一種基于區間模糊優勢距離的多屬性決策方法

劉悅,姜春茂,郭豆豆

(哈爾濱師范大學 計算機科學與信息工程學院,黑龍江 哈爾濱 150025)

0 引言

多屬性決策是現代決策科學中不可或缺的一部分,其本質是在多個指標下,根據一定的評價準則對候選方案擇優并排序。多屬性決策方法被廣泛應用在各個領域,如社會、經濟、管理、工程和軍事行業等。正是由于待處理事物的模糊性、不確定性和復雜性與人類思維的模糊化和不確定化的統一,多屬性決策問題才受到諸多專家學者的廣泛關注[1-4]。由于決策者具有偏好特性,在實際應用中對象的評價值之間往往存在著大小、強弱等關系,用優勢關系來處理區間值信息系統,更能準確地反映數據的特性[5]。目前已有學者用優勢關系對區間信息系統的排序問題進行了研究。林耀進等人[6]利用變精度優勢度對區間值系統的對象排序。Song等人[7]提出了一種區間數兩級排序方法。孫夢等人[8]對三種優勢關系下的區間數排序,并對其賦權處理,使得排序結果更合理。樊相宇等人[9]將決策方案在屬性下建立優勢關系,避免了歸一化方法對決策結果的影響。楊青山等人[10]對區間值系統下四種優勢關系擴充,提出了一種新的α優勢關系。翁世洲等[11]首先提出了概率優勢關系的粗糙集模型,避免了屬性權重的確定。

本文在上述研究基礎上,針對區間值信息系統中優勢類的定義以及對象優勢程度的度量展開研究,給出了一種新的區間數優勢關系,并提出了用區間模糊優勢概率來度量對象間的相對程度,以距離矩陣[12]作為媒介,通過相對優勢幅度得到決策對象的全序化結果。

1 預備知識

1.1 區間數和聯系數

定義1[13-14]假設R為實數集,對于?al,au∈R,若滿足a=[al,au]={x|al≤x≤au,al,au∈R},則稱a為區間數。特別地,若al=au,則a成為一個點實數。

定義2[15-16]假設a,b∈[0,1],a+b=1,i∈[-1,1],則稱μ=a+bi為二元同異型聯系數,其中,a、b分別稱為聯系數的同一度和差異度。當a與b確定后,i是一個不確定的數,因此二元同異型聯系數是確定性和不確定性的結合。

1.2 區間數優勢關系

在實際決策問題分析中,由于區間值信息系統中的對象評價值是以區間數形式給出,所以存在一定的偏好關系[20-21],導致對象間也存在優勢或劣勢關系。下面給出幾種區間數偏好關系的定義。

定義5[22]令S=(U,A,V,f)為區間值信息系統,屬性子集B?A,則對象之間的優勢關系定義如下:

al(xj),au(xi)≥au(xj)}。

上述定義中的優勢關系只是依據比較上下界的大小來判斷對象間的優劣,并沒有考慮區間取值范圍以及數值相同部分對比較結果的影響,導致比較結果有誤差。為了克服這一問題,魏利華等[23]提出一種新的優勢關系,體現區間數之間某種優勢的程度,使比較結果更合理。文獻[24]進一步改進區間數優勢比較方法,認為對象xi優于xj的程度與對象xj優于xi的程度之和為1,如定義6所示。

該方法主要把區間數分為兩個部分:相交部分和非相交部分。認為在相交部分時,xi優于xj的可能度是0.5,在非相交部分xi完全優于或完全劣于xj。

上述定義5和定義6中提出的方法計算了在區間值信息系統下任意兩對象xi與xj的相對優勢程度,然而并沒有涉及相交部分和非相交部分在兩個區間數比較時所起的作用,包括:1) 相交區域雖然是相同的公共部分,但是在各自區間范圍內所占比例是不同的;2) 非相交區域作為完全不同的區域,在兩個區間數比較時更應該重點突出。在對同一類事物比較時,往往采取把相同部分去掉的策略,關注在不同部分尋找差異。所以在區間數比較時,既要考慮數值上相同部分,也要度量區間數自身的差異程度。

如在比較區間數a=[20,30],b=[25,40]時,區間數a表示的范圍是20～30這11個單位(以整數為單位),b表示的范圍是25～40這16個單位,并且在區間25～30內,a,b兩個區間數是相同的,相同數值的取值范圍為6個單位。決策問題最終要反映對象評價值的比較,所以在求解區間數多屬性決策問題時也需要借助區間數的比較?？紤]區間數也是描述不確定性事物的方法,在已有文獻基礎上,將集對分析中的聯系數理論應用到區間數比較中。

