非對稱自旋-軌道耦合系統的多體量子相干含時演化*

邵雅婷 嚴凱 吳銀忠 郝翔

(蘇州科技大學物理科學與技術學院,蘇州 215009)

本文以具有非對稱性自旋相互作用的三體自旋系統為研究對象,重點研究了三體量子相干含時演化規律.采用精確量子對角化和基于量子主方程的數值模擬方法,討論了三體量子系統中多種量子相干組分及其退相干.研究發現,量子相干組分的含時演化與整個系統的初態量子特性緊密相關.當初態為可分離純態時,在較短時間內,非對稱相互作用有利于增加多體量子相干度.這些量子相干度因受噪聲影響而逐漸衰減.當初態為類Werner態時,量子相干度的分布滿足加和性,即三體量子相干度等于所有兩體量子相干度之和.自旋之間非對稱相互作用和環境噪聲都會引起三體量子相干度大于所有兩體量子相干度之和.這些結論有助于多體量子資源的制備.

1 引 言

作為重要的量子資源,量子相干[1-3]已被廣泛應用在量子信息處理[4,5]、量子測量[6]和生物物理[7]等領域.根據量子態疊加原理,量子相干可以表征物理系統的非經典特性.一方面,由于量子相干可以是單個系統中不同能態的疊加,人們通過實驗可以觀測到不同能態的振蕩現象.另一方面,量子相干也包含在多個系統之間,表現出一種非經典關聯,與量子糾纏和量子失協都存在緊密聯系.在量子光學領域中,人們通常用光場相空間分布和多點關聯函數來描述光場的量子相干性.利用光子偏振態的相干疊加,人們可以觀測到量子干涉條紋,為實驗測量量子相干性提供了一種有效方法.隨著量子調控技術的發展,人們對量子相干開展了豐富的理論和實驗研究,研究對象從量子光學系統擴展到固態自旋系統和光學混合量子系統[8,9]等.這些量子相干系統已經從單體二維封閉系統[10]發展到多體高維開放系統[11].同時,人們將量子相干資源與量子熱力學[12]、量子相變[13]、量子退相干[14]和量子耗散[15]等理論緊密相聯,利用量子相干度闡述了一些重要量子現象的產生機理.為了定量評價物理系統的量子相干性,2014年Baumgratz等[16]基于量子資源理論提出了一些有效的量子相干度量方法,和作為量子相干度量應滿足的必要條件.一些常用判據被用于量子相干度量,如基于l1范數[17,18]的量子相干度量、基于相對熵[19,20]的量子相干度量和基于其他量子態距離判據[21]的度量方法.

目前,人們非常關注多體系統的量子相干分布特性[22]和動力學特性[23].一方面,這些量子相干特性可以用來解釋多體系統的集合特性(如量子相變)； 另一方面,不同量子相干組分的含時演化可以幫助人們更好地理解量子資源在時空的分布規律,為發展量子網絡通信提供必要的量子資源.于是,一些典型量子多體系統,如量子自旋系統[24-26]、光學混合量子系統、甚至一些生物系統[27]都成為了多體量子相干性的研究對象.其中,海森堡自旋系統[28]的量子相干就是一種具有代表性的多體量子相干.最近,人們討論了量子相干對基于海森堡XXX自旋工作物質的量子熱機效率的影響[29].在海森堡自旋系統中,人們分析了不確定性關系及量子相干性的聯系[30],定量評價了海森堡XY自旋系統的量子相干非局域優勢及量子相變表征[31].在這些研究工作中,人們都考慮了由于自旋軌道耦合引起的非對稱Dzyaloshinsky-Moriya (DM)相互作用[32,33].然而,任何系統都會不可避免地與周圍環境發生相互作用,這種作用將引發量子退相干和量子耗散.于是,我們以具有非對稱自旋DM相互作用的多體量子系統為研究對象,分析多體量子相干組分的含時演化規律,討論環境噪聲對多體量子相干組分的影響,揭示量子相干的時空分布特性.

本文借助精確對角化[34]和量子主方程數值計算方法,定量研究了具有非對稱自旋-軌道耦合作用的三體系統量子相干.研究發現,存在一類多體量子相干態,其整體量子相干度與任意兩組分量子相干度之和具有一種緊密聯系.首先,介紹了具有非對稱相互作用的量子自旋系統模型,通過對三體系統的精確對角化,解析得到了量子相干態的含時演化規律； 基于l1范數定量分析了多種組分與整體量子相干度之間的關系,證實了量子相干加和性的存在條件.其次,采用量子主方程數值計算方法,研究了退振幅型量子噪聲對多體量子相干組分的影響.最后,得到了一些有效結論,這些研究結果有助于規模化量子相干的制備,為量子通信網絡提供必要的量子資源.

