放療絕對(duì)劑量的數(shù)學(xué)算法模型*

謝天賜 張彬 賀泊 李昊鵬 秦壯 錢金錢石鍥銘 Lewis Elfed 孫偉民?

1) (哈爾濱工程大學(xué)物理與光電工程學(xué)院,中國(guó)教育部纖維集成光學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,哈爾濱 150001)

2) (黑龍江大學(xué)電子工程學(xué)院,哈爾濱 150001)

3) (利莫瑞克大學(xué),光纖傳感器研究中心,利莫瑞克,愛爾蘭)

本文提出一種通過物理模型計(jì)算放療過程中每一個(gè)組織深度處絕對(duì)劑量的算法,它可代替蒙特卡羅仿真的部分工作且耗費(fèi)時(shí)間更少.這個(gè)算法是基于對(duì)照射野內(nèi)X射線產(chǎn)生電子的能量注量的積分運(yùn)算,并考慮了射線的能譜及二次散射線,得到了后向散射對(duì)表面劑量的貢獻(xiàn)比例,同時(shí)得到前向散射、后向散射及原射線劑量貢獻(xiàn)的關(guān)系.比較了二次光子和二次電子的三維能譜,得出該能譜是粒子注量關(guān)于粒子能量和粒子運(yùn)動(dòng)方向的函數(shù).為了得到每一深度處的光子注量,計(jì)算了有連續(xù)能譜的X射線的期望質(zhì)量衰減系數(shù).上述算法計(jì)算得到的絕對(duì)劑量與蒙特卡羅方式仿真的結(jié)果趨勢(shì)一致,兩者的差異在于算法未考慮高于二次的散射線.最后將算法應(yīng)用到非均勻模體劑量計(jì)算,能準(zhǔn)確反映其中劑量分布特點(diǎn)且具有較小的誤差.

1 引 言

在放射治療領(lǐng)域,蒙特卡羅 (Monte Carlo)仿真是目前公認(rèn)的最精確的劑量計(jì)算方法,它可以精確地模擬加速器和患者組織的各種結(jié)構(gòu)的真實(shí)輻射傳輸[1].蒙特卡羅仿真基于粒子運(yùn)輸計(jì)算和概率統(tǒng)計(jì)的原理,可以在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行癌癥風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估[2]、合理制定放療計(jì)劃[3]、直線加速器調(diào)試[4]等工作,但要想得到較高的仿真精度會(huì)耗費(fèi)大量的時(shí)間.

為了更直觀地反映輻射和組織之間的相互作用,減少計(jì)算時(shí)間,研究人員嘗試提出一些理論模型和計(jì)算方法來代替蒙特卡羅仿真[5-7].Jette[8]計(jì)算了不同能量光子束從一個(gè)相互作用點(diǎn)產(chǎn)生的所有康普頓電子的劑量分布,但只計(jì)算了單能射線,且沒有考慮射野中心軸以外其他地方對(duì)劑量分布的影響.Tillikainen等[9]給出了窄射線束條件下各深度輻射劑量的計(jì)算方法并考慮能譜和散射等相關(guān)因素,但其計(jì)算仍依賴于蒙特卡羅仿真的射線束.同時(shí)對(duì)于筆形束卷積法、各向異性解析法、筒串卷積疊加法在計(jì)算非均勻模體時(shí)存在較大誤差[10-13],特別是對(duì)于筆形束卷積法,由于并未考慮電子的橫向平衡條件,在低密度的肺模體中計(jì)算劑量明顯偏高[12].

