多層膜磁性微泡的非線性聲振動特性*

趙麗霞 王成會 莫潤陽

(陜西師范大學,陜西省超聲重點實驗室,西安 710119)

超順磁性氧化鐵納米粒子與造影劑微泡結合形成磁性微泡,用于產生多模態造影劑,以增強醫學超聲和磁共振成像.將裝載有納米磁性顆粒的微泡包膜層看作由磁流體膜與磷脂膜組合而成的雙層膜結構,同時考慮磁性納米顆粒體積分數α對膜密度及黏度的影響,從氣泡動力學基本理論出發,構建多層膜結構磁性微泡非線性動力學方程.數值分析了驅動聲壓和頻率等聲場參數、顆粒體積分數、膜層厚度以及表面張力等膜殼參數對微泡聲動力學行為的影響.結果表明,當磁性顆粒體積分數較小且α ≤ 0.1時,磁性微泡聲響應特性與普通包膜微泡相似,微泡的聲頻響應與其初始尺寸和驅動壓有關； 當驅動聲場頻率f為磁性微泡共振頻率f0的2倍(f = 2f0)時,微泡振動失穩臨界聲壓最低； 磁性顆粒的存在抑制了泡的膨脹和收縮但抑制效果非常有限； 磁性微泡外膜層材料的表面張力參數K及膜層厚度d也會影響微泡的振動,當表面張力參數及膜厚取值分別為0.2—0.4 N/m及50—150 nm時,可觀察到氣泡存在不穩定振動響應區.

1 引 言

將超聲造影劑微泡(microbubble,MB)與超順磁性氧化鐵納米粒子(superparamagnetic iron oxide nanoparticles,SPIOs)結合形成的混合劑-磁性微泡 (magnetic microbubble,MMB)[1],是一個將對現代醫學診斷產生深遠影響的新概念[2].MMB兼具MB和SPIOs兩者各自特性,可同時用作超聲造影 (ultrasound imaging,UI)與磁共振成像 (magnetic resonance imaging,MRI)對比劑.在臨床診斷中,UI與MRI是兩種互補的病理鑒別技術,使用MMB這種多模態造影劑,單次注射可同時用于多個造影增強成像技術,快速獲取UI的組織灌注及MRI的器官結構信息用以對病情快速診斷.多模態對比劑的開發正成為提供更有價值的診斷信息和治療方案的重要途徑.另一方面,自Stride等[3]證實MMBs在磁聲共同作用相比于單獨應用可獲得更高的基因轉染率后,將MMBs用于生物發光標記物、核酸治療試劑及藥物遞送的活體和離體實驗也分別取得成功[4,5]； 磁聲組合的磁性微泡血栓溶解[6-8]和癌癥治療[9]等方面近年也取得很好的效果.MMB作為集診斷與治療于一體的新型微泡制劑所展現出的巨大應用潛力而成為研究熱點.

無論作造影劑還是輔助治療,MMB在可變壓力場作用下的動力學不僅是其診療應用的基礎,也是進行功能優化結構設計及拓展應用的前提.MMB生產制備中,MB膜層與SPIOs的結合一般通過靜電吸附、化學鍵連或物理鑲嵌等方式,不同結合方式形成的包膜結構和物理特性不同.Sciallero等[10]對SPIOs與外殼共價連接及被束縛在外殼中兩類MMB的聲特性進行了實驗表征,認為兩者都是有效的超聲造影劑,但殼結構對成像過程中的回聲強度和探測靈敏度有明顯影響.Gu等[11]對MMB的諧波響應和空化活性進行了實驗研究,發現SonoVue微泡的穩定空化閾值和慣性空化閾值與SPIOs濃度為某一定值時的MMB測量值相似,表明欲提高MMB的診療性能,需對其殼層如厚度及顆粒體積分數等進行合理設計.Marlies等[12]在對MMB的聲壓閾值測試中,發現其共振曲線隨聲壓增大明顯傾斜,非線性振動特性增強.這些實驗從不同程度上有助于認識MMB的聲特性,但MMB作為一種新型造影劑,在超聲成像和藥物輸送中的動態特性尤其是非線性振動行為仍缺乏全面的了解.

