具有非廣延分布電子的碰撞等離子體磁鞘的結構*

鄒秀 劉惠平 張小楠 邱明輝

(大連交通大學理學院,大連 116028)

很多關于等離子體鞘層的研究工作都是基于電子滿足經典的麥克斯韋速度分布函數,而等離子體中的粒子具有長程電磁相互作用,使用Tsallis提出的非廣延分布來描述電子更為恰當.本文建立一個具有非廣延分布電子的碰撞等離子體磁鞘模型,理論推導出受非廣延參數q影響的玻姆判據,離子馬赫數的下限數值會隨著參數q的增大而減小.經過數值模擬,發現與具有麥克斯韋分布(q = 1)電子的碰撞等離子體磁鞘對比,具有超廣延分布(q ＜ 1)和亞廣延分布(q ＞ 1)電子的碰撞等離子體磁鞘的結構各有不同,包括空間電勢分布、離子電子密度分布、空間電荷密度分布.模擬結果顯示非廣延分布的參數q對碰撞等離子體磁鞘的結構具有不可忽略的影響.希望這些結論對相關的天體物理、等離子體邊界問題的研究有參考價值.

1 引 言

實驗室里,在等離子體與其周圍器壁、電極或是工件之間會形成一個很窄的正空間電荷層,厚度相當于幾個電子德拜長度,稱為等離子體鞘層.研究等離子體鞘層的結構對等離子體刻蝕、材料表面改性等很多工藝具有極其重要的作用,所以相關的理論和實驗的研究工作也從未間斷[1-30].這些工作研究了很多具有不同物理條件的等離子體鞘層,例如： 離子與中性粒子的碰撞,離子溫度和外加磁場等.然而,很多情況下,對等離子體鞘層的研究工作是基于電子滿足經典的麥克斯韋速度分布函數[1-13].等離子體中的粒子具有長程電磁相互作用,分布會偏離麥克斯韋分布.為了描述這種系統,1988年Tsallis[31]提出非廣延熵的概念,表達為,其中：k為玻爾茲曼常數,Pi是第i個微觀態出現的概率,q是無量綱化的描述系統非廣延性質的參量.Tsallis以非廣延熵為基礎建立了非廣延統計力學,已經為長程相互作用系統找到了很好的描述框架.當參數q=1 時,粒子分布又回到了廣延的 e 指數情形,所有的結果可以回到粒子滿足經典的麥克斯韋分布時的結論.q＜1 和q＞1 分別對應超廣延分布和亞廣延分布情況.非廣延統計是一種新的統計力學,近年來得到了廣泛的應用,尤其是成功地應用于解決各種天體物理以及等離子體物理問題,包括等離子體不穩定性、等離子體鞘層和非線性波等.研究具有非廣延分布的等離子體已成為國際上一個新的研究熱點[14-26].

在考慮非廣延分布電子的情況下,Hatami[14,15]在2015年研究了無碰撞和有碰撞的兩種鞘層模型,修正了鞘層判據.研究結果表明： 鞘層邊緣離子的速度與非廣延參數q的數值成反比.之后,Hatami等[16]又在磁鞘模型中對德拜長度進行了修正.Borgohain等[17]與 Borgohain和 Saharia[18]分別研究了包含兩種溫度的非廣延分布電子和熱離子的系統和考慮了正離子中性碰撞的電負性等離子體鞘,數值研究了鞘層中的粒子數密度、電位、凈空間電荷密度.結果是q值的增加會導致鞘層厚度降低.2019 年,趙曉云等[19]研究了電子的非廣延分布對等離子體鞘層中的二次電子發射的影響,結果顯示： 隨著非廣延參量的增大,鞘層厚度減小、鞘層中二次電子數密度增加.此外,還有Liu等[20,21]在含有非廣延分布電子的塵埃等離子體鞘層模型基礎上研究了德拜長度和玻姆判據.Tantawy等[22]研究了存在非廣延分布的電子和正電子的等離子體系統的非線性結構.Emamuddin等[23]和Safa等[24]分別研究了含有非廣延分布電子的塵埃等離子體鞘層.Mehdipoor和 Mohsenpour[25]研究了具有非廣延分布的電負性等離子體磁鞘的雙層結構.

