基于SLA高階累積量的遠近場混合源定位算法

溫斐旻,楊瑞峰,郭晨霞,葛雙超

(中北大學 電子測試技術國家重點實驗室， 太原 030051)

源定位技術一直是陣列信號處理的重要應用[1-3]。該研究課題廣泛應用于FF源，麥克風接受到的是平面波,只需要估計DOA參數[4-6]。然而，對于NF源，平面波假設不再有效，因此需要同時提供DOA和距離參數[7-8]。針對這種問題，許多學者提出了種種算法來對FF源和NF源定位。上述所有算法都集中在純FF或NF源場景中，但在許多實際應用中FF和NF源是共存的[9]，例如使用麥克風陣列的揚聲器定位和地震勘探。在FF或NF混合源場景中，大多數純FF或NF源的算法可能無法區分和定位混合源。

為了實現FF和NF混合源定位，近幾年國內外很多學者都鉆研于此，并研究出了大量解決此類問題方法。Liang等[10]利用四階累積量和譜搜索，首次提出了一種有效的二階MUSIC(Multiple Signal Classification多信號分類)定位算法(TSMUSIC)，但其計算復雜度較高，孔徑損失相對嚴重。為了減小計算量，文獻[11]提出了一種只使用二階統計量的斜投影MUSIC算法(OPMUSIC)，但該算法的參數估計存在嚴重的孔徑損失和一維譜搜索的問題，會產生額外的估計誤差。Xie等人在文獻[12]提出了一種基于時域四階統計量的MUSIC MVDR算法，并且不需要知道信號源數目。Liu和Sun在文獻[13-14]提出了協方差差分算法(TSMDA)來減小陣列孔徑，為信號類型的分類提供了一種更合理的方法。我們了解到隨著陣列的孔徑增大，DOA參數的估計精度也越高[16]。為避免DOA模糊，現有方法的陣元間距都在四分之一波長之內[17]。最近，Wang等[15]提出了一種稀疏線陣來擴展陣列孔徑，提高了估計精度。

本文提出了一種新的混合源定位算法。由于巧妙地使用了高階累積量，ESPRIT算法和奇異值分解方法，該算法不僅對DOA和距離參數由有較好的估計性能，而且計算量也比現有算法低。

1 建立信號模型

考慮K個波長為λ的窄帶獨立混合源撞擊到N= 2L+1個傳感器稀疏線性陣列(SLA)上，該陣列由a、b、c三個麥克風子陣組成，每個子陣都有均勻排布的2M+1個陣元，N，L和M均為正整數。

在圖1中，陣元間距為d，將d作為長度單位，子陣列的間距為dx=d·Δ，其中dx>>d，Δ為正整數。傳感器位置向量P具有以下形式。

圖1 稀疏線陣示意圖

(1)

假設陣列中心為相位參考點。則陣列的輸出可表示為

(2)

其中:xm(t)為第k個源信號；nm(t)為附加傳感器噪聲；τtm為第k個信號源傳播到倆個麥克風時間的相對延遲。當第k個信號源是NF源時，即信號源位于菲涅爾區域，到中心麥克風的距離符合 0.62(D3/λ)1/2>rm>2D2/λ這一條件，陣列孔徑D=(N-1)d,

(3)

其中γk和φk分別為

(4)

(5)

其中，λ是信號波長，θk∈[-π/2,π/2]和rk分別為第k個混合源的DOA和到麥克風陣列中心的距離。目的是得到第k個混合源的一個參數對(θk,rk)，然后辨別混合源中的FF源和NF源。

反之，如果第k個混合源是FF源，則τtm的形式為

(6)

將FF源和NF源的轉向矢量統一為 (θk,rk)，因為FF源的轉向矢量可以看成類似近場信號的形式，即(θk,+∞)。根據式(2)，由于FN源遠大于菲涅爾區域的上界，而NF源處于菲涅爾區域[18]。因此，我們可以根據距離估計值的大小將混合源中FF源和NF源區別開來。