為更好地了解MMB的聲響應特性及SPIOs的影響,Mulvana等[13]利用數值方法在洞察微泡動力學機制方面的優勢,如可提供詳細、非破壞性且高效的在體或離體很難觀察到的力學過程[14-16],假設MMB膜層為均勻分布有球形磁性納米顆粒的疏水性黏性流體,在Church[17]模型基礎上,發展了較為簡單的磁性單層膜微泡動力學理論模型,分析了MMB在聲場中的體振蕩特性,認為SPIOs主要影響微泡的諧波響應.然而,Mulvana等在發展MMB模型過程中,僅考慮顆粒介入引起的包膜材料密度的變化.按照磁流體理論,SPIOs不僅改變磁流體密度,同時還改變了磁流體的黏度及彈性.膜結構和特性是影響泡動力學的關鍵,隨制備技術的發展MMB出現多種結構,常見的有SPIOs分散在內殼油層內、嵌入在脂質膜層殼上及非共價結合在微泡外表面等[18],因此發展能夠更為適當地描述多層膜結構MMB聲響應的數學模型,通過理論方法探討顆粒的存在對微泡振蕩的影響,MMB在超聲作用下的運動以及其與普通MB是否存在顯著差異等問題不僅有趣且極為重要.

MMB的另一個重要特性就是因SPIOs的存在具有磁性及磁場響應.磁聲場同時存在時,因多場疊加及耦合作用使MMB行為極為復雜化,為使問題簡化Malvar等[19]采取磁流體力學方法,將泡的磁場響應問題轉化為磁流體中氣泡動力學來研究,發現足夠強的磁場對氣泡振動有一定抑制作用.Mo等[20]也發現在相同驅動聲場作用下,磁場對水中泡的振動影響很小.因此研究泡的徑向振動特性時可暫時不考慮磁性以及磁場的影響.

本文目的是在不考慮外磁場條件下,構建具有雙層膜結構的MMB動力學理論模型,通過數值方法研究其聲響應及SPIOs含量對泡的動力學的影響.在考慮MMB基本結構基礎上,建立圖1所示雙層膜模型,同時考慮磁性顆粒對流體膜層密度和黏度的影響,構建雙層膜磁性微泡動力學方程.使用微擾法對磁性微泡的動力學方程進行一階線性化,并用數值方法分析驅動聲場參數、SPIOs體積分數、表面張力和膜層厚度等對MMB振動非線性的影響.

圖1 磁性微泡幾何模型.1-空氣,2-磁流體層,3-磷脂薄層Fig.1.The geometric model of MMBs.1-air,2-magnetic fluid,3-thin layer of phospholipid regardless of thickness.

2 理論模型

圖1所示MMB雙層膜結構模型.氣核1被雙層膜包裹； 內層膜2為磁流體層,其基液為疏水性油酸,SPIOs均勻分散其中； 外層膜為疏水性磷脂層,泡外為無限大液體.假設磁泡初始內、外半徑分別為R10和R20,磁流體膜層2厚度為d,磷脂薄層3厚度很小可忽略,于是微泡膜層厚度即為磁流體層厚度.膜層磁流體和泡外無限大液體均為不可壓縮牛頓流體,磁流體密度和黏度分別為ρs和ηs,由疏水性油酸基液和所載磁性納米顆粒密度和黏度共同決定,基液密度和黏度分別用ρo和ηo表示.密度為ρnp的SPIOs均勻分散在基液中,為避免顆粒團聚需對其體積分數進行控制,參照MMB相關制備文獻數據[21]估計,α值一般不超過0.1,此時顆粒間相互作用可忽略不計.磁流體密度ρs與α間存在關系ρs= (1—α)ρo+αρnp,ηs滿足 Einstein方程ηs=ηo(1 + 2.5α)[22].無限大液體的密度和黏度分別為ρl和ηl,磷脂薄層黏度為ηs0,不考慮膜層內外質量交換,磁泡僅作徑向振動且在膨脹、收縮期間始終保持球形.