2 區間數多屬性決策排序方法

本節提出了一種區間數多屬性決策方法,通過比較區間數來定義對象的優勢類,給出一種用模糊優勢概率關系描述一個對象優于另一個對象的程度的方法。

2.1 基于聯系數的區間數比較

集對分析[25]能在區間數多屬性決策中得到廣泛應用的一個重要原因是，其中的聯系數同時具有確定性與不確定性的雙重特性,這與區間數既有上下界的確定性以及在其范圍內可以任意取值的不確定性同構。本節先給出相交區間數和非相交區間數概念,然后將其分別用聯系數表示,建立決策模型判斷聯系數優劣,從而比較出區間數的大小。

聯系數取值的不確定性[26]集中體現在聯系數中不確定系數i可以在給定的[-1,1]間取值,這使得任一個區間數都可轉化為一個聯系數,從而使在聯系數基礎上建立決策模型成為可能。

根據定義9可以得到任意兩個區間數比較時的決策模型:

如果ri>rj,則yi>yj,反之亦然。

區間數是決策者處理決策問題時給出的一個比較模糊、不確定的大概信息,本文通過將區間數轉化為對應的聯系數,建立相應的決策模型,通過聯系數的模判斷區間數大小(優劣)。

2.2 模糊優勢概率關系

為了更好地表征對象間關系以及避免相異規范化方法對決策結果產生影響,在本節提出一種用模糊優勢概率關系描述區間值決策表中對象間的相對程度的方法,并有如下定義。

定義10 區間值信息系統S=(U,K,V,f)中,用區間模糊優勢概率表示在同一屬性下對象之間的程度,形成的矩陣稱作模糊優勢概率矩陣,記為Xkp。

即在屬性值為區間數的決策信息表:

1) 若～[f(kp,xi)]≥∪[f(kp,xj)]≥=U,則xi優于xj的程度為

(1)

2) 若～[f(kp,xi)]≥∪[f(kp,xj)]≥≠U,則xi優于xj的程度為

(2)

其中,[f(kp,xi)]≥為xi在屬性kp下的優勢類,[f(kp,xj)]≤為xj在屬性kp下的劣勢類。|·|表示基數,即對象的個數。

定義11 區間值信息系統S=(U,K,V,f)中,xi和xj為同一屬性下的任意兩對象,在任意屬性kp下記:

f(kp,xj)(kp∈K)},

f(kp,xj)(kp∈K)}。

2.3 模糊優勢距離矩陣和排序方案

根據屬性權重,把在所有屬性下的區間模糊優勢概率矩陣集結,得到的新矩陣稱為權相對概率矩陣,記作D(B)。根據定義10可以得到在任一屬性下的模糊優勢概率矩陣,即:

得到n個不同屬性下的模糊優勢概率矩陣后,開始對各屬性下的優勢概率集結,集結整合后得到一個權相對概率矩陣D(B),記為:

其中wp1,wp2,…wpn分別表示屬性k1,k2,…kn在所有屬性中所占的權重。為了方便直觀,可將權相對概率矩陣D(B)表示為:

通過以上一系列的變換,將在不同屬性下對象間的優勢程度清晰地展現出來。bij表示任意兩個對象間的優勢程度,相應地,可以獲得信息系統中對象間基于距離的模糊優勢概率矩陣。

在此,0≤dij=1-bij≤1是將兩對象xi和xj間的優勢程度轉換成基于距離的相對概率關系。易知,bij越大,dij越小。用距離來表示對象間的優勢程度,更直觀容易理解。在用模糊優勢距離矩陣描述完對象間的關系后,用相對優勢幅度對決策對象排序。

(3)

其中diq和djq分別表示對象xi與所有對象之間的相對距離和對象xj與所有對象之間相對距離。即通過sij可以判斷出對象間的優勢關系sij。特別地,sij=0.5表示對象相對于其本身的優勢幅度。

定理1在區間值信息系統中,sij為給定的對象間的相對優勢幅度,?sij>0.5,都有對象xj優于xi;?sij<0.5,都有對象xi優于xj。

證明

根據上述分析,基于區間模糊優勢距離的多屬性決策步驟如下:

Step 1:確定在任一屬性下,對象的優勢類。通過定義7、定義8判斷對象評價值間的關系,用定義8轉化成聯系數,根據定義9比較大小;

Step 3:根據屬性權重將所有屬性的模糊優勢概率矩陣集結,得到權相對概率矩陣D(B);

Step 5:在得到模糊優勢距離矩陣后,根據定義13計算任意兩對象間的相對優勢幅度sij,將對象排序。

通過上述分析可知,本文在n個屬性下,將m個對象兩兩之間相互計算,再求解在屬性kp下決策對象xi優于xj的程度,所以文中算法的時間和空間復雜度均為O(m2·n)。

3 實例分析

為了說明上述方法的決策過程,現以某工程建設項目方案的評估為例。已知該項目有四個候選方案,用U=(x1,x2,x3,x4)表示,并且主要從報價金額k1(成本型),前期業務成交單數k2(效益型),工期時長k3(成本型),企業信譽度k4(效益型)等四個方面考慮這些候選方案,用K={k1,k2,k3,k4}表示。假設屬性權重相等。由以上描述形成的決策信息見表1所示。

