修正壓力與表面張力計算的兩相流自由界面運動模擬

朱曉臨，周韻若，何紅虹

修正壓力與表面張力計算的兩相流自由界面運動模擬

朱曉臨，周韻若，何紅虹

(合肥工業大學數學學院，安徽 合肥 230009)

在利用光滑粒子流體幼力學(SPH)方法進行多相流的模擬中，多相流在交界面處由于密度不連續、粒子界面的壓力計算出現誤差，出現界面處壓力振蕩，界面破碎的問題。針對上述問題，提出了新的壓力梯度近似公式和改進的界面處人工斥力公式，使交界面更加清晰、光滑、無穿透、模擬效果更好。此外，通過給出基于密度權重的色函數計算公式，對大密度比多相流界面處的表面張力計算公式進行了改進，使得多相流交界面密度過渡更加光滑，模擬效果更好。最后，通過潰壩、Rayleigh-Taylor界面不穩定性，非Boussinesq鎖定交換問題3個仿真實驗，得到了不同時刻界面粒子分布圖、界面鋒面距離等。結果驗證了新的壓力梯度近似公式以及界面處人工斥力公式的合理性；通過空氣中液滴形成仿真實驗，得到了圓形液滴形成的粒子變化圖，結果驗證了該改進的表面張力計算方法的有效性。

SPH方法；多相流；壓力梯度近似公式；人工斥力；色函數；表面張力

2005年，柳有權等[1]提出流動系統中存在多種不互溶的流體，稱為混合流；而若相態多于一個，且各相態之間不互相滲透或發生化學反應，則稱為多相流。近年來，多相流動的數值模擬技術是計算流體動力學(computational fluid dynamics，CFD)領域研究的熱點和前沿課題之一。液液兩相流動與氣液兩相流動在日常生活中十分普遍，如通過預先模擬實現藥物在人體血管中的精確定位打靶技術以及氣泡上升至自由表面最終破裂的現象。

而在兩相流動數值模擬技術中，如何處理兩相交界面處的界面穩定性是最近幾年研究中的熱點問題。

常見的界面不穩定性有2類：① 2種不同密度的流體在重力或慣性力的作用下的界面不穩定性問題，通常稱之為Rayleigh-Talor界面不穩定性問題；② 2種流體之間有切向速度差，因此造成界面上的不穩定性，通常稱之為Kelvin- Helomholtz不穩定性。

2003年，COLAGROSSI和LANDRINI[2]將1995年MONAGHAN和KOCHARYAN[3]提出的模擬小密度比兩相流的方法應用于氣液兩相流模擬，發現交界面處出現劇烈的數值振蕩。該方法使用弱可壓縮模型建模，根據粒子的體積而不是密度進行建模，進行壓力梯度計算，避免了氣-水界面密度不連續的問題。此方法需要極小的時間步長作為支撐，整個模擬需要的時間較長。

2006年，HU和ADAMS[4]提出了可計算宏觀和微觀流場的光滑流體粒子動力學(smoothed particle hydrodynamics，SPH)方法，采用不同的粒子近似函數，即粒子近似函數是針對鄰近點體積而不是密度，但其并未計算大密度比復雜界面流場。

2007年，HU和ADAMS[5]提出了一種不可壓縮的多相SPH方法，主要通過一種新的多相投影公式來離散梯度與散度算子，但是該方法需要求解壓力泊松方程，整個計算過程十分耗時。

2008年，SOLENTHALER和PAJAROLA[6]提出一種使用標準SPH模型去模擬大密度比兩相流。其主要通過計算粒子數密度而不是計算粒子密度去保證兩相界面密度的連續性，從而推出壓力項與黏性項的計算公式。該方法簡單，但仍存在局限性。其直接基于密度進行修正的方法有效解決了兩相流密度上的不連續性，但是在計算壓力項，尤其針對體積較小的流體時，兩相流體間還是會存在較大的間隙，無法保證交界面的連續性。

2013年，MONAGHAN和RAFIEE[7]通過在交界面上引入斥力項維持界面的光滑與完整。該方法簡單，但是對于聲速的使用依舊是非物理的，同時將界面處粒子視為剛性邊界粒子，對粒子的運動范圍設置限制，其好處是穩定界面，但是卻是不符合物理規律，理論上界面上的粒子可以向各個方向進行運動，模擬缺乏處理湍流的能力。

