基于殘差統計的三類北斗衛星隨機模型估計與特性分析

王忠智, 苗維凱，沈云中

(同濟大學 測繪與地理信息學院，上海 200092)

GNSS觀測值的隨機模型應該充分反映其物理相關性，包含不同衛星之間的空間相關性、不同類型觀測值之間的交叉相關性和觀測歷元之間的時間相關性。 考慮物理相關性的隨機模型對GNSS高精度定位至關重要[1]。早期GNSS隨機模型主要采用高度角相關模型[2]，根據衛星高度角對衛星觀測值進行加權；后來考慮了時間相關性和交叉相關性兩因素的影響[3-4]，此時隨機模型對基線解算結果影響不大，但是隨機模型能夠較為精準定位；同時研究基于信噪比的隨機模型[5]，利用C/N0(1赫茲帶寬內載波信號與噪聲功率之比)估計相位觀測值的方差。自相關、交叉相關函數和湍流理論[6]等方法用于分析物理相關性，方差分量估計(VCE)法也廣泛用于估計多種類型GNSS觀測值的隨機模型[7]。

傳統隨機模型對所有衛星的同一類型觀測值按相同精度模型進行高度角相關定權。然而，北斗系統包含靜止軌道(GEO)、傾斜軌道(IGSO)和中軌道(MEO)三類衛星，忽略觀測值間的相關性對北斗系統影響比GPS系統更為顯著，因此需要更準確估計和分析北斗觀測值的隨機模型?；贕eometry-based函數模型，本文直接利用觀測值殘差估值使用自相關函數和交叉相關函數計算北斗三類衛星不同類型觀測值的物理相關性。在此基礎上，進一步分析了北斗衛星觀測值高度角相關的精度、交叉相關性、空間相關性和時間相關性的特性。

1 基于幾何的單差函數模型

為了獲得北斗觀測誤差進行隨機模型估計，必須要消除觀測值中的系統誤差?？紤]到在短基線或零基線情況下，接收機間單差可消除觀測值的系統誤差，且該單差觀測值不存在數學相關性，與雙差觀測值相比更利于估計單顆衛星的方差[8]。因此，以接收機間單差觀測值為基礎進行隨機模型估計。

假設參考站和移動站同時跟蹤s顆衛星，則短基線單歷元單差觀測方程在頻率j的形式為[8]：

(1)

單差整周模糊度aj和接收機鐘差δtj相關，因為系數λj，Is和es滿足：

(2)

所以需要重新參數化：

(3)

(4)

重新參數化的觀測方程為：

(5)

隨后，將利用長時間觀測值計算得到的基線向量和模糊度作為已知值，代入觀測方程(5)，得到基線向量和模糊度已知的單差觀測方程：

(6)

2 考慮物理相關性的隨機模型

估計出各類觀測的殘差，直接利用殘差估值，按下列方法分別計算各類觀測值的方差因子，空間相關性，交叉相關性和時間相關性。

2.1 各類觀測值的方差因子

根據自相關函數，對于K個歷元的觀測值，第s顆衛星觀測值方差分量為：

(7)

為了驗證自相關函數和交叉相關函數估計各類觀測值的方差因子，空間相關性，交叉相關性和時間相關性的可行性，本文采用MINQUE方法，對各類型觀測值的方差進行準確估計，并與直接利用殘差估值使用自相關函數計算得到的方差進行比較。

MINQUE方差分量估計方法解算策略為K個歷元滑動解算s顆衛星兩個頻率偽距和相位觀測值的方差因子。K個歷元的方差矩陣為[10]：

(8)

式中：k表示未知的方差分量σi的個數(k=4×s)，Ui為與σi對應的系數矩陣(待估參數位置元素為1，其余位置元素為0)。則σi用下式計算：

(9)

其中

S=tr(CUiCUj)，

C=Q-1-Q-1B(BTQ-1B)-1BTQ-1，

W=[VTCU1CV,VTCU2CV,…,VTCUkCV]T.