本文以康普頓電子的特性及其產(chǎn)生的能量沉積為基礎(chǔ)來解決放療中的劑量計(jì)算問題,主要工作是計(jì)算原射線和散射線在各個(gè)深度上產(chǎn)生的電子能量注量,并通過積分能量注量得到射野中心軸線上的絕對(duì)劑量與水模體深度的關(guān)系.這些研究都是基于康普頓效應(yīng),康普頓效應(yīng)在高能X射線(如加速電壓為6 MV的X射線)與物質(zhì)相互作用中起著重要作用.本文以醫(yī)用加速器的非單能射線為射線源,考慮了射線的二次散射影響,將其分為前向散射和后向散射,計(jì)算出前向、后向散射對(duì)表面劑量的貢獻(xiàn)比例.比較了二次散射光子和二次反沖電子的三維能譜,該能譜表示粒子通量與能量和粒子方向的關(guān)系.通過對(duì)非均勻模體的劑量計(jì)算發(fā)現(xiàn),本研究的算法能真實(shí)反映模體內(nèi)軸向劑量和橫向劑量分布.

2 理論模型與分析方法

2.1 絕對(duì)劑量表達(dá)式

在醫(yī)用X射線照射水模體的物理模型中(如圖1所示),為了計(jì)算射野中心軸(z軸)計(jì)算點(diǎn)P的劑量,建立了以水模體表面的射野中心點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的三維坐標(biāo)系,其中z軸的方向向下,2l為射野的邊長(zhǎng),hv為入射光子的能量,O'為射野平面C的中心點(diǎn),微元K的長(zhǎng)、寬、高分別為dx,dy,Δz,P點(diǎn)所在深度為z.為了建立劑量形成的物理模型,水模體被分成了zmax/Δz個(gè)厚度為 Δz的薄層,其中zmax為水模體最大深度,Δz為薄層水模體厚度.

圖1 絕對(duì)劑量的算法模型示意圖Fig.1.Schematic diagram of absolute dose algorithm model.

射野中心軸線上P點(diǎn)的劑量D可以通過累加計(jì)算得到,該累加來自于對(duì)每一個(gè)深度處薄層內(nèi)的射線與物質(zhì)作用產(chǎn)生的電子到達(dá)P點(diǎn)時(shí)沉積的能量.在考慮射線在組織中的衰減后,P點(diǎn)處的劑量表示為

其中D′(m,z) 表示在深度為mΔz處的薄層C產(chǎn)生電子到達(dá)P點(diǎn)所造成的劑量,m為正整數(shù).

根據(jù)吸收劑量的定義[14],某一點(diǎn)的吸收劑量在數(shù)值上等于能量注量.水模體某一深度處D′可以近似由原射線和二次散射線產(chǎn)生的能量注量表示：

2.2 原射線產(chǎn)生的劑量

在K點(diǎn)產(chǎn)生的電子的經(jīng)過距離(圖1中的紅色虛線)后到達(dá)計(jì)算點(diǎn)P,φ1為電子運(yùn)動(dòng)方向與z軸的夾角,吸收劑量是薄層C內(nèi)所有微元對(duì)P點(diǎn)的電子能量注量貢獻(xiàn)的積分,由下列函數(shù)表示：

其中Ψ(m,φ1) 表示電子的能量注量,k(rkp) 表示電子的能量注量隨距離的衰減規(guī)律,ne表示物質(zhì)的每克電子數(shù),單位為 g—1,對(duì)于水模體取值為 3.343 ×1023g—1.Ψ(m,φ1) 的表達(dá)式[15]為

其中 e-τmΔz表示非單能射線光子注量的衰減規(guī)律,τ表示期望質(zhì)量衰減系數(shù),Φ(φ1,hv) 表示水模體表面z= 0處光子與物質(zhì)相互作用產(chǎn)生的電子注量,e-τmΔz與Φ(φ1,hv) 的乘積表示深度為mΔz的薄層C內(nèi)的光子與物質(zhì)相互作用產(chǎn)生的電子注量.E(φ1,hv)表示電子的能量,積分的上下限為電子的最大能量和最小能量.φ1的表達(dá)式為

