具有隨機保費和交易費用的最優投資-再保險策略

楊鵬，杜挺

(1.西京學院理學院，陜西 西安710123; 2.西安交通大學數學與統計學院，陜西 西安710049)

1.引言

最優投資-再保險策略選擇問題，是金融數學的一個研究熱點.該問題的研究框架是，保險公司通過再保險減少風險，通過投資增加財富，在最大化或最小化一些目標函數下，求得最優投資和再保險策略.文[1]應用隨機控制理論研究了擴散風險模型的最優投資問題，獲得了最優投資策略和值函數的顯式解.文[2]研究了和文[1]類似的問題，區別在于考慮投資時假設含有多個風險資產并且考慮了再保險，文[2]也獲得了最優投資和再保險策略以及值函數的顯式解.最近，有很多學者研究了最優投資-再保險問題.文[3]研究了CEV模型下的最優投資-再保險問題;文[4]研究了保險市場和金融市場具有相依情形下的投資-再保險問題; 文[5]研究了最優投資超額損失投資-再保險問題; 文[6]研究了投資者只能獲得部分信息下的最優投資-再保險問題.

在上述文獻中，保險公司的保費收入都是常數，然而實際中保險公司的保費收入不一定是常數.比如在汽車保險中，保險公司制定下一年的保費通常依據上一年的理賠情況; 養老保險保費的繳費每年也都是動態變化的.因此，考慮隨機保費才更符合實際.文[7]研究了隨機保費風險模型，最近研究隨機保費風險模型的文獻越來越多.文[8]研究了隨機保費風險模型的折現懲罰函數; 文[9]研究了收入和損失具有相依性下，隨機保費風險模型的折現懲罰函數; 文[10]研究了隨機保費風險模型的最優分紅策略; 文[11]研究了隨機保費風險模型的破產概率.

據我們所知，目前還沒有學者研究隨機保費風險模型的最優投資-再保險策略選擇問題，因此本文對該問題進行了研究.考慮再保險時，大部分學者都是按期望值原理計算再保險保費.但是，期望值原理計算再保險保費，只考慮到了理賠的期望沒考慮理賠的方差.基于對期望值原理的改進，本文按照方差原理計算再保險保費.保險公司在投資時，買賣股票是需要傭金、印花稅、過戶費的，即買賣股票是有交易費用的，尤其是頻繁交易時，交易費用是很大的.因此在風險資產上投資時，應考慮交易費用，考慮交易費用才更符合實際情況.然而，在最優投資-再保險問題中，考慮交易費用的文獻還非常少.具我們所知，只有文[12]對擴散風險模型，考慮了含交易費用的最優投資-再保險問題.本文對文[12]的模型進行推廣，研究了隨機保費收入下，跳-擴散風險模型帶交易費用的最優投資-再保險問題.

2.模型和Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程

在現實中受一些不確定因素和保險公司推出的一些激勵措施的影響，保險公司的保費收入一般具有隨機性，因此考慮隨機保費收入更符合實際.文[7]在Cram′er-Lundberg保險模型中引入了隨機保費，本文把文[7]的模型推廣到跳-擴散風險模型，即考慮如下帶隨機保費的跳-擴散風險模型

其中{N1(t)，t ≥0}是參數為λ1＞0的泊松過程，表示到時刻t為止收到的保費次數; {Sk，k =1，2，···}是一列獨立同分布的(嚴格)取正值的隨機變量，Sk表示第k次保費收入額，其通常的隨機變量記為S，共同分布為G(s)，密度函數為是到時刻t為止收到的總的保費; {Yi，i=1，2，···}是一列獨立同分布的(嚴格)取正值的隨機變量，其通常的隨機變量記為Y，共同分布為F(y)，密度函數為f(y)，F(0) = 0，Yi表示第i次賠付的大小; {N(t)，t ≥0}是參數為λ ＞0的泊松過程，表示到時刻t為止總的索賠發生次數; {，t ≥0}是標準布朗運動，表示不確定的收益或損失，β ≥0是常數.此外，假設{Yi，i = 1，2，···}，{N(t)，t ≥0}，{N1(t)，t ≥0}，{Sk，k =1，2，···}和{，t ≥0}是相互獨立的.{Xt，t ≥0}為保險公司在t時刻的盈余.

