高超聲速飛行器的模糊分數階PID控制*

張迎雪 管 萍 戈新生

北京信息科技大學 自動化學院，北京 100192

0 引 言

高超聲速飛行器在國防事務和民用方面具有較高的戰略價值[1]。2010年美國“獵鷹”計劃下的HTV-2飛行器因未能有效應對氣動參數的劇烈攝動，導致飛行失敗[2]。因此構建一個能有效處理氣動參數變化導致的不確定性的高精度姿態控制系統是目前亟待解決的問題之一。然而，面對復雜的飛行環境，傳統PID控制具有一定的局限性。近年來，采用非線性和智能化的方法改進傳統PID算法，獲得了更高的精度和更強的魯棒性[3]。文獻[4]中俯仰通道控制器的設計融合了模糊與模型參考自適應方法，通過實時調節PID參數使系統具有自適應能力。文獻[5]設計了PID控制和自抗擾控制互為補充的無擾切換控制，解決了兩種模式之間的過渡問題。然而，上述文獻僅考慮了單一俯仰通道的設計。文獻[6]設計的模糊控制器帶有修正因子，在姿態控制仿真實驗中，取得了較好的控制效果。然而并未考慮氣動參數大范圍變化給系統帶來的影響。將分數階微積分與PID控制相結合構成分數階PID控制，不僅調節范圍更廣，而且能夠為系統提供更加靈活、準確的控制[7]。

本文為實現高超聲速飛行器在氣動參數劇烈變化時快速精準跟蹤姿態角期望值，構建了模糊分數階PID控制器。分數階PID的計算由于增加了2個可調參數，調節范圍得到進一步擴展，計算中有對過去項的累加，使系統具有記憶特性，能提升控制精度及穩定性。為更好處理氣動特性快速變化帶來的不確定性，加入模糊的方法對控制器參數進行在線調節，以提高系統的動態性能和自適應性。由仿真結果可以看出，所提出的控制策略能夠更好地實現飛行器姿態角的精準跟蹤，并驗證了對氣動參數攝動的魯棒性。

1 高超聲速飛行器模型

根據高超聲速飛行器的飛行特點，得到飛行器姿態控制的仿射非線性數學模型[8]，如式(1)～(2)：

(1)

(2)

式中參數具體釋義詳見文獻[9]。在運動過程中，因氣動參數變化導致模型中含有不確定項。令fΩ=fΩ0+DΩ，fΩ0是fΩ的標稱值，DΩ是因fΩ中CL,α,CY,β變化產生的不確定部分。令Mδ=Mc+ΔMδ，Mc=[lcmcnc]T是由氣動舵面偏轉δ=[δeδaδr]T產生的控制力矩，ΔMδ是Mδ中因氣動參數變化產生的不確定項。令fω=fω0+Δfω，fω0是fω的標稱值，Δfω是fω中因laero,maero和naero中氣動參數變化產生的不確定部分。令Dω=gωΔMδ+Δfω。通過引入氣動參數變化導致的不確定項，可將式(1)和(2)轉換為：

(3)

(4)

本文的控制目標是，設計合適的控制力矩Mc，讓高超聲速飛行器可以快速精確跟蹤姿態角期望值，并且能對氣動參數出現的大幅變化進行有效抑制，具備強魯棒特性。

2 基于模糊分數階PID控制器設計

2.1 分數階的計算

(5)

由上述分析可得在此定義下μ的分數階積分：

(6)

在上式中有對u(t-ih)項的累加，過去時刻的函數值對此時分數階微積分均有一定程度的影響。利用信息記憶能力，系統可以取得更優的控制性能。

2.2 分數階次λ，μ的選取對控制系統性能的影響

分數階PID控制器的一般形式為：

U=kp·e(t)+ki·D-λe(t)+kd·Dμe(t)

