帶擾動(dòng)的局部超二次Hamilton系統(tǒng)周期解的存在性

鄭玲玲，郭 飛

(天津大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，天津 300354)

1 主要結(jié)論

本文研究如下二階Hamilton系統(tǒng)：

(1)

(A) 對(duì)任意x∈Rn，W(t，x)關(guān)于變量t是可測(cè)的；對(duì)a.e.t∈[0，T]，W(t，x)關(guān)于x是連續(xù)可微的；存在函數(shù)a1∈C([0，+∞)，[0，+∞))和a2∈L1([0，T]；[0，+∞))，使得

超二次條件在Hamilton系統(tǒng)研究中的使用可以追溯到20世紀(jì).早在1978年，Rabinowitz[1]便提出了眾所周知的經(jīng)典超二次條件(下稱(A-R)條件)，并得到了周期解的存在性.之后該條件在研究Hamilton系統(tǒng)周期解和同宿解等問題中被廣泛使用，如文獻(xiàn)[2].近年來，有許多學(xué)者使用了更弱的條件代替(A-R)條件.文獻(xiàn)[3]引進(jìn)了比(A-R)條件更弱的超二次條件，即

當(dāng)f(t)≡0時(shí)，文獻(xiàn)[3]在條件(FG)下使用環(huán)繞定理得到Hamilton系統(tǒng)周期解的存在性.隨后，很多文獻(xiàn)都在(FG)條件下研究了系統(tǒng)(1)的周期解問題.[4-7]2018年，文獻(xiàn)[8]在研究非擾動(dòng)系統(tǒng)同宿解的存在性時(shí)使用了比(FG)更弱的局部超二次條件.

當(dāng)f(t)≡0時(shí)，研究擾動(dòng)系統(tǒng)周期解問題的文獻(xiàn)極少.文獻(xiàn)[9]研究了一類帶擾動(dòng)的一階Hamilton系統(tǒng)周期解的存在性和多重性，尚未發(fā)現(xiàn)對(duì)擾動(dòng)系統(tǒng)(1)周期解問題的研究.關(guān)于擾動(dòng)系統(tǒng)(1)同宿解存在性和多重性的研究的文獻(xiàn)也很少.文獻(xiàn)[10]在非線性項(xiàng)W滿足(A-R)條件下，得到了系統(tǒng)(1)同宿解的多重性.文獻(xiàn)[11]在非線性項(xiàng)W滿足(FG)條件下，得到了系統(tǒng)(1)同宿解的多重性.

受此啟發(fā)，本文對(duì)擾動(dòng)系統(tǒng)(1)使用山路引理，考慮在非線性項(xiàng)W(t，x)滿足局部超二次條件(即下述條件(W3))時(shí)，系統(tǒng)(1)的周期解的存在性.本文結(jié)論如下：

定理1.1假設(shè)函數(shù)B(t)，W(t，x)，f(t)滿足條件(A)和下列條件：

(B)B∈C2(R，Rn×n)為對(duì)稱正定矩陣函數(shù)，且是T周期的.

(W1)W∈C2(R×Rn，R)，關(guān)于變量t是T周期的，W(t，0)≡0，W(t，x)≥0，對(duì)?(t，x)∈[0，T]×Rn成立.

則系統(tǒng)(1)存在一個(gè)非平凡的周期解.

定理1.1在比(FG)條件更弱的局部超二次條件(W3)下，得到了擾動(dòng)系統(tǒng)(1)周期解的存在性.本文擾動(dòng)項(xiàng)f(t)為“真正的擾動(dòng)”，即擾動(dòng)勢(shì)能(f(t)，u(t))因?yàn)椴粷M足條件(W1)，所以不能被W(t，x)包含.有實(shí)例表明的確存在滿足本文定理1.1的函數(shù)，參見例4.1.

