和函數(shù)圖像的盒維數(shù)的一個注記

杜玉坤

（廣東茂名幼兒師范專科學(xué)校 理學(xué)院，廣東 茂名 525200）

維數(shù)是分形幾何的中心概念，其中盒維數(shù)是應(yīng)用最廣泛的維數(shù)之一.文獻(xiàn)［1-2］給出了盒維數(shù)的定義.部分分形是以函數(shù)圖像的形式出現(xiàn)的［3-11］，當(dāng)把眾多現(xiàn)象繪制為時間的函數(shù)時，就會顯示分形的特征，例如風(fēng)速、股票數(shù)據(jù)等.本文先討論函數(shù)圖像盒維數(shù)的性質(zhì)，再具體研究函數(shù)和圖像的盒維數(shù)，在理論和應(yīng)用上對研究函數(shù)圖像的分形性質(zhì)都具有重要意義.關(guān)于函數(shù)圖像的盒維數(shù)的具體詳細(xì)細(xì)節(jié)可以參考文獻(xiàn)［12］.

1 預(yù)備知識

定義1設(shè)f∶I→R是連續(xù)函數(shù).設(shè)δ＞0，x∈I，記Of，δ（x）為函數(shù)f在點x的δ-振幅，即：

定義2設(shè)［a1，b1］∈I，函數(shù)f在［a1，b1］上的δ-變差Vf，δ［a1，b1］定義為f的δ-振幅在［a1，b1］上的積分：

在不產(chǎn)生混淆時，可以簡單地記為Vf，δ.

命題1設(shè)f，g∶I→R是連續(xù)函數(shù)，則Vf，δ-Vg，δ≤Vf+g，δ≤Vf，δ+Vg，δ.

引理1設(shè)f∶I→R是連續(xù)函數(shù)，有dimBГ（f，I）=dimBГ（f，I）=inf.稱dimBГ（f，I）為函數(shù)f圖像的上盒維數(shù)，dimBГ（f，I）為函數(shù)f圖像的下盒維數(shù).若：dimBГ（f，I）=dimBГ（f，I），則稱這共同的值為函數(shù)f圖像的盒維數(shù)，記為dimBГ（f，I）.

命題2設(shè)f，g→I上的連續(xù)函數(shù)，如果Vf，δ＞|a|Vg，δ，則dimBГ（f，I）＞dimBГ（g，I）.

證dimBГ（f，I）==dimBГ（g，I）.

命題3f是I上的連續(xù)函數(shù)，若dimBГ（f，I）存在，則：dimBГ（af，I）=dimBГ（f，I）（a≠0）.

證dimBГ（af，I）=sup

同理可證：dimBГ（af，I）=dimBГ（f，I）.

由于dimBГ（f，I）存在，故dimBГ（af，I）=dimBГ（f，I）.

引理2如果dimBГ（f，I）＞dimBГ（g，I），則dimBГ（f+g，I）=dimBГ（f，I）.

引理3設(shè)f在I上滿足一致與反一致s階赫爾德條件，則dimBГ（f，I）=2-s.

因此有如下幾個問題：（1）dimBГ（f，I）＞dimBГ（g，I）時，對于dimBГ（f+g，I）我們能得到什么呢？（2）dimBГ（af+bg，I）=max{dimBГ（f，I），dimBГ（g，I）}，（a，b≠0）是可能的嗎？（3）若f，g在I上滿足一致與反一致s階赫爾德條件，那么對dimBГ（f+g，I），我們能得到什么結(jié)果？

2 定理及證明

定理1設(shè)f，g是I上的連續(xù)函數(shù)，若dimBГ（f，I）＞dimBГ（g，I），有：

證由假設(shè)可知，對于所有充分小的δ＞0，有Vf，δ＞Vg，δ，即max{Vf，δ，Vg，δ}=Vf，δ.由命題1和引理1得：

則由式（1）、（2）可以得到：

由式（1）可以得到：

由命題3知：

進(jìn)而得到：

由式（3）、（4）可以得到：

進(jìn)而由式（2）、（5）可以得到：

定理得證.

定理2［12］若f，g是I上的連續(xù)函數(shù)，且dimBГ（f，I）≠dimBГ（g，I），dimBГ（f+g，I）=max{dimBГ（f，I），dimBГ（g，I）}.

證不失一般性，設(shè)dimBГ（f，I）＞dimBГ（g，I），有dimBГ（f，I）＞dimBГ（g，I）.由定理1得dimBГ（f+g，I）=dimBГ（f，I）；由引理2得dimBГ（f+g，I）=dimBГ（f，I）.故：

推論2.1設(shè)f，g是I上的連續(xù)函數(shù)，若dimBГ（f，I）≠dimBГ（g，I），且a，b≠0有：

證當(dāng)a，b≠0，由定理2得：

由命題3得：

進(jìn)而推論得證.

下面討論f，g在I上滿足一致與反一致s階赫爾德條件時，兩個函數(shù)和圖像的盒維數(shù).

定理3設(shè)f，g在I上滿足一致與反一致s階赫爾德條件，則：

證由引理3知，dimBГ（f，I）=dimBГ（g，I）=2-s. 由于f，g在I上滿足一致與反一致s階赫爾德條件，則存在正常數(shù)c1，c2，d1，d2，使得對任意δ＞0，x∈I，有c2δs≤Of，δ（x）≤c1δs，d2δs≤Og，δ（x）≤d1δs.

對不等式兩邊積分，得：

由命題1知：

由引理1知：

故dimBГ（f+g，I）=dimBГ（f，I）=dimBГ（g，I）=2-s.

3 結(jié)語

本文首先證明了兩個函數(shù)圖像的盒維數(shù)都存在且不相等時，那么這兩個函數(shù)和圖像的盒維數(shù)是存在的，且等于這兩個函數(shù)圖像盒維數(shù)的最大值；其次證明兩個連續(xù)函數(shù)滿足一致與反一致s階赫爾德條件時，兩個連續(xù)函數(shù)和圖像的盒維數(shù)等于其中任何一個連續(xù)函數(shù)圖像的盒維數(shù).