(7)

kp,ki和kd為控制器中比例、積分、微分項系數，μ和λ表示微分、積分階次。Dμ和D-λ分別表示對系統誤差e(t)的μ階導數和λ階積分。U為控制器的輸出。

在傳統PID控制中，積分項可以起到減小穩態誤差的作用，實現對期望值的精確跟蹤?？刂破髦幸敕謹惦A次λ后，當λ較小時，控制系統可以取得較快的響應速度，上升時間和調節時間縮減，超調小，然而可能存在一定的靜態誤差。隨著λ的增大，積分作用逐漸增強，伴隨超調量、上升時間和調節時間的增加，系統的穩定性明顯變弱。當λ過大時，系統會出現嚴重的振蕩[11]。

傳統PID控制中，選取合適的微分項可以減少系統的超調量和動態誤差，增強穩定性。引入分數階次μ后，隨著μ的減小，控制系統的穩態誤差逐漸減少，動態響應精度明顯提高，會增大超調和響應時間。若μ過小，控制系統將很難穩定。當分數階次μ逐漸增大，系統的超調量和調節時間會相應減少[11]。λ和μ的引入，增加了系統結構的靈活性，控制精度得到改善，魯棒性更強。

2.3 模糊分數階PID控制器設計

高超聲速飛行器需要克服氣動參數攝動帶來的不確定影響。加入模糊的方法對控制器參數進行在線調節，可有效處理系統的不確定部分，增強魯棒性。為此本文針對高超聲速飛行器的姿態控制系統構建了模糊分數階PID控制器。

基于奇異攝動理論將整個控制系統分為快速、慢速閉環回路，并分別設計模糊分數階PID控制器。快回路是控制角速度的內環，慢回路是控制姿態角的外環，飛行器控制系統結構圖如圖1所示。

圖1 高超聲速飛行器控制系統結構圖

將姿態角期望值Ωref與實際值Ω之間的誤差eΩ(t)作為姿態角分數階PID控制器的輸入，將eΩ(t)和ecΩ(t)作為外環模糊控制器的輸入，由外環模糊控制器推算得到姿態角分數階PID控制參數的修正量ΔkpΩ,ΔkiΩ,ΔkdΩ,ΔλΩ,ΔμΩ。用修正后得到的分數階PID參數計算出角速度期望值ωref。將ωref與實際角速度ω之間的差值eω(t)作為角速度分數階PID控制器的輸入。利用eω(t)及ecω(t)作為內環模糊控制器輸入，在線修正kpω,kiω,kdω,λω和μω5個參數，并用修正后的參數計算控制力矩Mc，用于飛行器姿態控制系統。

2.3.1 外環回路控制器的設計

系統姿態角的期望值Ωref=[αrefβrefμref]T與姿態角實際值Ω=[αβμ]T之間的誤差為：

eΩ(t)=Ωref-Ω

(8)

將eΩ(t)作為姿態角分數階PID控制器的輸入，通過式(15)計算得到角速度參考值ωref：

ωref=kpΩ·eΩ(t)+kiΩ·D-λΩeΩ(t)+
kdΩ·DμΩeΩ(t)

(9)

kiΩ，kpΩ和kdΩ代表姿態角控制器中的PID參數，μΩ和λΩ分別是微分和積分階數，ωref=[prefqrefrref]T。

為了增強系統的魯棒性，引入模糊控制對kpΩ,kiΩ,kdΩ,λΩ和μΩ進行實時調節。限于篇幅，在此僅詳細介紹外環模糊控制器中俯仰通道的設計，滾轉及偏航通道的設計與此相類似。外環模糊控制器在俯仰通道上的輸入為eΩ1(t),ecΩ1(t)，輸出為ΔkpΩ1(t),ΔkiΩ1(t),ΔkdΩ1(t),ΔλΩ1(t)和ΔμΩ1(t)。

根據攻角誤差eΩ1(t)及其變化率ecΩ1(t)確定實際變化范圍[-eΩ1max,eΩ1max]，[-ecΩ1max,ecΩ1max]，將其均變換到離散論域[-0.6,0.6]上[8]。