將兩種方法計算得到的每顆衛星每個歷元各類觀測值的方差取平均值作為觀測值最終的方差，并對每類觀測值的標準差進行比較，如表1所示。用B1C和B1L表示B1頻率的偽距和相位觀測值，B2C和B2L表示B2頻率的偽距和相位觀測值。

表1 自相關函數和MINQUE兩種方法估計的各類觀測值精度比較 m

通過對比兩種方法計算得到的各類觀測值的精度可以看出：直接利用殘差估值，使用自相關函數估計得到的觀測值精度與MINQUE方法估計得到的觀測值精度具有較好的一致性，證明此種簡單的估計方法是可行的?？紤]到在估計空間、交叉及時間相關系數時待估參數數量大，MINQUE方差分量估計方法計算效率將會大大降低，因此，在接下來對空間、交叉和時間相關系數進行估計時均采用交叉相關函數。

2.2 同類觀測值不同衛星間的空間相關性

在單差模式下，空間相關性定義為不同衛星的同一類型觀測值在同一歷元的相關性。根據交叉相關函數，對于K個歷元的觀測值，觀測值殘差和的空間相關系數定義為：

(10)

(11)

2.3 同一衛星不同類型觀測值的交叉相關性

交叉相關性被定義為同一衛星的不同類型觀測值在同一歷元的相關性。根據相關系數的定義，對于K個歷元觀測值，交叉相關系數為：

(12)

式中：p，q表示觀測值類型，且ρpq=ρqp，第i個歷元所有觀測值的方差陣Qi為：

(13)

式中：Cpq和Cqp表示對角的交叉相關系數矩陣，

Cqp=diag(ρqp(1),…，ρqp(s))，Cpq和Cqp的形式相同。

2.4 同一衛星同類型觀測值的時間相關性

時間相關性被定義為同一衛星的同一類型觀測值在歷元之間的相關性。根據自相關函數的定義，歷元間隔為τ的時間相關系數定義為：

τ=|i-j|,(i,j=1,…,K).

(14)

其中

因此，K個歷元觀測值的隨機模型可以表示為下面的形式：

(15)

3 實驗結果和分析

3.1 數據描述

本文采用三種類型的雙頻北斗接收機收集4組北斗數據，采樣率為30 s，一組零基線，其余為短基線，具體信息見表2。在數據處理中，截止高度角設置為15°，直接利用觀測值殘差估值使用自相關和交叉相關函數估計物理相關的隨機模型。

3.2 北斗隨機模型的分析

在傳統隨機模型中，碼和相位觀測值的精度通常設置為0.2 m和2 mm，且忽略觀測值之間的物理相關性。而對于北斗系統，導航星座由GEO、IGSO和MEO衛星構成，其隨機模型分別進行估計和分析。

表2 北斗觀測數據信息

3.2.1 觀測值精度分析

以數據4為例對三類衛星的觀測值精度進行分析。定時間窗口K=6，直接利用殘差估值計算每顆衛星每個頻率的載波相位和碼觀測值的方差，按照高度角對觀測值標準差進行排序，結果如圖1所示，其中不同顏色表示不同衛星的標準差。由圖1可見，觀測值精度與高度角相關，因此采用式(16)對三類衛星精度進行擬合[11]：

σ=a1+a2e-θ/θ0.

(16)

式中：σ表示在衛星高度角為θ時的觀測值標準差，a1和a2表示未知參數，θ0表示未知的參考高度角。

擬合曲線在圖1中標出，其中藍色和紅色曲線分別表示B2和B1頻率的方差擬合結果；顯然，B1頻率偽距觀測值的精度高于B2頻率，而兩個頻率相位觀測值的精度相當。在同一高度角下，GEO衛星兩個頻率的偽距和相位觀測值精度都低于IGSO和MEO衛星，說明對所有衛星的同一類型觀測值采用同一精度指標是不合理的。因此，在實際應用中對GEO衛星的觀測值應適當降權。

圖1 數據4的三種衛星高度角相關的精度

表3給出了三類衛星相位和偽距的擬合參數，其中表示擬合誤差的標準偏差，偽距觀測值的單位為米，相位觀測值的單位為毫米?？煽闯鯣EO衛星的偽距和相位擬合誤差均大于IGSO和MEO衛星，IGSO衛星的擬合誤差最小。

表3 數據4相位和碼觀測值的高度角相關擬合模型

3.2.2 交叉相關性分析

利用四組數據分析衛星觀測值間的交叉相關性。對于給定的時間窗口，每顆衛星的雙頻觀測數據共估計6個交叉相關系數，數據1全部衛星觀測值的交叉相關系數如圖2所示，其中藍色表示5顆GEO衛星的交叉系數，綠色表示5顆IGSO衛星的交叉系數，紅色表示4顆MEO衛星的交叉系數。