設磁流體膜層厚度d?R1,微泡振蕩過程中d變化很小可視為常量,同時在振蕩過程中殼層體積VS始終保持不變,即

則

考慮連續介質動力學方程為[23]

其中ρ,ν,p,σ分別是介質密度,質點速度,壓強,黏性應力張量,在球坐標系下,只考慮徑向振動,此時速度vr=v,vθ=vφ= 0,故徑向動力學分量式為

式中,σrr,σθθ,σφφ分別是黏性應力張量在球坐標系下的徑向、切向及φ角方向分量.

對于不可壓縮黏性流體,其黏性應力張量滿足如下關系[24]：

則不可壓縮黏性流體的徑向黏性應力張量可表示為

將(6)式代入(4)式得

由邊界處壓力的平衡條件,在邊界r=R1處,作用在內表面膜層一側的壓力為

由于泡內氣體壓力等于包膜層一側的壓力,得到邊界條件：

在r=R2處,因包膜層外包裹一層不計厚度的磷脂分子薄層,磷脂分子數對R2處外表面的影響包含兩部分,分別為引起外側膜層黏性及表面張力的影響,具體定量關系如下[13]：

ηs0和K分別為引起邊界R2處表面黏性項和表面張力項變化的比例常數,同理由膜層內外壓力相等的條件可以得到邊界條件：

其中PG(R1,t)=PG0(R10/R1)3γ,PG(R1,t)是內部氣體壓力,PG0是泡內初始平衡氣壓；P0是外界靜壓；σ1和σ2分別為內外表面張力系數；γ為氣體多方指數；PS(R1,t),PS(R2,t)分別是R1,R2處膜層側的壓力；σS,rr,σL,rr分別為包膜內、外流體黏性應力分量.

結合邊界條件,對(7)式從R1到∞積分得：

式中,

其中PG0=P0+ 2σ1/R10+ 2σ2/R20,P∞=P0+Pd(t) =P0+Pasin(2πft),Pa是聲壓幅值,f是驅動頻率.

于是,MMB動力學方程可表示為

將(15)式進行線性化近似,此時微泡內、外半徑可表示成如下關系：

式中,|ξ|?R10.將 (16)式代入 (15)式得

(17)式即為小振幅驅動聲場下、線性化后的MMB動力學方程.其中δ表示振動系統阻尼系數,ω0為固有圓頻率.從它們各自的表達式可以間接看出,磁性顆粒的存在增大了振動系統的阻尼,降低了微泡的固有頻率f0(f0=ω0/2π).

從(15)式和(17)式可看出,在周期性外聲場驅動下的磁性微泡,其振動特性不僅受聲場參數包括聲壓幅值Pa和驅動頻率f的影響,還與微泡本身參數有關,包括微泡初始半徑R20、包膜層上磁性顆粒的體積分數和膜層材料等.由ω0表達式可以看出,初始半徑相同的磁性微泡,α引起的膜層密度及黏度變化、K值及膜層厚度d共同決定磁性泡的固有頻率.磁性顆粒的結合增大了膜的密度和黏度,因而導致磁性微泡的共振頻率下降.同時,磁性微泡膜殼黏彈性一定程度增加了振動阻尼,也會對磁性泡振動系統特性產生影響,所以有必要去分析聲場條件及微泡自身參數對微泡振動的影響.

3 數值分析與討論

以水為工作介質,利用龍格-庫塔法求解磁性微泡動力學方程.微泡振動非線性方程的解在經過初始的暫態過程達到穩定,采用分岔圖、振動相圖、功率譜圖及龐加萊截面圖描述聲場中磁性微泡振動特性.數值分析中所涉及的基本參數為：σ1= 0.04 N/m,σ2= 0.005 N/m,γ= 4/3,ρl=103kg/m3,ρnp= 5.1 × 103kg/m3,ρo= 0.7 ×103kg/m3,P0= 105Pa,ηl= 10—3Pa·s,ηo= 8 ×10—3Pa·s,ηs0= 4.5 × 10—9kg/s.