表1 工程候選方案信息

根據本文提出的區間模糊優勢距離的方法,將4個候選方案的全序化排列過程如下:

Step 1:確定在所有屬性下對象的優勢類。

如在k1屬性下,確定x1的優勢類時,需要將a1k1與aik1(i=2,3,4)逐次比較。方法如下:

x1相對于x2:根據定義7,[100,150]與[120,160]為相交區間數,由定義8將其用聯系數表示為:

根據定義9有

因為ra1k1

Step 2:得到在k1屬性下

x1的優勢類為x1;x2的優勢類為x1,x2;

x3的優勢類為x1,x2,x3;x4的優勢類為x1,x2,x3,x4。

Step 3:根據屬性權重將模糊優勢概率矩陣集結,得到權相對概率矩陣D(B);

Step 5:在得到模糊優勢距離矩陣后,根據定義13計算任意兩對象間的相對優勢幅度sij,x1相對于x2的相對優勢幅度為:

同理,s13=0.383 4,s14=0.465 5,s23=0.332,s24=0.414 1,s34=0.582 1。

綜上所述,得到各決策對象的全序化結果為:

x2?x1?x4?x3。

現將此方法與文獻[28]中的方法對本文所用算例的計算結果進行對比分析,其主要計算過程如下:

Step 1:對區間評價矩陣R4×4進行無量綱處理,規范化信息表如2所示。

表2 規范化信息

Step 2:確定屬性綜合權重。

0.077 27-0.126 9]=-0.054 67。

同理可得p13=0.124 8,p14=-0.008 7,p23=0.103 13,p24=-0.010 9,p34=0.010 6。

根據每個評價屬性間的相對優勢度值,獲得概率優勢關系矩陣P4×4為:

P4×4=p(ae≥af)=

得到屬性的綜合權重值ωaj(j=1,2,3,4):ωa1=0.343 5,ωa2=0.191 1,ωa3=0.297 1,ωa4=0.168 2。

r1(ω)=[0.335 9,0.872 8],

r2(ω)=[0.412 0,0.817 1],

r3(ω)=[0.179 2,0.709 6],

r4(ω)=[0.226 0,0.781 3],

p(x1?x4)}=0.509 66,

p(x2?x4)}=0.511 37,

p(x3?x4)}=0.489 44,

p(x4?x3)}=0.489 46,

由此得到四個方案的全序化結果為x2?x1?x4≥x3。

從宏觀上看,兩種方法在決策本文所用算例時結果一致,進一步說明了本文方法的有效性。同時用文獻[28]中的方法計算本文所用的算例時,對象x3和x4的排序結果接近一致,然而在每個屬性下的這兩個對象評價值卻是完全相異的,說明這種排序方法得到的決策結果有些與實際不符,沒有很好的區分度。為了說明所提方法在屬性權重不等情況下仍然適用,現用本文方法計算文獻[28]中的算例,其主要過程如下:

Step1:計算在所有屬性下對象的優勢類。由定義7確定是否為相交區間數,用定義8、定義9進行比較。如a1下,x1的優勢類為x1,x2,x3,x4,同理可得到其他對象在所有屬性下的優勢類。

Step 3:根據屬性權重將模糊優勢概率矩陣集結,得到權相對概率矩陣D(B);

Step 5:在得到模糊優勢距離矩陣后,根據定義13計算任意兩對象間的相對優勢幅度sij,x1相對于x2的相對優勢幅度為:

同理,s13=0.798 2,s14=0.878 6,s23=0.414 9,s24=0.495 3,s34=0.580 4。

綜上所述,得到各決策對象的全序化結果為:x2?x4?x3?x1。所得結果與文獻[28]中排序結果一致,并且說明若屬性權重不等時,該方法仍然有效。

本文所用的區間模糊優勢距離的方法,避免了由于選取不同的規范化方法對決策結果造成的影響,通過比較區間數屬性值的優劣關系得到對象間的相對程度,更直觀清晰,同時在比較區間數時,進一步分析區間數間的關系,用聯系數表示區間數使決策更準確,最后將這種相對優勢關系轉換為基于距離的矩陣,比較對象的優勢幅度,較好地解決了區間值信息系統下的多屬性決策問題。

4 結論

在現實中,區間數多屬性決策廣泛存在于人們日常決策中,一種合適有效的決策辦法有助于提升人們在實際中工作和生活的效率。本文關注于區間值信息系統下的多屬性決策問題研究,根據區間數的比較對優勢類進行定義以及優勢程度求解方法對決策結果的影響,給出一種基于區間模糊優勢距離的多屬性決策方法。以工程候選方案為例,將本文所用方法與其他方法對比,驗證了本文所提出的決策方案分辨度更高,決策結果更可靠等優點。

多屬性決策問題應用廣泛,描述事物不確定的方法很多,并且具有極強的現實意義。下一步將對象評價值從區間數推廣到區間直覺模糊數作為重點研究方向,探究在不同背景下的多屬性決策方法。