為了更好地了解電子滿足非廣延分布情況下的碰撞等離子體磁鞘的結構,本文采用流體力學方法和數值模擬模擬了具有非廣延分布電子的碰撞等離子體磁鞘模型,研究對比了麥克斯韋分布[12]與非廣延分布兩種碰撞磁鞘的玻姆判據,以及由參數q引起的電子離子密度、電勢和空間電荷密度等物理量分布的變化.研究所得到的結果對相關的天體物理、等離子體邊界等問題的研究具有參考價值.

2 基本物理模型

根據研究的需要,并且考慮鞘層的厚度遠遠小于器壁尺度的條件,我們建立一個一維坐標空間,三維速度空間的碰撞等離子體磁鞘模型(圖1).外加的磁場在 (x,z) 平面內,磁場與x軸的夾角為θ.在等離子體鞘層和等離子體的分界處,即坐標x=0處,空間靜電勢為φ=0.

在等離子體鞘層中假設電子的分布遵循非廣延分布,速率分布函數為

圖1 等離子體磁鞘模型示意圖Fig.1.Schematic diagram of plasma magnetic sheath model.

為歸一化常數；me,ve和Te分別是電子的質量、速度和溫度；ne0是電子在鞘邊的數密度； Γ 是標準伽馬函數.對速率分布函數求導可得最概然速率,[18].對 速 率 分布函數積分,可得電子的密度為[14,15,18,19]

式中,ne是電子的數密度.

離子溫度較低,滿足流體的連續性方程和運動方程[8,10,12]：

式中,ni,vi和mi分別是正離子的數密度、速度以及質量；nn是中性氣體的數密度；μ=μs(vi/cis)β是離子與中性粒子間碰撞時動量傳遞的截面,μs是正離子聲速的測量截面,cis=(kTe/mi)1/2是離子聲速,β是無量綱化參數,取值范圍為-1—0.這個取值范圍包含了兩種特殊情況：β=0 對應恒定的離子平均自由程；β=-1 對應恒定的離子碰撞頻率.

鞘層電勢滿足泊松方程：

在器壁處,懸浮電位為φw,離子和電子的電流守恒,ji=je,j是電流密度.

為了簡化,引入下列無量綱量：Φ=eφ/kTe,ξ=x/λD,ui=vi/cis,Ne=ne/ne0,Ni=ni/ni0,ν=λDnnμs.這 里λD=(?0kTe/ne0e2)1/2是 電 子 德拜長度,ωic=eB/mi是離子回旋頻率.ωic和λD分別是離子回旋頻率和電子德拜長度.令B0=cosθi+sinθk,如果取物理量只有x方向的空間變化,即?→?/?x?i,則由 (2)式—(7)/式,可以得到

(9)式中Mai=vix0/cis為離子馬赫數.(10)式中γi=ωic/ωpi為離子回旋頻率ωic與離子等離子體頻率ωpi之 比 ,ωpi=(ni0e2/?0mi)1/2,(14) 式 中μ=(me/mi)1/2,Aq=Cq(kTe/me)1/2/ne0.

(1)建立制造業企業分類目錄，推動勞動密集型制造業轉移、轉型或退出。政府應順應勞動力成本上升的形勢，科學地建立制造業企業分類目錄，依據所建立的目錄推動勞動密集型制造業轉移、轉型或退出，改變制造業企業的“粗放型”發展方式，引導制造業結構優化。

由(8)式,(9)式和(13)式可得賽格捷夫勢：

賽格捷夫勢滿足的邊界條件：V(Φ=0)=0 ,.

由(8)式可得

由(9)式和(10)式,再考慮鞘層的邊界條件：x=0,Φ→0 ,Ni→1 ,?Φ/?ξ=-E0/=0 ,可得

再考慮離子在等離子體預鞘區的E×B漂移運動[13,27-30],離子進入鞘層初始速度的y軸和z軸分量分別為uiy0=-E0sinθ/γi和uiz0=Maitanθ,則：