2 系統模型

本文考慮一種具有自旋-軌道耦合相互作用的多體非對稱量子自旋系統.在半導體量子點和分子磁體中,自旋-軌道耦合產生的相互作用是一種典型的非對稱作用,通常描述導帶電子的相互作用形式[35-37].這種模型可以用來研究固態量子系統的磁性特征和量子臨界現象等[38].人們也可以利用微腔耦合系統模擬實現該模型,用于量子態遠程傳輸和量子通信網絡[39,40].在外磁場中,系統模型的哈密頓量表示為

其中J表示自旋之間量子隧穿的相互作用強度,γ為相鄰自旋之間各項異性耦合參數,D為自旋與軌道耦合的非對稱參量,h為沿z方向的外磁場強度,,σi為第i個自旋的上升(下降)算子和Pauli自旋算符.其中,每個自旋態滿足σz|1 (0)〉=±|1(0)〉.考慮一種簡單情況N=3 ,D=Dez.通過對三體自旋系統的研究,可以得到一些多體量子相干的空間分布特性.

首先,通過精確對角化,在自旋表象{|111〉,|110〉,···|000〉}中,得到(1)式的能量本征值及其相應本征態：

其中,參量

這里,ρ(0) 表示系統初態.

選取兩種初態： 類Werner態和類GHZ態.其中,整個系統的基態符合類Werner態特征,是一種典型的非經典態.首先,以類Werner態為系統初態,即ρ(0)=|φ〉〈φ|,|φ〉=a|001〉+b|010〉+c|100〉(|a|2+|b|2+|c|2=1 ).由于系統哈密頓量滿足對易關系所以此時系統態的演化發生在希爾伯特子空間{|001〉,|010〉,|100〉}里,任意t時刻量子態滿足ρ(t)=|ψ(t)〉〈ψ(t)|.利用(2)式和(3)式得到,

這里的幺正操作S,

為了研究多體量子相干的空間分布特性,分別計算了任意兩體系統量子態的約化密度矩陣及其量子相干度.采用l1相干性范數來計算量子相干,

即密度矩陣的非對角元素絕對值之和.Baumgratz等[16]基于量子資源理論,提出了一種便于計算度量的量子l1相干性范數判據.對于d維希爾伯特空間,選取固定基矢{|i〉}來表示量子態,人們將定義為非相干態.密度矩陣的非對角元素就包含了系統的量子相干性.相比其他判據,這種相干性范數不僅更加直觀,而且滿足量子相干判據的基本條件,如非負性、單調性和凸函數性等性質.利用(5)式,得到任意兩組分的量子相干 ,同時,當系統初態為類Werner態時,單個自旋的量子相干為零,并且三體量子相干表示為

(6)式表明： 對于類 Werner態,系統在非對稱性相互作用下,三體量子相干度與任意兩體量子相干度之間滿足一種加和性.對于一般情況N＞3 ,根據(1)式描述的哈密頓量特性可以得到某個N體類Werner態,其中|1i〉=|00···1···0〉表示第i個自旋格點為|1〉且其余格點為|0〉.利用(5)式的相干性范數判據,可以得到整個多體系統的量子相干度Ctot=任意兩體量子相干度與整體系統量子相干度也滿足這種加和性,即然而,當初態選取類 GHZ態,(0＜q＜1)三體量子相干度cos(6ht),任意兩組分的量子相干度總為零.這個結論進一步表明： 類GHZ態是一種不可區分的真實多體量子糾纏態,任意兩組分之間量子關聯為零.多體量子相干度的空間分布依賴于不同初態的性質.

3 量子退相干

在實際情況下,系統總是與周圍環境存在相互作用,其量子相干特性往往在環境影響下發生量子退相干.接下來考慮一種典型的量子退振幅噪聲,采用量子主方程和量子Kraus算符,討論噪聲因素對多體量子相干度的影響.

關于非對稱自旋系統,合理考慮每個量子自旋i與其定域性環境Ei存在弱耦合作用,這種相互作用可以用量子退振幅噪聲模型來描述[41].為了有效描述這種量子噪聲模型,人們通常采用量子主方程和量子信道來研究噪聲對量子系統含時演化的影響.自旋系統與周圍環境初態為ρSE=ρ(0)?(|000〉E〈000|),其 中|000〉E=|0〉E1?|0〉E2?|0〉E3表示三個定域性環境初態為真空態,ρ(0) 表示三個自旋系統初態.在弱耦合近似條件下,整個自旋系統狀態演化可以通過量子主方程描述：

其中,超算符Lindblad算符表示為

這里,n表示有限溫度環境的平均光子數,當溫度越高時,n的數值越大.Γi=Γ表示每個自旋自發衰減的阻尼系數.這些噪聲因素會影響自旋系統的演化.