再保險是保險公司分散風險的主要方式，因此我們下面考慮再保險.本文考慮的再保險方式是比例再保險，保險公司再保險的比例為(1-a(t))，a(t)為保險公司的自留比例，0 ≤a(t)≤1.也就是說在每次發生理賠時，保險公司支付100a(t)%，同時再保險公司支付剩余的100(1-a(t))%.再保險公司為保險公司分擔一部分理賠，保險公司則需要向再保險公司支付一定的保費，再保險保費按照方差原理計算，即(1-a(t))λμ1+α(1-a(t))2λμ2，其中α ＞0為一常數，μ1=E(Y)，μ2=E(Y2).考慮比例再保險后，保險公司在t時刻的盈余變為

在金融市場上投資是保險公司增加財富的主要方式.本文考慮的金融市場由n+1個金融資產組成，其中一個是無風險資產(如: 債券)，時刻t的價格為{B(t)，t ≥0}滿足方程dB(t) =r0B(t)dt，這里r0＞0為無風險利率.n個風險資產(如:股票)，在時刻t時的價格為{Si(t)，t ≥0}，i=1，2，··· ，n，它們滿足下面的隨機微分方程

其中ri≥ r0，σij＞ 0為常數，是n維布朗運動，假設j =0，1，2，··· ，n相互獨立.{Ft，t ≥0} 是，j =0，1，2，··· ，n生成的自然流.

為了使投資問題求解方便，很多文獻在考慮投資時都沒有考慮交易費用.然而在現實中，投資經常存在交易費用.因此，本文買賣風險資產時考慮交易費用，設θb(t) =[θb1(t)，θb2(t)，··· ，θbn(t)]′和θs(t) = [θs1(t)，θs2(t)，··· ，θsn(t)]′分別為買和賣風險資產的交易費用，即買一個單位的風險資產i將花費(1+θbi(t))Si(t)的費用，賣一個單位的風險資產i將得到(1 - θsi(t))Si(t)的收益.設πb(t)，πs(t)分別為買和賣風險資產的資金，這里πb(t) =所以在風險資產上的投資額為πb(t)-πs(t).因為不能同時買賣風險資產，所以有=0.本文我們禁止賣空(no-shorting)，即要求≥0，i = 1，2，··· ，n.若某個＜0)，則表示投資者以利率r0從銀行貸款，來對沖的部分.

我們選取再保險時保險公司的自留比例a(t)和保險公司在風險資產上的投資額πb(t)，πs(t)作為控制變量.為了書寫簡潔，記πb:=πb(t)，πs:=πs(t)，a:=a(t)，以及π :=(a，πb，πs).一旦π被選定了，則保險公司的財富過程變為

其中I是n維單位列向量，r =(r1，r2，··· ，rn)′，D =(σij)n×n，A′為A的轉置.

定義2.1一個策略π稱為可行的，如果π關于流{Ft，t ≥0}是可料的，且對于t ≥0，過程π滿足下面三個條件: 1) 幾乎處處有幾乎處處有∞; (3) 0 ≤a(t)≤1.所有可行的策略記為Π.

假設保險公司的目的是，尋找最優再保險和投資策略使投資終止時刻T時財富的期望效用最大.設效用函數為這里δ ＞0，γ ＞0.顯然有u′＞0，u′′＜0.記Vπ(t，x)為時刻t，盈余為x，策略為π時，終止財富的期望效用，即目標是尋找最優的值函數

和最優的策略π*使得

類似于文[13]，可得下面的HJB方程和檢驗定理.定理的證明參考文[13]，本文不再證明.

定理2.1假設由(4)定義的值函數V(t，x)關于t是連續可微，關于x是二次連續可微的函數，則V(t，x)滿足下面的HJB方程

邊界條件

這里Vt，Vx，Vxx分別為V(t，x)關于t的一階導數，關于x的一階導數和關于x的二階導數，且B1= (r1- r0- θb1，r2- r0- θb2，··· ，rn- r0- θbn)′，B2= (r1+ r0- θs1，r2+ r0-θs2，··· ，rn+r0-θsn)′.