在混合場中，式(2)可以寫為矩陣形式

x(t)=AFsF(t)+ANsN(t)+n(t)=AS+N

(7)

x(t)和n(t)是(2L+1)×1維復向量，

(8)

(9)

(10)

(11)

2 混合源定位算法

2.1 混合源DOA估計

首先估計FF和NF混合源的波達方向，定義一個四階累積量

(12)

高階累積量可以有效地抵抗高斯白噪聲和有色噪聲，當統計階數不小于3時，高斯噪聲的累積量應為零[19]，所以有

(13)

(14)

(15)

為了進一步減少運算量，并削弱噪聲的影響，對四階累積量矩陣C進行奇異值分解，寫成厄米矩陣的形式

(16)

CV=U∑VTV?CV=U∑?Cvi=uiai?

ai=Cvi/ui,i=1,…,K

(17)

圖2 用于DOA估計的2個重疊子陣示意圖

Cθ=C1ΙC2

(18)

將Cθ進行特征值分解有

Cθ=TΦT-1

(19)

其中Φ為對角矩陣，其特征值為φi=e-2jγi，i=1,K,N。N階矩陣A是其對應的特征向量組成，而且跨越了N×N的信號子空間。因而可以得到混合源信號的DOAs

(20)

2.2 近場源距離估計

為了獲得更加精確的距離估計，根據不同入射角決定了陣列傳感器之間的相位差的原理，區分遠近場信號。當信號實際距離參數r遠大于d時，SLA所接收到混合源信號的Δθ很小，則相鄰傳感器的相位差可表示為

Δφ=(4πd/λ)sinθk

(21)

定義一個垂直方向型函數

(22)

δt為振幅加權系數，當θ=θk時，函數值最大，此時取得的角度為混合源的波達方向。將式(22)表達為歸一化函數

(23)

水平方向型函數表示為

(24)

將上式簡化為

|W(θ,φ)|=|W2(θ,φ)|·|W1(θ)|

(25)

我們可以理解為倆個一維線陣方向函數的組合。通過多次改變陣列的相位，并結合式(5)，就可得到近場源的距離參數

(26)

2.3 算法步驟總結

本文所提算法可總結為五步：

1) 構造并計算麥克風陣列接收混合源信號的累積量矩陣C，即式(12)；

2) 分析只含DOA的累積量矩陣C，并對C進行奇異值分解；

3) 通過構造的倆個重疊子陣重新表達累積量矩陣C為Cθ；

4) 利用酉ESPRIT算法實現DOA參數估計；

5) 利用相位差將信號強度通過曲線關系轉化為距離參數，判斷混合源類型；

3 討論

3.1 陣列孔徑

本文算法可以構造(2L+1)×(2L+1)維矩陣，然后將該矩陣分解為倆個2(2M+1)×2(2M+1)維矩陣，分別對應第一子陣和第二子陣。因此，該算法可以利用陣元為2L+1的SLA同時估計4M+1個信號源的DOA。OP MUSIC[11]算法可以定位2L個信源，而MUSIC MVDR[12]算法只能利用2L+1 個麥克風來定位L個信源。因此在陣列孔徑上，該算法與OP MUSIC[11]算法接近，比OP MUSIC[11]有更好的性能。由此可以看出，相比MUSIC MVDR[12]算法，本文所提出的方法更好地防止了陣列孔徑的損失。

3.2 計算復雜性分析

定義了混合源DOA的范圍θ∈[-π/2,π/2]和NF源參數r處于菲涅爾區域.將本文所提算法與MUSIC MVDR[12]算法的復雜度進行對比。本文的計算負荷主要包括構造一個(2L+1)×(2L+1)維四階累積量矩陣和一個2(2M+1)×2(2M+1)維四階累積量矩陣、奇異值分解實現、ESPRIT算法和行列式實現與求解。計算復雜度為O{9(2L+1)2N+9(4M+2)2N+4/3 (2L+1)3+4/3 (4M+1)3}。而MUSIC MVDR[12]一共執行了三次一維MUSIC搜索，其計算復雜度O{9(2L+1)2N+9(L+2)2N+4/3(2L+1)3+4/3(L+2)3+2·π/Δθ(2L+1)2+K1(2L+1)2}，K1為FF源個數。可見本文所提出方法的計算量要比MUSIC MVDR[12]算法小。