代入 (16)和 (17)式,可得

這是離子馬赫數應當滿足的下限條件,顯示出離子馬赫數與磁場角度、碰撞參數、鞘邊電場以及非廣延分布參數四個量有關.當q=1 時,(18) 式與電子滿足麥克斯韋分布時的等離子體磁鞘的下限條件[12]一致.由 Tsallis的非廣延分布理論,當q=1時,所有的結果可以回到經典的麥克斯韋分布對應的結論.由(18)式代入條件參數(q=1,θ=0,ν=0)可得到Ma2≥1,這是我們非常熟悉的無外加磁場且不考慮碰撞效應的電子離子鞘層的玻姆判據.當不考慮碰撞效應時,離子馬赫數與鞘邊電場沒有關系.從(18)式可以得到當電子采用麥克斯韋分布來描述時(q=1 ),就可以得到 Chodura[1]研究工作的結果Mai≥ cosθ.很多研究鞘層判據的工作[13,27-30]在考慮離子的E×B漂移運動之后都得到了類似的結果： 磁場的角度對離子馬赫數是有影響.等離子體預鞘區存在一個微弱的電場加速離子,在考慮碰撞的情況下,鞘邊電場對離子馬赫數是有影響的,有限邊界電場是克服碰撞摩擦的必要條件.沒有碰撞和電離時,邊界電場可以設置為無窮小,采用無碰撞情況下的鞘判據,可以利用ji=je的條件來確定鞘層電勢,而鞘邊電場也不是一個獨立的變量.本文研究的是碰撞磁鞘,對離子進入鞘層的判據進行了修正,在數值模擬中鞘邊電場需要給出一個初始值.

再由(15)式,V(Φ)≤ 0 可得離子馬赫數應當滿足的上限條件：

可見離子馬赫數的上限與參數 有關.q

3 數值結果與討論

在圖2—圖7的數值模擬中,采用氬等離子體實驗中常用的數據,例如： 碰撞參數ν=0.134 ,相應的氣體壓強為 1 3 Pa ,溫度為 2 9 0K.取等離子體密度為 5×1014/m3,電子溫度為 3.48×104K.

圖2 離 子 馬 赫 數 的 下 限 隨 參 數 q 的 變 化 ( B =0.3T ,E0=0.1)Fig.2.Ion Mach number versus non-extensive parameterq( B =0.3T ,E 0=0.1 ).

圖2顯示了β=0 和β=-1 時離子馬赫數下限的數值隨q值的變化關系,并且對比了磁場角度對離子馬赫數的影響.如圖2所示,外加磁場角度增大會使離子馬赫數下限的數值減小.因為在磁場強度不變的前提下,磁場角度增大也就是磁場z軸分量增強,這個方向的磁場分量對離子的洛倫茲力會明顯影響離子x軸的速度分量,從而影響離子的密度分布,關于磁場角度對鞘層結構(q=1 )的影響,可以參考文獻[10]的相關結論.無論磁場角度取何值,離子馬赫數的下限的數值都會隨著非廣延分布參數q值增大而減小,相比β=-1 情形,β=0時這個減小的趨勢更加明顯,這個結論與Hatami[14]的研究結果相似.當非廣延分布參數q＜1 時離子馬赫數的下限值會增大； 而當q＞1 時,離子馬赫數的下限值會減小.隨著q值增加,離子馬赫數下限會降低,意味著當低速運動的電子數目增多時,離子進入鞘層需要具有較少的動能,更容易進入鞘層.

圖3—圖5顯示了非廣延分布對碰撞磁鞘的影響.圖3顯示了非廣延分布參數q值對碰撞磁鞘電勢的影響.與麥克斯韋分布的磁鞘(q=1 )相比,當q＜1 時,非廣延分布磁鞘的空間電勢下降得慢些,而當q＞1 時,對應的電勢下降得更快些.與麥克斯韋分布相比,超廣延分布(q＜1 )的電子平均速度相對較快,高速運動的電子數量增加； 亞廣延分布(q＞1 )的電子平均速度相對較慢,低速運動的電子數量增加.電子的速度影響空間電勢分布,也影響到達器壁的電子數量.器壁懸浮電勢與參數q的關系與文獻[19]類似,這里不做贅述.

圖3 具 有 不 同 參 數 q 值 的 鞘 層 空 間 電 勢 ( B =0.3T ,θ=15°,E 0=0.1 ,β =0 )Fig.3.Sheath potential for different values of non-extensive parameter q ( B =0.3T ,θ =15° ,E 0=0.1 ,β =0 ).