其中x和y是微元K的坐標(biāo).Φ(φ1,hv) 表達(dá)式為

其中ρ(φ1,hv) 表示二次電子的微分截面(光子與物質(zhì)相互作用的概率相對(duì)方向角的微分).n(hv)表示入射光子的注量,表達(dá)式為

其中A1,A2,t1和t2為一般參數(shù),沒有物理含義.電子的微分截面ρ(φ1,hv) 是一個(gè)重要的參數(shù),決定了電子在不同方向的運(yùn)動(dòng)特性.ρ(φ1,hv) 的表達(dá)式為[16]

其中re表示電子的經(jīng)典半徑,β=hv′/hv[16]表示二次光子的能量hv′與入射光子能量hv的比值,θ1表示二次光子運(yùn)動(dòng)方向與入射光子方向的夾角.β是關(guān)于θ1的函數(shù)：

而θ1為關(guān)于φ1的函數(shù)：

其中α的表達(dá)式為

其中mec2為單個(gè)電子的靜止能量.

E(φ1,hv)是基于康普頓效應(yīng)的能量守恒原則的函數(shù),其表達(dá)的電子能量可以通過入射光子能量與散射光子能量做差得到,函數(shù)表達(dá)式為

其中hv′表示二次光子的能量.

在(3)式中的k(rkp) 可通過研究窄電子束條件下能量注量在單一方向的變化規(guī)律得到.從電子束的百分深度劑量 (percent depth dose,PDD)曲線隨射野的變化規(guī)律可以得出,當(dāng)射野足夠小(窄電子束)時(shí),電子的能量注量將遵循下列指數(shù)衰減規(guī)律[17]：

根據(jù)圖1中的幾何關(guān)系,其中的rkp的表達(dá)式為

而μ2表示單能電子的衰減系數(shù),可以通過射線產(chǎn)生的二次電子的最大穿透深度推導(dǎo),該深度在數(shù)值上與最大劑量點(diǎn)對(duì)應(yīng)的深度相等[17],電子的能量隨著反沖角φ1增大而減小(見第3.3節(jié)分析),因此μ2是關(guān)于反沖角φ1的函數(shù).不妨設(shè)兩者關(guān)系為線性：

其中μ0表示反沖角φ1為0時(shí)電子的衰減系數(shù).根據(jù)不同能量的電子對(duì)應(yīng)不同射程,這里μ0取值4,kρ取值3.

2.3 二次射線產(chǎn)生的劑量

圖2 (a)和 (b)算法模型示意圖Fig.2.Schematic diagram of (a) and (b) algorithm model.

其中hv′′表示三級(jí)光子的能量,θ2表示二次光子散射角,φ2表示二次電子反沖角.

其中二次散射角θ2是一個(gè)關(guān)于φ1和θ1的函數(shù)：

二次散射角θ2是關(guān)于φ1和θ1的函數(shù)：

來自所有方向的二次光子所產(chǎn)生的電子到達(dá)點(diǎn)P,所有電子在此過程中的運(yùn)動(dòng)軌跡形成“圓錐”(圖2紅色線和黑色虛線組成).由該“圓錐”造成的能量注量需要針對(duì)其體積作積分運(yùn)算,但是根據(jù)(16)式的運(yùn)算,需要對(duì)該能量注量計(jì)算“圓錐”體積積分的均值以得到前向散射的式子

(24)式與(25)式計(jì)算的是二維積分的均值,但在數(shù)值上與“圓錐”積分的均值相等.

2.4 射線的期望線性衰減系數(shù)τ

任意單能的線性衰減系數(shù)μ為[16]

其中ρ表示物質(zhì)的密度,單位為 g/cm-3,ne表示物質(zhì)的每克電子數(shù),σe表示康普頓效應(yīng)截面.σe是一個(gè)關(guān)于光子能量的表達(dá)式[16].

因此線性衰減系數(shù)μ是一個(gè)關(guān)于光子能量hv的函數(shù)μ(hv) ,在深度為z處的非單能射線強(qiáng)度表示為

其中hvmax表示能譜函數(shù)n(hv) 里射線能量的最大值.