3.1 聲場參數響應

超聲診療應用中驅動聲壓是重要控制參數之一.通過MMB在大范圍聲壓幅值內所表現出的混沌運動及非線性運動以及所引起的諧波成分,能更多更全面了解其聲響應特性.控制MMB基本結構參數d= 100 nm,α= 0.1,K= 0.3 N/m 保持不變,分析驅動聲壓幅值從0—500 kPa連續變化,R20= 5 μm (f0= 0.85 MHz)微泡分別在f0/2,f0,2f0聲頻激勵下,微泡R2/R20隨驅動壓Pa變化規律,結果見圖2(a)—(c).隨著驅動壓幅值增加,微泡振動由周期1過渡到周期2、再進入周期4,隨后進入混沌,也就是說微泡經由倍周期分岔發展為混沌運動.對比圖2(a)、圖2(b)及圖2(c)發現,倍周期分岔所對應的臨界聲壓隨驅動聲頻率變化有所不同,f=f0時最大而f= 2f0時最小.另外,f=f0/2 時聲壓閾值介于f=f0和f= 2f0兩者之間,但此時微泡混沌響應最為強烈且在混沌區域微泡振幅急劇增大.

微泡作為一個非線性受迫振動系統,當驅動聲壓連續變化到某個臨界值時系統出現分岔,振動圖出現分岔意味著系統全局性態突變、展示出非線性特性,該臨界聲壓可能與磁性微泡的空化閾值相關.f=f0時穩定振蕩區域最寬,f=f0/2 更容易發生混沌,f= 2f0發生振動失穩臨界聲壓最低但混沌臨界壓最大,普通微泡在2f0驅動下具有最小的次諧波閾值的結論已得證實[25],可見磁性微泡有與一般包膜泡相似的聲壓響應規律.

對任意一個非線性振動系統,超諧波響應總是或多或少存在,而次諧波行為僅在驅動壓超過某閾值時才存在,因此次諧波分量出現被認為空化發生的重要標志[11],為此,通過功率譜和龐加萊截面分析上述微泡在共振激勵下的運動細節,當Pa分別取 100,255 和 350 kPa 時結果分別對應圖3(a)—(c)和圖3(d)—(f).對比功率譜發現,從開始僅有f0和 2f0兩個分立譜 (圖3(a)),到Pa= 255 kPa 時除了f0和2f0又增添了f0/2及其他諧波成分(圖3(b)),最后Pa= 350 kPa 時又出現新的f0/5,2f0/5 等多個分諧波成分(圖3(c)).隨著驅動壓增大分諧波成分增多,對應龐加萊截面圖上的離散點也從1到2再到有限個點集.功率譜圖和龐加萊截面聯合判定,微泡從開始的穩定周期振蕩到不穩定周期振蕩、最后進入到混沌運動.Pa= 255 kPa 時f0/2 的出現表明此時可能發生不穩定空化； 隨著聲壓的繼續增大、更多無規律分布的頻率成分出現,在龐加萊截面表現為一定層次結構有限點密集分布,運動呈現混沌特性.Sciallero 等[10]實驗表明：MMB線性振蕩區間為50—100 kPa,非線性區域為 120—450 kPa,與本文理論預測結果一致.微泡診療應用中可根據需求設置聲參數,實現在輸運過程中微泡處于穩態振動以輔助超聲診斷,或在微泡到達目標位置后調節驅動聲波壓力促使微泡處于混沌態促進載藥體釋放或治療.

圖2 聲壓響應分岔圖 (R20 = 5 μm) (a) f = f0/2； (b) f = f0； (c) f = 2f0Fig.2.Bifurcation diagram of an MMB with pressure amplitude for R20 =5 μm： (a) f = f0/2； (b) f = f0； (c) f = 2f0.