定理2.2(檢驗定理) 設W(t，x) ∈C2是一凹函數，為HJB方程(6)的解，滿足邊界條件(7)，則W(t，x)恰好等于最優值函數V(t，x).進一步，若π*使得

則π*是最優的策略，也就是W(t，x)=V(t，x)=Vπ*(t，x).

3.最優投資和再保險策略

為了得到最優的投資和再保險策略，首先給出下面的定理3.1.

定理3.1下面關于a的方程

證設

則

因此，l(a)是關于a單調遞減的凹函數.又因為

下面給出本文的主要結果.

目前我國反腐敗法律制度黨內立法多、國家立法少，黨內制度又往往不能及時轉化為國家法律法規，因而其強制性和約束力偏弱。理順二者的關系:一是要處理好憲法與的黨內反腐法規關系;二是要處理好國家反腐立法與黨內反腐立法的互動關系;三是要處理好黨內反腐法規與國家法律有關反腐規定的互補關系;四是要嚴格區分黨內反腐立法和國家反腐立法的權限;五是要構建黨內立法與國家立法的銜接機制;六是要適時把成熟的黨內法規上升為國家法律;七是要加強黨內執法和國家執法過程中的聯系與溝通;八是要建立黨內違章審查制度。

定理3.2對于財富過程(3)，最優比例再保險策略a*為下述方程的根

最優投資策略為

最優的值函數為

證設W(t，x) ∈C2是一凹函數，為HJB方程(6)的解，滿足邊界條件(7).由文[12]中的引理1-4，我們有

與文[12]類似的，最優投資策略滿足下式

把(14)式代入(6)式，得到

和文[1]類似的，假設W(t，x)滿足如下形式

這里h(·)是一個確定的函數，它使得(16)式是(15)式的一個解，且h(0)=0.從(16)式，我們可以得到

把(16)式和(17)式代入(15)式，有

設

(19)式兩端從t到T求積分可得h(T -t)滿足(13)式.h(T -t)代入(16)式，由定理2.2，得值函數V(t，x) = W(t，x)，且滿足(12)式.W(t，x)代入(14)式，得到最優投資策略滿足(11)式.證畢.

4.數值計算及經濟分析

本節通過數值計算，解釋模型參數對最優策略的影響，并進一步給出結果的經濟意義.

設保費收入和理賠額的分布都服從參數為1的指數分布，即G(s) = 1 - e-s，s ＞0，F(y)=1-e-y，y ＞0.根據方程(9)，我們得到最優比例再保險策略a*滿足下面的方程

例1設r0= 0.05，T = 5，t = 1，γ = 0.5，則由(20)式可得α對最優再保險策略a*(t)的影響，結果見圖1.從圖1中可以看出，a*(t)關于α是單調遞增的.α越大，說明再保險的保費越高;因此，隨著α增加，保險公司將減少再保險的比例，即保險公司自留比例增大.

圖1 α對a*(t)的影響

圖2 γ對a*(t)的影響

例2設r0= 0.05，T = 5，t = 1，α = 0.5，則由(20)式可得γ對最優再保險策略a*(t)的影響，結果見圖2.從圖2可以看出，a*(t) 關于γ是單調遞減的.γ 是絕對風險厭惡參數，γ越大，保險公司所承受的風險越大.因此，當γ增大時，保險公司更希望通過再保險轉移理賠風險，即保險公司自留比例減少.

圖3 α和γ對a*(t)的聯合影響

圖4 r0對a*(t)的影響

例3設r0= 0.05，T = 5，t = 1，圖3進一步解釋了α和γ對最優再保險策略的聯合影響.從圖3可以看到，相對α來說，γ 對最優再保險策略的影響更大.這說明，當再保險公司增加保費時，如果保險公司面臨的不確定因素增大，保險公司更愿意尋求再保險公司抵御理賠風險.

例4設T = 5，t = 1，α = 0.5，γ = 0.2，則由(20)式可得r0對最優再保險策略a*(t)的影響，結果見圖4.從圖4可以看出，a*(t)是r0的減函數.r0是無風險利率，r0越大，保險公司從無風險資產的期望收益越大.收益增大了保險更不愿意承擔風險，因此更希望尋求再保險公司來抵御理賠風險.