選取外環模糊控制器輸出變量ΔλΩ1(t),ΔμΩ1(t)的離散論域為[-0.6,0.6]，分別乘以比例因子KΔλΩ1和KΔμΩ1后，得到ΔλΩ1(t),ΔμΩ1(t)的實際值[-ΔλΩ1max,ΔλΩ1max],[-ΔμΩ1max,ΔμΩ1max]。

對eΩ1(t),ecΩ1(t)和ΔλΩ1(t),ΔμΩ1(t)選取模糊集合均為NB，NS，NM，ZO，PS，PM，PB；其隸屬度函數均選為高斯型函數。參照上述λ和μ的調節方法，設計了分數階ΔλΩ1，ΔμΩ1的模糊控制規則表，如表1～2所示。

表1 ΔλΩ1的模糊規則表

表2 ΔμΩ1的模糊規則表

外環模糊控制器采用Mamdani型，根據表1～2進行模糊推理，并采用重心法進行反模糊化。圖2～3分別為ΔλΩ1和ΔμΩ1的模糊推理規則表面圖。

圖2 ΔλΩ1的模糊推理規則表面圖

圖3 ΔμΩ1的模糊推理規則表面圖

由外環模糊控制器得到精確修正量，對λΩ1,μΩ1實時調整如下：

(10)

對于外環模糊控制器其它輸出變量ΔkpΩ1(t),ΔkiΩ1(t)和ΔkdΩ1(t)，選取離散論域為[-6,6]的范圍。將其乘以比例因子KΔ kpΩ1,KΔ kiΩ1,KΔ kdΩ1，得到輸出變量的實際值。

外環模糊控制器的輸出ΔkpΩ1(t),ΔkiΩ1(t),ΔkdΩ1(t)與ΔλΩ1,ΔμΩ1的模糊集合選取一致，其隸屬度函數均為高斯型。ΔkpΩ1,ΔkiΩ1,ΔkdΩ1的模糊規則表可參考文獻[11]。模糊PID控制器使用Mamdani型推理，用重心法解模糊。經外環模糊控制器調節后的PID系數更新如下：

(11)

通過式(10)和式(11)對5個系數進行在線調整，利用更新后的kpΩ1,kiΩ1,kdΩ1,λΩ1和μΩ1作用于控制器(式(9))，得到角速度的期望值ωref。

2.3.2 內環回路控制器的設計

姿態角分數階PID控制器的輸出=ωref與實際角速度ω之間的誤差為eω(t)：

eω(t)=ωref-ω

(12)

將eω(t)作為角速度分數階PID控制器的輸入，通過式(13)計算得到控制力矩Mc：

Mc=kpω·eω(t) +kiω·D-λωeω(t) +kdω·
Dμωeω(t)

(13)

kpω,kiω和kdω為PID系數,λω,μω為分數項階次。

將姿態角誤差eω(t)及其導數ecω(t)共同作用于內環模糊控制器。限于篇幅僅介紹內環模糊控制器中俯仰通道的設計，偏航與滾轉通道的設計與此相似。俯仰通道中5個模糊控制器的輸入均為eω1(t),ecω1(t)，輸出分別為Δkpω1(t),Δkiω1(t),Δkdω1(t),Δλω1(t)和Δμω1(t)。

與外環模糊控制器設計相似，將內環模糊控制器輸入變量eω1(t),ecω1(t)的實際變化范圍變換到離散論域[-0.3,0.3]上。分別選取輸出變量Δλω1(t),Δμω1(t)和Δkpω1(t),Δkiω1(t),Δkdω1(t)的離散論域為[-0.3,0.3]和[-3,3]的范圍。

eω1(t),ecω1(t),Δλω1(t),Δμω1(t)Δkpω1(t),Δkiω1(t),Δkdω1(t)選取模糊集合PB,NB,PM,NM,PS,NS,ZO，隸屬度函數為高斯型。Δλω1,Δμω1,Δkpω1,Δkiω1,Δkdω15個參數的模糊規則表與外環模糊控制器相似，限于篇幅不再列出。內環模糊控制器仍采用Mamdani型，依照規則表進行模糊推理，用重心法去模糊化最終輸出精確值的修正量。根據內環模糊控制器求出的精確修正值對5個參數進行如下實時調節。