將(7)式代入(28)式,得出光子強(qiáng)度關(guān)于深度的函數(shù)關(guān)系,發(fā)現(xiàn)其仍然遵循指數(shù)衰減規(guī)律.期望質(zhì)量衰減系數(shù)τ用(29)式擬合I(z) 的函數(shù)曲線得到

其中y0表示組織深度為0時(shí)的光子強(qiáng)度.這個(gè)指數(shù)衰減表示了原射線的光強(qiáng)的變化規(guī)律.

3 結(jié)果與分析

3.1 蒙特卡羅對(duì)絕對(duì)劑量的仿真與計(jì)算

圖3所示為真實(shí)加速器(型號(hào)為Varian IX 3937)測(cè)量 PDD實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) (experiment data)與基于蒙特卡羅仿真出來PDD數(shù)據(jù)(Monte Carlo simulation)的對(duì)比,縱坐標(biāo)為以最大劑量值為單位的歸一化劑量(normalized dose),橫坐標(biāo)為水模體深度(depth).實(shí)驗(yàn)條件為6 MV的X射線、照射野面積為 10 cm × 10 cm,源皮距為 100 cm.在每個(gè)深度處兩組數(shù)據(jù)的差異小于 ± 3.6%.

圖4為上述仿真的加速器結(jié)構(gòu)下6 MV 的X射線能譜 (6 MV X-ray spectrum)及來自 (7)式的仿真函數(shù)n(hv) (fitting functionn(hv) ),縱坐標(biāo)為光子通量 (photon flux),橫坐標(biāo)為粒子能量 (energyhv).兩者的相關(guān)系數(shù)R2大于0.993,能譜數(shù)據(jù)采集于射野中心軸距離射線源100 cm處.

圖3 蒙特卡羅 PDD 與真實(shí)測(cè)量數(shù)據(jù)的對(duì)比Fig.3.Comparison of PDD between Monte Carlo simulation and experimental data.

圖4 6 MV 射線能譜及其仿真函數(shù)Fig.4.6 MV X-ray spectrum and its fitting function.

將該蒙特卡羅仿真出的加速器的射線能譜、期望質(zhì)量衰減系數(shù)τ= 0.701 以及μ0=4 和kρ=3 分別代入(6)式、(4)式與(15)式,計(jì)算得到原射線和二次射線產(chǎn)生的絕對(duì)劑量,并將其與蒙特卡羅仿真劑量做對(duì)比來驗(yàn)證算法的正確性,圖5為經(jīng)過上述算法得到的絕對(duì)劑量D(z) (calculation ofD(z))與仿真的絕對(duì)劑量 (simulated by Monte Carlo,MC)的對(duì)比,其中算法耗時(shí)約為 5 min,蒙特卡羅軟件Egsnrc耗時(shí)約為30 min,本方法的計(jì)算效率明顯高于蒙特卡羅仿真方法.D(z) 的計(jì)算沒有考慮以下因素： 1)原射線入射前的各種散射X光子和污染電子； 2)由原射線在水模體中產(chǎn)生的多次(大于二次)散射X光子.這兩個(gè)因素是仿真與計(jì)算數(shù)據(jù)在劑量建成區(qū)和指數(shù)衰減區(qū)存在差異的原因,兩者的差異曲線如圖5中黑色虛線所示.由于原射線中含有的散射X光子和電子的能量低、數(shù)目少,因素1造成的劑量差異在建成區(qū)中快速衰減[18].隨著深度z增大,射線被水模體的散射程度增加,由此造成的劑量差異在指數(shù)衰減區(qū)緩慢增加,此外,因素2造成的劑量差異還與散射校正因子(Scp)[19]相關(guān).對(duì)差異曲線利用補(bǔ)償函數(shù)fd進(jìn)行擬合,其表達(dá)式如下

擬合線性度(R2)好于0.95,通過該函數(shù)補(bǔ)償保證了上述算法計(jì)算的劑量與仿真的一致性.