2015年，CHEN等[8]針對密度差較大的多相流，提出了自己的SPH模型，其舍棄了文獻[4]提出的顆粒間壓力的想法，通過將界面粒子的鄰近粒子中非同相粒子看成同相粒子，其速度、體積、位置等信息與初始異相粒子相同。質量與密度使用當前相流體粒子的質量與密度；同時提出了一種新的針對大密度比的多相流密度初始化的方法，以及為避免初始負壓強，在狀態方程中加入初始壓強項；但是該方法并未在界面處加入人工斥力項，界面較為粗糙。

2015年，LIND等[9]針對氣-水界面的大密度比問題提出一種不可壓縮-可壓縮建模方法。將水相作為不可壓縮相，空氣相作為弱可壓縮相進行建模，使得模擬中保證了界面處材料的不連續性以及壓力和運動速度的連續性。但是該方法在求解水相的壓力時，同樣需要解費時的壓力泊松方程，計算量較大。

2018年，KRIMI等[10]提出加入連續壓力表面方程的SPH模型模擬界面多相流，主要加入一個壓力表面系數，提高了界面處的穩定性與光滑性；但是該方法在模擬過程中，對于界面系數的選擇較為困難，缺乏量化的標準去選擇表面系數。

2019年，楊秋足等[11]提出了一種利用弱可壓縮SPH方法來對大密度比多相流模擬建模的方法；主要在求解界面壓力與密度處引入了黎曼解的相關思想，但是此方法計算復雜，耗時較長。

盡管經典的SPH方法成功地模擬了單相流體的流動，但由于多相流體的流動中多相物理條件的不同導致單相流體的SPH方法難以適用于多相流。主要的問題是兩相流密度在界面處是跳躍的，但是SPH方法是一個平滑過渡的過程，每個粒子都有一個緊致的支持域，通過緊致的支持域內均勻分布的粒子計算出當前粒子的各項物理屬性。當支持域與界面相交時，界面另一側的密度會錯誤地影響局部密度和壓力場的計算，從而影響有關粒子的加速度與速度的計算，導致粒子下一個時間步長的位置錯誤。因此，本文針對多相流界面處的密度、壓力、表面張力等物理量進行單獨處理，以保證密度梯度的連續和表面張力的連續，避免界面處的粒子在運動過程中出現振蕩現象。

1 控制方程與SPH方法

1.1 控制方程

1977年，LUCY[12]首次提出SPH方法，之后被GINGOLD和MONAGHAN[13]用于模擬天體物理問題。1991年，LIBERSKY和PETSCHEK[14]將其擴展到流體模擬領域，促進了SPH對于水動力學的應用研究。

流體運動控制方程為

利用弱可壓縮模型描述不可壓縮流體，采用如下狀態方程[8]

1.2 SPH方法

其中，為平滑核函數(smoothing kernel function)，為核函數的支持域長度。

其中，為粒子的鄰近粒子；m為粒子的質量；為粒子的密度。

分別對()進行梯度和拉普拉斯運算，即分別對其光滑核函數進行梯度和拉普拉斯運算

1.3 黏性項

考慮到流體具有黏性，動量方程中黏性項的形式為

本文采取文獻[16]提出的黏性項表達式，即

其中，=-；=-；=；?W=?(-,)|=r。

當使用SPH方法進行流體運動的計算過程中，需要采用人工黏性項以避免激波附近出現非物理震蕩。本文采用MONAGHAN和GINGOLD[17]提出的人工黏性項，即

2 本文工作

2.1 新的粒子壓力梯度近似公式

針對上述多相流界面處存在的問題，下面對多相流界面處的壓力梯度近似公式進行改進，解決多相流數值模擬中界面不光滑的問題，并與文獻[8]的結果進行對比。文獻[4]提出的界面處的壓力項為

其中，粒子間壓力項為

式(18)對于小密度比兩相流成立，但是對于大密度比兩相流，在界面處，p?p，<<，此時，式(18)變為

可以發現，加入的粒子間壓力項主要是由密度較低的流體的壓力引導。此時可以等價為只有小密度流體對大密度流體有作用，而大密度流體對小密度流體無作用，顯然有問題。同時，在界面處，進行鄰近粒子搜索時，混合著兩相粒子，會對顆粒間壓力項計算產生誤差。

