果完全相同，說明在判斷矩陣為完全一致性矩陣時，應用層次分析法和序關系分析法求解權重的結果是相同的，與文中定理5的結論相同。

5 結束語

本文針對在群體評價中應用序關系分析法時，各評價者給出的評價指標序關系及相鄰指標的重要程度比值通常不相同的問題，提出了一種群體評價中的序關系分析法，該方法具有如下特征：

（1）與直接集結各評價者的指標權重相比，該方法考慮的信息更全面，在確定評價者權重以及確定群判斷矩陣的過程中，綜合考慮了各評價者的評價信息，最終計算的指標權重是各評價者提供的指標序關系、指標排序值和相鄰指標重要程度比值等共同作用的結果；

（2）方法中的判斷矩陣無需一致性檢驗，方法中各評價者的判斷矩陣以及群判斷矩陣均是完全一致性矩陣，尤其對評價指標數較多的評價問題，大大降低了其計算量；

（3）方法同樣適用于單個評價者的評價問題，當評價者的數量為1時，方法與普通的序關系分析法得到的指標權重完全相同；

（4）從文中也可以看出序關系分析法是解決層次分析（AHP）法存在的問題的一種良好的主觀賦權法。