圖5 蒙特卡羅仿真的絕對(duì)劑量和計(jì)算絕對(duì)劑量 D (z) 的比較Fig.5.Comparison of absolute dose between Monte Carlo simulation and calculation of D (z) .

3.2 原射線與二次射線

在上述實(shí)驗(yàn)條件下計(jì)算射野薄層m= 1的能量注量,得到該射野層原射線劑量貢獻(xiàn)(primary ray)、前向散射劑量貢獻(xiàn)(forward ray)和后向散射劑量貢獻(xiàn)(backward ray)三者隨深度z的關(guān)系,如圖6所示.是由原射線與水模體表面作用產(chǎn)生的電子造成的,可類比成以深度為0處的零射野為電子源的電子束造成的吸收劑量,所以不存在表面劑量,劑量建成區(qū)從劑量為0開始.也可以類比成電子束造成的劑量,它與的不同在于電子是由來自任意散射角的二次光子產(chǎn)生的,這意味著一定數(shù)量的電子可以到達(dá)深度為0處的位置,因此其存在表面劑量.代表的電子運(yùn)動(dòng)方向與和的相反,為了方便比較,將的圖像也放在z軸的位置.

圖6 比較由原射線產(chǎn)生的劑量 、前向散射產(chǎn)生的劑量 、后向散射產(chǎn)生的劑量 隨深度的變化Fig.6.Comparison of dose caused by primary ray ,forward scatter and backscatter with depth.

圖7 向前和向后的二次射線產(chǎn)生的劑量隨深度的變化Fig.7.Dose caused by scattered ray in forward and back directions with depth.

3.3 二次電子與二次光子的能譜

利用(9)式—(12)式之間的轉(zhuǎn)換可得到hv關(guān)于φ1和E的函數(shù)關(guān)系hv(φ1,E),并將其代入(6)式中,得到圖4所示的6 MV X射線產(chǎn)生的二次電子的能譜Φ(φ1,E) ,如圖8所示.

圖8中橫坐標(biāo)為電子反沖角 (recoil angle,Ra)φ1,其范圍為 0 ＜φ1＜ π/2,縱坐標(biāo)為電子的能量E,豎坐標(biāo)為粒子注量 (particle flux,Pf),圖中的二維圖為三維能譜圖的三視圖.當(dāng)反沖角接近0時(shí),電子的數(shù)目達(dá)到最大值,此時(shí),電子的能量為0.44 MeV.從圖8中還可以看出二次電子分布在φ1與E的數(shù)量乘積小于1的范圍內(nèi).

二次射線的能譜不同于原射線的能譜,且其在不同散射角 (scattered angle)θ1上也不盡相同.根據(jù)(7)式以及二次光子的微分截面,可以得到二次光子關(guān)于每個(gè)散射角下的能譜,其表達(dá)式如下

圖8 二次電子的粒子注量隨能量E和反沖角 φ1 的變化Fig.8.Particle flux of secondary electron with energy E and recoil angle φ1 .

圖9 二次光子的粒子注量隨能量 h v′ 和散射角 θ1 的變化Fig.9.Particle flux of secondary photon with energy h v′ and scattered angle θ1 .

根據(jù) (9)式,(32)式中的hv是關(guān)于hv′的函數(shù).

圖9為圖4所示的6 MV X射線產(chǎn)生的二次光子的三維能譜橫坐標(biāo)為光子的散射角 (scattered angle,Sa)θ1,其范圍為 0 ＜θ1＜ π,圖中二維圖為三維能譜的三視圖.當(dāng)散射角為0時(shí),光子的數(shù)目達(dá)到最大值,此時(shí)光子的能量為0.46 MeV.二次光子分布在θ1與hv′的乘積小于1.1的范圍內(nèi).