文獻[8]對式(17)進行了改進，對界面處的壓力梯度近似公式進行了修改，具體形式為

由式(20)可以發現，在計算界面處粒子間壓力項時，使用的均為粒子b的相關信息。文獻[8]所做的針對性處理是將粒子a的鄰近粒子中的非同相粒子均人為地看作同相粒子，使用原有的粒子的信息(除了質量、密度)，如圖1所示。

上述做法需要在計算中人為地更改粒子的物理屬性，增加了額外的計算量。

本文基于牛頓第三定律，作用力等于反作用力，在界面處大密度粒子與小密度粒子對彼此的作用力應是相等的，這樣才可以保證界面的光滑與完整；否則，粒子會因為壓力不等在界面處出現振蕩，將式(20)改成對稱形式，保證界面處壓力的連續，得到新的粒子壓力梯度近似式為

使用當前粒子與鄰近粒子的物理信息，避免了人為修改粒子的物理信息，減小了計算量。對比式(17)，式(21)解決了大密度粒子對小密度粒子無影響的問題，同時保證了界面處壓力的連續性，其作為粒子壓力梯度近似公式是合理的。

在壓力場中

2.2 改進的人工斥力公式

在實驗中，發現仍存在少量高密度粒子滯留在低密度粒子上方。本文提出了一種新的壓力梯度近似公式，保證低密度粒子和高密度粒子受到的力大小相等，方向相反。但低密度粒子與高密度粒子依舊存在著質量上的不連續，即相互作用力產生的加速度偏差較大，導致出現上述的實驗現象。為了與物理上相斥流體界面現象相對應(即相斥流體界面間存在明顯的分層現象)，故在界面處加入人工斥力，即

式(25)有效解決了不同相粒子在界面處出現混合的情況，保持了界面的光滑性。這與現實生活中2種密度不同，互不相溶的液體相互接觸的情形相同。

2.3 改進的表面張力計算公式

2010年，ADAMI等[18]提出了多相流中的表面張力計算公式。

定義色函數如下

而在實驗中發現，針對大密度比多相流，上述的色函數計算方式往往會在界面處出現顏色梯度的跳躍，導致界面出現毛糙等現象。本文給出基于密度權重的色函數計算公式

通過外法向可以計算兩相流界面曲率，即

其中，為計算域的維度。將曲率和外法向代入表面張力公式，得到基于密度權重的色函數的改進的表面張力計算式為

根據上述討論，本文動量方程的離散形式為

3 實驗結果與分析

本節的前3個仿真實驗，包括潰壩、R-T不穩定性、非Boussinesq交換，檢驗本文新的壓力梯度近似公式和改進的界面處人工斥力公式的合理性；其中，算例1的密度比大于800，算例2和3的密度比小于2。第4個仿真實驗——圓形液滴形成，驗證本文改進的表面張力計算公式的有效性。

本文的實驗在Windows 10系統上，開發環境為Visual Studio 2013與openGL，實驗配置為Intel(R) Core(TM) i7-8570H，2.20 GHz CPU，8 G內存，NVIDIA Geforce GT 1060顯卡。

3.1 潰壩(算例1)

圖2 二維潰壩模擬粒子效果圖

從圖2可以看出，受重力的作用，初始靜止的水沿著左邊的固壁邊界向右加速運動(圖2(a1))，水面的高度自左至右不斷降低，水的速度不斷增大，直至到達右邊的固壁邊界處，與右邊的固壁邊界發生撞擊，速度減小但壓力增大，水自由面沿墻豎直向上爬升(圖2(a2))。與當水到達最高點且速度降為零時，重力又使水沿右邊的固壁邊界反向加速運動，上行與下行的水流在右邊界1/4處匯集，形成了“鼓包”區域(圖2(a3))，與圖2(b4)相比，本文方法在鼓包形成區域形態更為完整，且液體沒有明顯的壓力振蕩。由于上部的水繼續下落，受擠壓的鼓包形成了“水射流”(圖2(a4))；“水射流”包裹部分空氣，重力導致水射流向左下方下落，形成類似“水射流”沖擊自由表面，撞擊后再次形成“水射流”(圖2(a5))。與圖2(b4)、圖2(b5)相比，本文的方法在界面處粒子無明顯的“黏滯”狀態且界面處無明顯的壓力振蕩。