圖4顯示了非廣延分布的碰撞等離子體磁鞘的電子離子密度分布跟麥克斯韋分布碰撞磁鞘的對比.由圖4(a)可知,當q＜1 時,電子數密度降落得也相對較慢,而且q值越小,高速運動的電子數量越多,密度分布曲線下降得越慢.由圖4(b)可知,當q＞1 時,隨著q值的增大,高速運動的電子數量越少,電子數密度更快地降為零,離子的密度分布也下降得更快.

圖5顯示了q取不同值時非廣延分布的碰撞等離子體磁鞘的空間電荷密度分布.與麥克斯韋分布(q=1 )的碰撞磁鞘的對比,當q＜1 時,由于電子的密度分布降落得較慢,所以空間電荷曲線的峰值更小而且更加靠近器壁或是工件.也就是在這種情況下,更多更高能量的電子進入鞘層區域,結果凈空間電荷密度降低.當q＞1 時,對應的電子數密度下降得較快,這也導致空間凈電荷曲線的峰值較大,而且遠離器壁或是工件.

圖4 具有不同參數 q 值的離子電子密度分布 (B=0.3T,θ =15° ,E 0=0.1 ,β =0 ) (a) q ＜1 ； (b)q＞1Fig.4.Normalized density of ions and electrons for different values of non-extensive parameter q ( B =0.3T ,θ=15°,E 0=0.1 ,β =0 )： (a) q ＜1 ； (b) q ＞1.

圖5 具有不同參數 q 值的鞘層空間電荷密度分布 (B=0.3T ,θ =15° ,E 0=0.1 ,β =0 )Fig.5.Normalized space charge density for different values of non-extensive parameter q ( B =0.3T ,θ =15° ,E0=0.1,β =0 ).

圖6和圖7顯示了碰撞對非廣延分布等離子體磁鞘的影響,取參數q=0.9.本文討論的碰撞是發生在離子與中性粒子間的碰撞.由于碰撞,離子損失了動能.與無碰撞時相比較,離子向極板運動的速度會降低,相應的密度分布的降落會減緩,如圖6所示.離子密度分布的變化會影響鞘層的電勢分布和電子密度分布,也會影響鞘層空間電荷密度分布(如圖7所示).由于離子的密度分布降落得較慢,所以空間電荷曲線的峰值更高.通過以上結果可見碰撞對非廣延分布磁鞘的影響同在麥克斯韋分布磁鞘得到結論[11]類似.

圖6 具有不同碰撞參數 ν 值的離子電子密度分布 (B=0.3T ,θ =15° ,E 0=0.5 ,β =0 ,q =0.9 )Fig.6.Normalized density of ions and electrons for different values of collision parameter ν ( B =0.3T ,θ =15° ,E0=0.5,β=0,q =0.9 ).

圖7 具有不同碰撞參數 ν 值的鞘層空間電荷密度分布 (B=0.3T ,θ =15° ,E 0=0.5 ,β =0 ,q =0.9 )Fig.7.Normalized space charge density for different values of collision parameter ν ( B =0.3T ,θ =15° ,E 0=0.5 ,β=0,q =0.9 ).

4 結 論

本文建立一個具有非廣延分布電子的碰撞等離子體磁鞘模型,理論推導出與非廣延參數q有關的玻姆判據,離子馬赫數下限的數值隨參數q的增大而減小.與具有麥克斯韋分布(q=1) 電子的碰撞等離子體磁鞘對比,當q＜1 時,離子馬赫數的下限的數值會增加； 當q＞1 時,離子馬赫數的下限的數值會降低.經過數值模擬,得出結論： 與具有麥克斯韋分布(q=1) 的碰撞等離子體磁鞘對比,當q＜1時,非廣延分布的碰撞等離子體磁鞘的空間電勢降落得更慢,離子電子密度降落得更慢,空間電荷密度曲線的峰值更加靠近器壁； 當q＞1 時,非廣延分布的等離子體磁鞘的空間電勢降落得更快,離子電子密度降落得更快,尤其是電子密度更快地降為零,空間電荷密度曲線的峰值遠離器壁.以上模擬結果顯示出非廣延分布的參數q對等離子體磁鞘的結構具有不可忽略的影響,而碰撞對非廣延分布磁鞘的影響同在麥克斯韋分布磁鞘得到的結論類似,這些結論對相關的等離子體邊界問題或者等離子體工藝的研究具有參考價值.