圖3 基頻激勵時 MMB 頻譜圖 ((a)—(c))和龐加萊截面圖 ((d)—(f)) (R20 = 5 μm) (a),(d) Pa = 100 kPa； (b),(e) Pa =255 kPa； (c),(f) Pa = 350 kPaFig.3.Spectra diagram and Poincaré cross-section of an MMB at f = f0 (R20 = 5 μm)： (a),(d) Pa = 100 kPa； (b),(e) Pa =255 kPa； (c),(f) Pa = 350 kPa.

微泡大小是其診療應用的關鍵參數之一.驅動壓一定且Pa= 150 kPa 時,初始半徑分別為 3,4及5 μm磁性微泡(其本征頻率依次為1.60,1.11及0.85 MHz)頻響曲線見圖4(a)—(c).在低于微泡共振頻率的低頻區存在不穩定頻響區,此時驅動聲波頻率的微小變化將引起R2/R20的跳躍,跳躍的幅度一定程度上反映微泡振動過程中能量轉換能力的強弱,是振動非線性及諧波共振疊加的綜合體現.特別地,當R20= 5 μm 時沿著頻率增大方向,微泡從混沌經倍周期最后進入穩定周期1運動,呈現倒分岔特性(圖4(c)),表明微泡混沌運動發生在低頻區域,在該區域選擇聲頻率參數可提高超聲治療效果.對比圖4(a)、圖4(b)及圖4(c)發現,隨初始半徑增大,跳躍點增多且跳躍幅度增大、振動非線性更為強烈,一般磁性微泡的尺寸都在5 μm以下[26]； 對初始尺寸一定的微泡可通過控制聲波頻率使其做穩定周期振動或混沌運動.

圖4 不同尺寸 MMB 頻響曲線 (Pa = 150 kPa) (a) R20 = 3 μm； (b) R20 = 4 μm； (c) R20 = 5 μmFig.4.Bifurcation diagrams of an MMB with driving frequency as the control parameter at Pa = 150 kPa： (a) R20 = 3 μm； (b) R20 =4 μm； (c) R20 = 5 μm.

圖5 混沌態微泡振動相圖 (Pa = 150 kPa,R20 = 5 μm) (a) f = 350 kHz； (b) f = 381 kHz； (c) f = 550 kHzFig.5.MMB phase diagram in chaotic motion (Pa = 150 kPa,R20 = 5 μm)： (a) f = 350 kHz； (b) f = 381 kHz； (c) f = 550 kHz.

值得注意的是,圖4(c)所展示出的微泡在驅動壓一定條件下的倒分岔頻率響應特性,與圖2所展示的在固定聲波頻率時響應是截然不同的,表明磁性微泡對驅動頻率響應具有復雜性.經對圖4(c)混沌區觀察發現,該區域呈現出一定準周期性且每個周期的局部似乎都有與整體相似的倒分岔結構.若局部與整體有自相似結構,則表明混沌區是無限多個倍周期分岔的結果[27].為進一步考察微泡頻率響應的細節,在圖4(c)中令f在一個小范圍取值如取f分別為 350,381 及 550 kHz,圖5(a)—(c)給出所相應的振動相圖.當f= 350 kHz 時,相圖上存在無數條相軌跡且這些軌跡疏密不均勻,奇點數目(速度、加速度均為零的點)眾多,表現出強烈的混沌運動特性 (圖5(a))； 當f=381 kHz 時,奇點數目迅速減少,極限環中出現近鄰軌跡跳躍現象,其原因主要應歸于微泡倍周期振動的非線性(圖5(b))； 當f= 550 kHz 時,微泡相軌跡是一曲線環僅有2個奇點(圖5(c)),此時微泡做線性等幅振動.可見,驅動頻率在一個非常小的變化范圍,微泡的運動也是從混沌按倍周期分岔途徑、向單極限環過渡的過程,呈現出與整體相似的倒分岔特性,證實混沌區是無限多個倍周期分岔的結果.