對(duì)比兩種粒子的能譜可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)電子的反沖角φ1= 0 時(shí),光子的散射角θ1= π,此時(shí),入射的光子與電子發(fā)生對(duì)心碰撞,光子的能量范圍在0—0.25 MeV,光子注量峰值約為0.55 × 10—6cm2·MeV—1,電子的能量范圍在0—5.75 MeV,電子注量峰值約為 6 × 10—6cm2·MeV—1.當(dāng)電子的反沖角φ1=π/2 時(shí),光子的散射角θ1= 0,此時(shí),入射的光子從電子旁邊掠過,光子沒有能量損失,電子注量為0.當(dāng)散射角θ1= π/2 時(shí),光子三維能譜圖中“山脊”中有一個(gè)最低點(diǎn),其代表的粒子注量為 0.5 × 10—6cm2·MeV—1,該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的光子能量為 0.17 MeV,而此時(shí)的電子反沖角φ1= 0.75,對(duì)應(yīng)電子三維能譜圖“山脊”曲線斜率絕對(duì)值的最小值.

3.4 PDD的計(jì)算與仿真

圖10為通過蒙特卡羅仿真得到的不同射野PDD與算法計(jì)算得到PDDD(z)%(以D(z) 最大劑量為單位)的對(duì)比,其中源皮距為 100 cm,射線源為圖4 所示的 6 MV X 射線.在射野 3 cm × 3 cm范圍內(nèi),計(jì)算與仿真PDD最大誤差劑量約為2%(表面劑量例外).兩者在劑量建成區(qū)及指數(shù)衰減區(qū)的差異原因在第3.1節(jié)中已指出.在大多數(shù)文獻(xiàn)中[20-22],都認(rèn)為表面劑量來自原射線中的散射線及污染電子,部分來自于組織中的后向散射[21].而后向散射貢獻(xiàn)的這一部分可由(25)式計(jì)算得到,為相對(duì)最大劑量的5%,如圖10中D(z)%與y軸的交點(diǎn).在指數(shù)衰減區(qū),射野 3 cm × 3 cm 下的蒙特卡羅仿真數(shù)據(jù)與D(z) 的計(jì)算數(shù)據(jù)的差異和4 cm ×4 cm 射野與 3 cm × 3 cm 射野蒙特卡羅仿真數(shù)據(jù)差異相似,后者主要是因?yàn)楫?dāng)射野面積增加時(shí),散射體積的增加導(dǎo)致了更多的散射線,這從側(cè)面驗(yàn)證了計(jì)算與仿真的差異在于仿真的劑量會(huì)有更多來自散射線的貢獻(xiàn).不難得出,當(dāng)照射野接近0 × 0 時(shí),D(z)%的計(jì)算值將和真實(shí)的 PDD 非常接近.

圖10 比較隨不同射野 (射野大小 3 cm × 3 cm 和 4 cm ×4 cm)變化的蒙特卡羅仿真數(shù)據(jù) D MC 與計(jì)算的 D (z)% (射野大小 3 cm × 3 cm)Fig.10.Comparison of Monte Carlo simulation PDD with different fields (field size 3 cm × 3 cm and 4 cm × 4 cm)and calculation PDD D (z)% (field size 3 cm × 3 cm).

3.5 非均勻模體劑量計(jì)算

非均勻模體由三層物質(zhì)組成,分別為水、肺、水,厚度均為 5 cm.利用圖4 所示的 6 MV 射線,射野為 3 cm × 3 cm,模體中的肺密度ρ設(shè)置為0.1,0.2,0.4 和 1 g/cm3.不同密度物質(zhì)的劑量D(z)的計(jì)算差異在于光子注量的衰減和電子能量注量的衰減的不同,對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為τ和μ2,其中τ可以根據(jù)2.4節(jié)計(jì)算.μ2的取值過程則取決于橫向電子平衡.