2 預(yù)備知識(shí)

其上范數(shù)為

定義E上的泛函φ，

(2)

則有

(3)

由參考文獻(xiàn)[5]可知，在條件(A)下，φ∈C1(E，R)，且

(4)

引理2.1[12](嵌入定理)E緊嵌入Lp(ST，Rn)，p∈[1，+∞)，所以存在嵌入常數(shù)γp>0，使得

(5)

引理2.2[13](山路引理) 若X是一個(gè)Banach空間，I∈C1(X，Rn)，存在e∈X和常數(shù)ρ，α>0，使得

Γ∶={γ∈C([0，1]，X)|γ(0)=0，γ(1)=e}，

則c≥b是泛函I的一個(gè)臨界值.

注釋由文獻(xiàn)[14]可知，用(C)條件代替(PS)c條件，引理2.2依然成立，因此本文使用(C)條件.

3 定理1.1的證明

命題3.2假設(shè)(W1)，(W3)和(F)成立，則存在e∈EBρ，使得φ(e)<0.

取s0>0，使得s0‖u0‖>ρ，則有φ(s0u0)<0=φ(0)，從而e∶=s0u0∈EBρ滿足要求.

命題3.3假設(shè)條件(W2)，(W4)和(F)成立.若存在{un}?E，滿足

φ(un)→c>0，〈φ′(un)，un〉→0，

(6)

則{un}在E上有界.

證明用反證法，不妨設(shè)‖un‖→+∞.令vn(t)=un(t)/‖un‖，則‖vn‖=1.由(3)，(5)，(6)式及假設(shè)(F)可得

(7)

g(s)≥8(c+1)γ∞.

(8)

令

Θn={t∈[0，T]||un(t)|≥M}，

則由假設(shè)(W2)可得

(9)

由(3)，(4)，(6)式及假設(shè)(F)，對(duì)?ε∈(0，1)可得

(10)

當(dāng)n充分大時(shí)，由假設(shè)(W4)可得

(11)

因此，由假設(shè)(W4)，(8)，(10)和(11)式可得

(12)

當(dāng)n充分大時(shí)成立.同時(shí)有

(13)

由(9)，(12)和(13)式可得

(14)

當(dāng)n充分大時(shí)成立.(14)式兩邊同取上極限，由(7)式可得

顯然矛盾.因此，{un}在E上有界.

定理1.1的證明由引理2.2，命題3.1和命題3.2可得：存在c≥α，序列{un}?E，滿足

φ(un)→c>0，‖φ′(un)‖(1+‖un‖2)→0.

(15)

從而‖φ′(un)‖→0，且‖φ′(un)‖‖un‖→0，故〈φ′(un)，un〉→0.因此，由命題3.3可知{‖un‖}是有界的.從而存在u∈E，使得在E中un?u.因此當(dāng)n→+∞時(shí)，

再由引理2.2可知，泛函φ存在一個(gè)臨界點(diǎn)u.所以

類似于文獻(xiàn)[15]96頁定理2的證明，在條件(B)，(W1) 和(F)下，u是系統(tǒng)(1)的經(jīng)典解.

下面證明上述u是非平凡的.反之，存在u(t)≡u(píng)0∈Rn，使得

顯然和條件(F)矛盾.因此，系統(tǒng)(1)存在一個(gè)非平凡的周期解.

4 例子

例4.1定義G：R×Rn→R，

令

定義函數(shù)W(t，x)=(1-λ(|x|))|x|4+λ(|x|)G(t，x)，則B∈C2(R，Rn×n)和W∈C2(R×Rn，R)均關(guān)于t是2π周期的.取(a，b)=(0，π)，函數(shù)B(t)，W(t，x)顯然滿足條件(B)，(W1)，(W2)，(W3).

所以函數(shù)W(t，x)滿足條件(W4).

令

則

所以函數(shù)f(t)滿足條件(F).

因此，上述函數(shù)B(t)，W(t，x)和f(t)滿足定理2.1的所有條件.