4 實驗仿真

進行Matlab仿真來檢驗所提算法的有效性和精確性。選取多個等功率撞擊信號，且在統計上是相關的，對于所有實驗考慮d=λ/4的9元素SLA。選取OP MUSIC[11]、MUSIC MVDR[12]、TSMDA[14]這幾種方法進行比較，OP MUSIC[11]、TSMDA[14]需要知道信號源個數，同時，OP MUSIC[11]要求知道FF源個數。s(t)=ejφk具有非高斯形式，假定傳感器噪聲為高斯白噪聲，相位φk∈[0,2π]。信噪比SNR以及均方根誤差RMSE的公式可寫為

(27)

(28)

4.1 驗證算法有效性

假定空間中兩個處于{20°,1.5λ}和{60°,1λ}的NF源對SLA產生沖擊。設SNR=15 dB，快拍數為1 000，d=λ/2。假設采樣頻率為8 000 Hz，定位結果圖形如圖3所示。我們做另一個實驗，設置d1=λ，d2=λ/2，d3=λ/3，d4=λ/4，其他一切都不變動，圖4展示了信號源在20°和60°的波形。

圖3 信噪比為15 dB的定位結果圖形

圖4 不同陣元間距下對DOA的估計波形

在圖3中可以看出，所提算法在SLA場景下成功定位了這兩個信號源。從圖中可以清楚的了解到信號源(r,θ)和信號強度E，具有良好地估計性能。圖4中，在不同的陣元間距下(除了d1=λ的波形呈現4個波峰外)都得到了有效的DOA估計結果。

4.2 定位性能分析

假定兩個窄帶源信號(由一個來自(10°,+∞)的FF源和一個來自(30°,2λ)的NF源組成的)撞擊到SLA上。將估計值的RMSE與從-20 dB到5 dB的SNR進行比較，并在圖中顯示了基于500個獨立試驗的結果。快照數設置為200。所提算法與其他算法分別對DOA和距離參數RMSE進行仿真，RMSE和CRB仿真曲線如圖5，圖6和圖7所示。

圖5 FF源距離RMSE隨SNR變化曲線

從圖5可以看出，本文算法與MUSIC MVDR[12]、TSMDA[14]的估計精度接近，隨著信噪比的增大，OP MUSIC[11]、MUSIC MVDR[12]、TSMDA[14]和本文算法能夠接近并與CRB曲線重合，從中也可以看出不同信號源的DOA基本相同。但MUSIC MVDR[12]和TSMDA[14在信噪比比較大時估計效果不佳。在圖6中，FF源DOA波形基本與CRB重合，其他算法的波形與CRB相離較遠。在圖7中，雖然在信噪比低的時候，OP MUSIC[11]較為接近CRB，但當信噪比數值大的時候，NF源波形則偏離了CRB，其RMSE下降緩慢，所以偏離CRB曲線。從結果上看，本文算法對于FF源和NF源波達方向估計精度更接近CRB曲線。需要指出的是，本文算法不需要知道混合源個數K和NF源個數。

圖6 NF源波達方向RMSE隨SNR變化曲線

圖7 NF源距離RMSE隨SNR變化曲線

5 結論

提出了能直接辨別并定位NF和FF源低復雜度混合源定位算法。利用類ESPRIT算法實現更合理的信號定位，并用信號強度與相位差求NF源距離和確定這些源的類型。比現有的一些混合源定位算法，如MUSIC MVDR和OP MUSIC算法擴展了陣列孔徑，減小了計算復雜度，提高了NF源距離參數的精度。