(14)

用在線修正后得到的參數值計算姿態角速度分數階PID控制(式(13))。通過在線調節控制器參數以解決氣動參數擾動帶來的不確定問題。

3 仿真研究

對高超聲速飛行器采用模糊分數階PID控制并進行仿真驗證。仿真驗證中高超聲速飛行器采用式(1)～(2)所示的非線性模型形式，其中參數M=82310kg,Ma=8.8,b=223.79m,c=12.07m。高超聲速飛行器的慣性矩陣為[8]：

初始姿態角和初始角速率分別為Ω0=[2° 1° 3°]T,ω0=[0 0 0]T，姿態角的期望值為Ωref=[5° 0° 6°]T。

經反復調試，內環控制器參數較優的初值可取kpω= [50 12 80]T,kiω= [0.1 0.01 0.1]T,kdω= [0.1 0.1 0.1]T,λω=0.6,μω=0.6。外環可將kpΩ= [20 60 40]T，kiΩ= [0.8 0.1 0.1]T,kdΩ= [0.1 0.1 0.1]T,λΩ=0.6,μΩ=0.6作為控制器參數的初值。

對高超聲速飛行器分別采用所提的模糊分數階PID控制與傳統PID控制進行仿真。標稱氣動參數下，可得到如圖4～6的響應曲線。

標稱氣動參數下姿態角動態響應的性能指標如表3。由仿真結果可以看出，在傳統PID控制中姿態角到達穩態的響應時間較長，且具有較大的超調；而在所提的模糊分數階PID控制下，3個姿態角到達穩態的時間更短。本文所提的控制策略通過對歷史項的累加，使控制系統具有記憶特性，加快了系統的響應速度。對比姿態角速度和控制力矩響應曲線，模糊分數階PID控制策略不僅超調量小，而且能夠迅速實現精準跟蹤。

為了驗證所提控制策略對氣動參數變化的魯棒性，對飛行器氣動參數攝動做了仿真研究，圖7～8是不同情況姿態角響應曲線。

姿態角的調節時間如表3所示。與傳統PID控制相比，模糊分數階PID控制器增加了2個可調參數，擴大了調節范圍。引入模糊方法能夠實現控制器參數的在線調節。故當氣動參數劇烈變化時，傳統PID控制下姿態角響應出現了較大的波動，超調大且響應時間長，而本文采用的控制策略姿態角響應快，超調量小，自適應性強。仿真結果顯示模糊分數階PID控制對氣動參數變化的抑制能力更強，體現了更好的魯棒性。

圖4 標稱情況下姿態角α,β.μ 對比曲線

圖5 標稱情況下姿態角速度q,r,p對比曲線

圖6 標稱情況下控制力矩mc,nc,lc 對比曲線

圖7 氣動參數增加50%時α,β,μ跟蹤對比曲線

圖8 氣動參數減少50%時α,β,μ跟蹤對比曲線

表3 不同控制策略性能指標對比

4 結 論

考慮高超聲速飛行器氣動參數攝動，提出模糊分數階PID控制策略。控制器中因加入分數階運算，系統具有更廣闊的調節空間，且分數階的計算具有信息記憶特性等優勢，從而加快了系統響應，增強了穩定性。采用模糊的方法對系統參數在線調整，增強了系統對氣動參數變化的魯棒性。兼具分數階PID和模糊控制兩者優勢的模糊分數階PID控制策略，不僅能夠實現飛行器姿態角快速精準跟蹤，還有效抑制了氣動參數的劇烈變化。仿真結果顯示本控制策略有更好的動態性能、魯棒性強，且算法簡單，易于工程實現，具有廣闊的應用前景。