圖3 三維潰壩模擬粒子效果圖

圖3為三維潰壩實驗結果。實驗結果表明，本文方法與文獻[8]的方法結果進行對比，本文方法在潰壩計算中的氣-水界面處更加光滑。在流體運動的過程中，雖然流體的壓力連續變化，但是計算過程中液面并未出現明顯的壓力振蕩。

圖4給出了液面最高點隨時間變化的趨勢。從中可以看出，本文實驗結果與文獻[18]基本一致，說明本文方法在計算大密度比界面問題中的合理性。

3.2 Rayleigh-Taylor界面不穩定性(算例2)

采用多相流SPH方法，文獻[5]、文獻[7]和文獻[8]均計算了R-T界面，其中文獻[8]計算R-T界面的實驗效果最好。

初始狀態如圖5(a)所示。當=0時，密度為1 750 kg/m3的流體(紅色)置于密度1 000 kg/m3的流體(藍色)上方，界面形狀為=1.0-0.15(2p)。取0.05，D=0.003 s。

圖4 水前端與時間的關系

圖5 R-T實驗本文方法的不同時刻粒子分布圖

從本文的實驗結果(圖5)可以看出，本文算法清晰地捕捉到不同時刻2種流體界面，界面并未發現明顯的壓力振蕩，高密度與低密度流體分別呈斜射入狀進入對方區域。通過對最終效果的比較(圖5(d)與圖6)，本文方法在界面處的光滑性更好，計算中未出現明顯的粒子“集聚”現象，避免了形成虛假的壓力場(即人工表面張力)導致界面曲率變大，界面之間出現狹小的空隙。

圖6 文獻[8]方法

定量驗證計算結果，圖7給出了低密度流體界面最高點位移隨時間變化的曲線，從圖6中可以看出，本文實驗結果基本與LAWRIE 和DALZIEL[19]得到的Layzer理論值重合，同時與文獻[8]的結果相比，在范圍內，本文得到的-曲線與Layzer理論值更為符合。說明本文在處理大密度比界面問題中是合理的。

圖7 低密度流體y-t曲線(算例2)

3.3 非Boussinesq鎖定交換問題(算例3)

擋板隔開矩形水平管兩側不同密度的流體(圖8)，當瞬間抽去中間擋板(白色區域)時，2種流體發生相對運動，其密度比大的情況稱之為非Boussinesq鎖定交換問題，反之稱為Boussinesq鎖定交換問題。取矩形管道的長為1.28 m，寬為0.32 m，擋板左側為低密度(紅色)流體，右側為高密度(藍色)流體(圖8)，各變量見表1。

圖8 初始界面示意圖

表1 擋板左右兩側參數表

從圖9可以看出，低密度流體與高密度流體分別沿水平管上、下壁面自右至左和自左至右運動，形成剪切界面。隨著計算時間的增長，左右相對運動的界面存在著切向速度差，出現了Klelvin- Helmholtz界面不穩定性。本文通過使用對稱形式的粒子間壓力，使得界面兩側壓力符合牛頓第二定律，保證了界面兩側壓力的連續性，使得交界面更加光滑，同時在界面處對異相粒子施加人工應力，避免粒子在異相液體相中的滯留情況。實驗結果表明(圖9(a)和圖9(b))，本文方法的效果更好，異相流體界面分層更加清晰。

圖9 運動后界面效果圖

圖10給出輕重流體鋒面與擋板距離/隨時間變化的曲線。從中可以看出，曲線的變化趨勢相同，二者近似呈線性變化，與文獻[20]計算和實驗結果相符合。其中對重流體，本文實驗結果略低于計算結果值，初始誤差較小，誤差隨增大而增大并趨于恒定。對于輕流體，本文實驗結果與計算結果相比，初始時誤差較大，隨著計算時間不斷增大，曲線逐漸趨于統一，誤差趨近于0。說明本文方法在計算大密度比界面問題中是合理的。

圖10 輕重流體(x/H)-t曲線

3.4 空氣中圓形液滴形成變化實驗(算例4)