3.2 顆粒體積分數 α 的影響

前面討論了裝載有確定體積分數磁性顆粒(α=0.1)微泡的振動特性,另一個更為有興趣的問題是,SPIOs的數量如何影響微泡的振動行為,同樣聲場條件下載磁和無磁微泡振動特性的差別.以磁性納米顆粒體積分數α= 0作為參照組進行對比,分析微泡 (R20= 5 μm,d= 100 nm,K= 0.3 N/m)在Pa= 150 kPa,f= 500 kHz 時對α的響應,結果見圖6所示.圖6中兩條黑色實線代表微泡做周期2運動,線條附近的點代表在特定頻率下微泡振動出現小的擾動.從兩條線的變化趨勢看,R2/R20在α= 0時有最大值,隨著α增加R2/R20線性的緩慢的下降,表明顆粒的存在一定程度上抑制了泡的振動,但這種影響總體來看比較小.另外,在α的一些離散取值點R2/R20出現波動且α較大處波動稍顯密集,可能與微泡振動的隨機不穩定性有關.

3.3 K值的影響

與磷脂膜張力相關的常數K的取值取決于膜層材料特性,(15)式中雖未考慮磷脂薄層厚度,但卻考慮了其所引起的外表面張力變化的影響并通過控制K值體現.圖7 顯示Pa= 150 kPa,f= 350 kHz,K在 0—2 N/m 范圍內變化時R2/R20響應分岔圖.K在 0.2—0.4 N/m之間磁性微泡存在一個不穩定響應區,大于0.4 N/m或小于0.2 N/m其影響較小.對油基磁流體為內膜層的磁性微泡,可通過選擇合適的外膜層材料控制其聲響應.

圖6 α 對 R2/R20 的影響Fig.6.R2/R20 responses to α.

圖7 K 值響應Fig.7.MMB responses to K.

3.4 膜層厚度的影響

微泡膜層厚度也會對其振動產生影響,圖8給出f= 350 kHz,Pa= 150 kPa,R20= 5 μm,α=0.1,K= 0.3 N/m 時微 泡 的R2/R20—d變化 規律.當d在17 nm以下時泡做穩定的周期1振蕩,隨著d逐漸增大振蕩失穩進入混沌運動,在300 nm附近通過倍周期分岔返回穩定周期運動,可見膜層厚度在50—150 nm附近有利于微泡的諧波響應.

圖8 膜厚響應Fig.8.MMB responses to film thickness.

4 結 論

磁性微泡聲響應是進行微泡功能設計、制備組裝及超聲成像的基礎,以磷脂層為外膜、裝載有超順磁性納米顆粒的磁流體為內膜,構建了一種新型雙膜層磁性微泡動力學理論模型.通過數值方法探究了聲場參數(壓力和頻率)、磁性納米顆粒體積分數及膜層參數(厚度、材料特性)等對微泡振動的影響.得到以下結論： 1) 磁性顆粒的體積分數不超過0.1時,磁性微泡與一般包膜泡具有相似的聲特性,2f0驅動下具有最小的諧波閾值,對驅動聲波頻率的響應與微泡初始尺寸和驅動壓有關； 2) 磁性顆粒的存在抑制了微泡的膨脹和收縮,但這種抑制作用非常弱； 3) MMB外膜層材料表面張力參數K及膜層厚度d也會影響應泡的行為,K在0.2—0.4 N/m、磁性微泡膜層厚度在50—150 nm附近有利于諧波響應.以上結論可為功能化磁性微泡的設計和診療應用提供有益支持和參考,同時該理論模型還可用于磁性微泡空化閾值及諧頻響應預測.本研究主要關注單個MMB對時間尺度在(～1—10 μs)附近超聲的響應動力學,理論模型忽略了液體流動時泡的平移及聲輻射力,同時假設沒有外磁場作用,然而在發展基于磁性微泡的治療方案中,在聲場和磁場共同作用下磁性微泡可同時保持磁性和聲學特性,而磁場作用下對磁流體膜層產生磁壓縮,定量分析磁場對MMB的振動行為正是我們目前正在進行的工作,后續將對其進行更詳細的討論.