如果射野的尺寸不能滿足橫向電子平衡,電子會(huì)將部分能量帶到射野外,同時(shí)物質(zhì)的密度變化會(huì)改變電子的射程,也會(huì)導(dǎo)致橫向電子不平衡.6 MV射線在射野為3 cm × 3 cm剛好達(dá)到橫向電子平衡時(shí)的肺密度為ρT,當(dāng)ρ≥ρT時(shí),肺模體內(nèi)達(dá)到橫向電子平衡,(15)式 (μ2=kρ ·φ1+μ0)中kρ與μ0仍保持不變,此時(shí)肺密度的改變只改變光子強(qiáng)度的衰減程度.當(dāng)肺模體的密度ρ＜ρT時(shí),不滿足橫向電子平衡,在φ1接近 π/2 時(shí),肺模體密度越低,從射野邊緣逃逸的電子射程越大,此時(shí)μ2越小； 在φ1接近0時(shí),電子的能量注量都在模體內(nèi)沉積,當(dāng)模體密度變小時(shí),能量注量的沉積變少,此時(shí)的μ2越大.不同肺模體密度ρ對(duì)應(yīng)的參數(shù)kρ與μ0關(guān)系如表1 所列,kρ與μ0均關(guān)于ρ呈等差變化,公差數(shù)與射野大小和射線能量相關(guān).

表1 不同肺模體密度 ρ 對(duì)應(yīng)參數(shù) kρ 和μ0Table 1.Parameters kρ and μ0 of lung phantom densities ρ.

圖11所示為4種不同肺密度的PDD曲線,對(duì)比肺模體密度為0.1,0.2與1 g/cm3時(shí)的結(jié)果發(fā)現(xiàn),橫向電子不平衡帶來的劑量跌落隨著密度的降低而增大.肺模體密度0.1 g/cm3的PDD在第一個(gè)水肺交界處(如圖11中深度為5 cm處曲線所示)相對(duì)深度為10 cm的劑量跌幅約為17%,密度0.2 g/cm3的劑量跌幅約為 5%,肺模體密度 0.4 g/cm3的PDD曲線在10 cm后劑量增長(zhǎng)約為4.5%,這一結(jié)果與文獻(xiàn)[23]一致.但在深度6—10 cm處的計(jì)算劑量偏低,與文獻(xiàn)[23]差別最大為3%,這主要是因?yàn)樗惴ㄎ纯紤]到從第一層水模體中進(jìn)入肺模體的多次散射帶來的劑量貢獻(xiàn),而更小射野散射帶來的劑量貢獻(xiàn)會(huì)更小,因此圖11的計(jì)算結(jié)果與更小射野的非均勻模體PDD更加接近[24].

圖11 不同肺密度的水肺水模體的射野中心軸百分深度劑量Fig.11.Percentage depth dose of the central axis of the field of radiation in water-lung-water phantom with different lung densities.

在第二個(gè)肺水的交界面(如圖11中深度為10 cm處曲線所示),低密度肺模體PDD相對(duì)于1 g/cm3肺模體PDD出現(xiàn)明顯的劑量增長(zhǎng),這主要是因?yàn)楣庾訌?qiáng)度在低密度肺模體中衰減較少,在達(dá)到第二個(gè)肺水交界處后光子強(qiáng)度相對(duì)較高.此處與射線從空氣入射到水模體中類似,會(huì)在水下出現(xiàn)第二個(gè)最大劑量點(diǎn),而這個(gè)最大劑量點(diǎn)相對(duì)深度低于第一層水模體的最大劑量點(diǎn)深度1.5 cm,這是由于6 MV射線在第二個(gè)最大劑量點(diǎn)處由于射線的衰減能譜發(fā)生變化,低能射線的成分增加,次級(jí)電子的射程變短.