實驗物質參數見表2。為驗證多相流大密度比界面處的表面張力計算公式的有效性，本文進行含有表面張力的經典實驗——圓形液滴形成變化仿真實驗。初始形態如圖11所示，其中，黃色粒子表示水粒子，紫色粒子為空氣粒子。

表2 實驗中的物質參數

圖11 空氣中圓形液滴形成變化初始圖

液滴在表面張力的作用下不斷振蕩，由于黏性使得動能不斷耗散，最終穩定成圓形液滴，如圖12所示。文獻[21]是當前模擬該實驗效果最好的方法。將本文SPH計算結果與文獻[21]方法進行對比，發現本文方法產生的液滴更圓，粒子排布更為均勻，在水-氣交界面處更為光滑，從而驗證了本文基于密度權重計算表面張力公式的有效性。

圖12 圓形液滴形成變化過程效果圖

本文主要針對于大密度比兩相流進行研究，其中對稱形式的壓力梯度粒子近似公式主要適用于緩慢運動的兩相流交界面處的壓力梯度計算，而基于密度權重的表面張力計算主要適用于大密度比兩相流在界面處劇烈運動，從而需要計算表面張力帶來的影響的情況。本文尚未考慮是否可以將本文的方法應用到三相流甚至更多相流的流體模擬中，同時基于密度權重的表面張力計算主要針對的是二維情況下的方形液體變化情況，本文的方法是否可以拓展到三維，這些都將是今后研究的重點。

4 結 論

針對多相流界面處密度差導致界面壓力與表面張力計算錯誤的問題，本文提出了一種新的壓力梯度近似公式和改進的界面處人工斥力公式，保證了高密度流體與低密度流體在交界面兩側的壓力對稱，符合牛頓第三定律，使得多相流交界面更加清晰、光滑、無穿透。此外，本文還針對大密度比多相流(例如空氣-水)，給出基于密度權重的色函數計算公式，對交界面處的表面張力計算公式進行了改進；仿真試驗結果表明，本文的表面張力計算公式在計算大密度比多相流交界面張力時，界面更加光滑，模擬效果更好。

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Simulation of free interface motion of two-phase flow based on modified pressure and surface tension calculation

ZHU Xiao-lin, ZHOU Yun-ruo, HE Hong-hong

(School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei Anhui230009, China)

In the simulation of multiphase flow using the smoothed particle hydrodynamics (SPH) method, the density of the multiphase flow at the interface was discontinuous, the pressure calculation of the particle interface was erroneous, and problems occurred, such as pressure oscillation at the interface and interface fracture. In response to the above problems, a new pressure gradient approximation formula and an improved artificial repulsion formula at the interface were proposed to make the interface clearer and smoother without penetration, thus producing better simulation results. In addition, by giving a color function calculation formula based on density weights, the formula was improved for the calculation of surface tension at the interface of multiphase flow with high density ratio, leading to the smoother density transition of multiphase flow interface and better simulation effect. Finally, through three simulation experiments, such as dam break, Rayleigh-Taylor interface instability, and non-Boussinesq locked exchange problem, the particle distribution map of the interface and the distance of the interface front at different times were obtained. The results can verify the rationality of the new pressure gradient approximation formula and the artificial repulsion formula at the interface. Through the simulation experiment of droplet formation in the air, the particle change diagram formed by the circular droplet was obtained, and the result can corroborate the effectiveness of the improved surface tension calculation method in this paper.

smoothed particle hydrodynamics method; multi-phase flow; pressure gradient particle approximation; artificial repulsion; the color function; surface Tension

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2020060970

A

2095-302X(2020)06-0970-10

2020-06-22；

2020-07-28

22 June，2020；

28 July，2020

國家自然科學基金項目(61272024)

National Natural Science Foundation of China (61272024)

朱曉臨(1964-)，男，安徽池州人，教授，博士，碩士生導師。主要研究方向為數值逼近、計算機圖形學、CAGD、圖形圖像處理等。 E-mail：zxl_hfut@126.com

ZHU Xiao-lin (1964-), male, professor, Ph.D. His main research interests cover numerical approximation, computer graphics, CAGD and graphic image processing. E-mail：zxl_hfut@126.com