圖2 數據1的交叉相關系數

由于偽距觀測值的噪聲較大，偽距解算結果的噪聲比相位更大。在圖2中，三類衛星的偽距和相位之間(B1C-B1L、B1C-B2L、B2C-B1L、B2C-B2L)的交叉相關系數總體上接近0。對于同一類型觀測值兩個頻率之間表現出較強的相關性，GEO衛星B1C和B2C之間的平均交叉相關系數高達0.32，這說明對于Trimble NETR9接收機存在交叉相關性，在實際處理中交叉相關性不可忽略。

表4給出不同類型接收機的平均交叉相關系數，其中BC-BL表示B1C-B1L、B1C-B2L、B2C-B1L、B2C-B2L的平均值。不同接收機的觀測值相關程度不同，主要由接收機內部因素影響。數據1和2對應同一種接收機，B1C和B2C、B1L和B2L顯著相關，但相位和偽距之間的交叉相關性很小。對于數據3，B1C和B2C之間存在弱負相關，偽距和相位在不同頻率之間基本是獨立的。對于數據4，兩個頻率的偽距和相位觀測值基本不存在交叉相關。

表4 四組數據的平均交叉相關系數

3.2.3 空間相關性分析

利用數據2對三類衛星間的空間相關性進行分析。在給定的時間窗口K=6下，計算任意兩顆衛星間四種類型觀測值的空間相關系數，假設某一歷元下觀測n顆衛星，總共有4n×(n-1)/2個空間相關系數，數據2的空間相關系數如圖3所示。

圖3 數據2的空間相關系數

圖3中，G表示GEO衛星，S表示IGSO衛星，M表示MEO衛星?？傮w上兩個頻率偽距觀測值的空間相關系數大于相位觀測值的空間相關系數。表5給出四組數據不同衛星之間空間相關系數的平均值。從表中可知，對于四組數據，GEO-GEO、GEO-IGSO和GEO-MEO的空間相關系數比其他類型衛星之間的空間相關系數略大。并且GEO-GEO、GEO-IGSO和GEO-MEO的空間相關性呈由大到小的趨勢，推測主要原因是GEO衛星相對地面幾乎靜止，IGSO相對地面運行的速度也較MEO衛星小。

表5 四組數據的平均空間相關系數

3.2.4 時間相關性分析

利用數據1和2分析三類衛星觀測值的時間相關性。采用式(14)計算每顆衛星每類觀測值的時間相關系數，對同一類衛星的同一種觀測值取平均作為圖4和5中的結果。

圖4 數據1的時間相關系數

圖5 數據2的時間相關系數

圖4顯示零基線時間相關性非常小，幾乎接近零。主要原因是測站之間相關性太強，差分基本消除了全部誤差，觀測噪聲只剩下時間不相關的白噪聲。

隨著基線的增長，差分觀測值會受外部環境的影響，觀測值噪聲增大，且觀測噪聲中包含的有色噪聲項使得觀測值時間相關。圖5給出的短基線結果驗證了觀測值具有時間相關性。

圖5中，對全星座衛星，時間相關性在30 s的時間延遲內急劇下降，隨著時間延遲的增大而逐漸減小。時間相關性在不同頻率和不同類型觀測值之間也不同。對于GEO衛星，隨著時間延遲的增大，相位觀測值的時間相關系數穩定在0.1左右；偽距觀測值的時間相關系數下降較為緩慢，GEO衛星地球靜止的特性是造成該結果的主要原因。對于MEO和IGSO衛星，同類型不同頻率觀測值的時間延遲相當，且隨著時間延遲的增大，時間相關系數逐漸接近零。表6給出了四組數據的平均時間相關系數。

表6 四組數據的平均時間相關系數

4 結 論

本文主要研究北斗觀測值物理相關的隨機模型，基于幾何觀測模型，通過與MINQUE方差分量估計方法的隨機模型進行比較，驗證直接利用觀測值殘差估值估計隨機模型的有效性，分析了北斗衛星四種類型觀測值高度角相關的精度、交叉相關性、空間相關性和時間相關性。實驗結果表明：北斗對地靜止軌道(GEO)衛星的觀測誤差、空間相關性、時間相關性均大于傾斜同步軌道(IGSO)衛星和中軌道(MEO)衛星。因此，在實際應用中應適當降低GEO衛星觀測值的權重；北斗衛星的同類型觀測值之間均具有較強的交叉相關性，不同類型觀測值間的交叉相關性較弱；且隨機模型的估計結果受接收機的內部誤差和測站的外部誤差影響。