圖12所示為在深度為7和11 cm處采集的離軸比曲線,所有離軸比劑量均以肺密度為1 g/cm3的水肺水模體在離軸0 cm處劑量為單位.在深度7 cm 處,密度為 1 g/cm3肺模體對(duì)應(yīng)的離軸比曲線在射野邊緣劑量跌落幅度最大,跌落幅度隨著密度的減小而減小,與高密度的離軸劑量相比,較低密度的離軸劑量在射野邊緣會(huì)更快進(jìn)入劑量跌落狀態(tài),因?yàn)檩^低密度模體的射野內(nèi)電子會(huì)因?yàn)闄M向電子不平衡將部分能量帶離射野.同時(shí)還可以發(fā)現(xiàn),在射野外,低密度的肺模體劑量明顯高于1 g/cm3肺模體對(duì)應(yīng)的劑量,這是由于低密度肺模體的電子能量注量流失到射野外,流失的這部分能量注量隨著密度的降低而增加.在深度為11 cm水模體處,來自較低密度肺模體的劑量因?yàn)楣庾訌?qiáng)度衰減較少明顯高于較高密度的劑量,此時(shí)電子橫向平衡被恢復(fù),來自各個(gè)密度肺模體的射野外劑量變化規(guī)律保持一致.

圖12 不同模體深度處的離軸比曲線 (a) 7 cm； (b) 11 cmFig.12.Off-axis ratio curves at different phantom depths：(a) 7 cm； (b) 11 cm.

4 結(jié) 論

本文通過構(gòu)建放療過程中劑量形成的物理模型來得到吸收劑量的數(shù)學(xué)算法.加入補(bǔ)償函數(shù)后,該算法計(jì)算得到的吸收劑量與蒙特卡羅仿真的結(jié)果相符,利用該算法計(jì)算了在一定射野范圍內(nèi)不同組織深度處的吸收劑量,在計(jì)算中考慮了非單能射線的能譜及二次散射線.其中補(bǔ)償函數(shù)在劑量建成區(qū)呈現(xiàn)快速衰減,在指數(shù)衰減區(qū)呈緩慢上升趨勢(shì),前者是一個(gè)與原射線中的散射線和電子相關(guān)的變量,后者是一個(gè)與康普頓效應(yīng)產(chǎn)生多次(大于二次)散射射線相關(guān)的變量.因此該算法能保證與仿真結(jié)果的一致性,且相比蒙特卡羅仿真耗時(shí)更短.

討論了每一深度處由原射線及二次散射線對(duì)射野中心軸產(chǎn)生的劑量貢獻(xiàn),并分別討論了前向散射和后向散射.其中后向散射的劑量貢獻(xiàn)呈指數(shù)衰減規(guī)律,前向散射的劑量貢獻(xiàn)是一個(gè)先上升后下降的函數(shù),發(fā)現(xiàn)模體表面劑量部分來自組織中的后向散射,并計(jì)算出這部分所占比例.發(fā)現(xiàn)了二次散射線的劑量貢獻(xiàn)在偏離作用點(diǎn)處存在峰值.在此研究中,得到了醫(yī)用6 MV X射線產(chǎn)生的二次光子和二次電子的三維能譜,該能譜是粒子注量與粒子能量和方向相關(guān)的函數(shù).對(duì)比兩種粒子的能譜,發(fā)現(xiàn)兩者的粒子注量的分布在較小方向角和較小的能量范圍內(nèi)更為集中,并分析了三種散射角或反沖角下光子與電子的特征差異.

對(duì)非均勻模體的劑量計(jì)算中發(fā)現(xiàn),電子在低密度肺模體有更大的射程,因此電子的能量注量衰減系數(shù)相比密度較高的更小,本研究在計(jì)算中考慮到了該系數(shù)隨著密度和電子運(yùn)動(dòng)方向角變化,同時(shí)調(diào)整不同密度模體中光子強(qiáng)度衰減系數(shù),準(zhǔn)確計(jì)算了由于不同密度肺模體帶來橫向電子不平衡的PDD曲線和離軸比曲線.通過對(duì)比MC仿真PDD數(shù)據(jù)和對(duì)比他人研究非均勻模體劑量分布發(fā)現(xiàn),本算法在小射野PDD的計(jì)算上有更小的誤差.