為了說明噪聲對多體量子相干度的影響,首先考慮一種最簡單情況,J=0,h=0 ,即自旋間相互作用為零.整個量子態演化可以由量子Kraus算符表示為

其中,關于第i個自旋演化的量子Kraus算符分別是：

利用Kraus算符,得到任意自旋演化過程,

根據量子相干度計算公式(5)式,選取類Werner態為初態,得到三體量子相干度和任意兩組分量子相干度為：

如果系統初態選擇類GHZ態,那么在環境噪聲影響下,任意t時刻的量子相干度為其他兩體量子相干仍然為零.當自旋相互作用為零時,初態處于類Werner態的系統,其量子相干空間分布仍然滿足(6)式所描述的加和性.而且,量子相干度隨著時間呈現指數衰減規律.噪聲參數p越大,量子相干數值衰減得越快.

然而,當自旋之間存在非對稱性相互作用時,利用量子主方程的數值計算,發現三體量子相干度與任意兩組分量子相干之和存在差異.當初態為|001〉時,圖1描述了三體量子相干度C123、近鄰兩組分量子相干C12和C23、以及次近鄰兩體量子相干C13的含時演化.如圖1 所示,當時間較短時,狀態演化處于初始階段,一些能級組分態|ψ6,7〉的混合,使得類Werner態組分在量子態中占有一定比重,所以量子相干度的數值從零逐漸增大.其中,對于相互作用較小的兩個自旋,其量子相干度C13和C23在演化初期增長較快.但是,隨著演化進一步發展,環境噪聲又會導致量子相干度的衰減,量子退相干現象明顯.

圖1 當初態為 | 0 01〉 時,量子相干組分演化,參量選取為D=0.2,γ=0.2,Γ=0.5,n=0.2,黑 色 實 線 為 C 123 ,紅色虛線和綠色點劃線分別為 C 12,C13 ,藍色點線為C23Fig.1.The dynamics of all fractions of quantum coherence for the initial state | 0 01〉 .The parameters are chosen to be D=0.2,γ=0.2,Γ=0.5,n=0.2.The black solid line denotes C 123 ,the red dashed and green dot-dashed line are C12,C13respectively,and the blue dotted line represents C 23 .

為了進一步研究多體量子相干與兩體量子相干的關系,定義一種量子相干組分差值Cr=C123-(C12+C23+C13).如圖2 所示,分析了非均勻自旋相互作用參量D和γ對量子相干性質的影響.圖2(a)的曲線變化表明,隨著自旋與軌道耦合作用D的增加,量子相干組分差值Cr也會增大,但是環境噪聲又會大大抑制量子相干,導致量子退相干.同樣,圖2(b)的曲線變化表明,各項異性參量γ的增加也會引起量子相干組分差值Cr的增加.這個結論說明,非均勻相互作用更有利于三體量子相干度的增加.

圖2 當初態為 | 0 01〉 時,量子相干組分差值的演化,參量選 取 為 Γ =0.5, n =0.2 (a) 當 γ =0.2 時 ,黑 色 實 線 對應 參 數 D =0.3, 紅 色 虛 線 對 應 D =0.5; (b)當D=0.2時,黑色實線對應參數 γ =0.3, 紅色虛線對應 γ=0.7Fig.2.The dynamics of the difference of quantum coherence for the initial state | 0 01〉 .The parameters are chosen to be Γ =0.5, n =0.2 ： (a) When γ =0.2 ,the black solid line denotes D =0.3 the red dashed line is D =0.5; (b) W-hen D =0.2 ,the black solid line denotes γ =0.3, the red dashed line is γ =0.7 .

圖3 當 初 態 為 W 態 時 ,量 子 相 干 組 分 演 化 ,參 量D=0.2,γ=0.2,Γ=0.5,n=0.2,黑色實線為 C 123 ,紅色虛線和綠色點劃線分別為 C 12,C13 ,藍色點線為C23Fig.3.The dynamics of all fractions of quantum coherence for the initial W state.The parameters are chosen to be D=0.2,γ=0.2,Γ=0.5,n=0.2.The black solid line denotes C 123 ,the red dashed and green dot-dashed line are C12,C13respectively,and the blue dotted line represents C 23 .

圖4 當初態為 W 態時,量子相干組分差值的演化,參量選取為 Γ =0.5, n =0.2 (a) 當 γ =0.2 時 ,黑色實線 對應 參 數 D =0.3, 紅 色 虛 線 對 應 D =0.5; (b)當D=0.2時,黑色實線對應參數 γ =0.3, 紅色虛線對應 γ=0.7Fig.4.The dynamics of the difference of quantum coherence for the initial W state.The parameters are chosen to be Γ =0.5, n =0.2 ； (a) When γ =0.2 ,the black solid line denotes D =0.3 the red dashed line is D =0.5; (b) W-hen D =0.2 ,the black solid line denotes γ =0.3, the red dashed line is γ =0.7 .

當初態選擇W態時,量子相干的各個組分隨時間演化行為如圖3所示.所有量子相干組分都呈現出單調衰減現象.這與(12)式的解析結果相對應.

但是,由于自旋相互作用的非對稱性,所以量子相干組分之間存在差異,相應差值Cr也會不為零.圖4(a)和圖4(b)分別表現出,自旋與軌道耦合作用D和各項異性參量γ的增加都會引起三體量子相干度的增大,使得相應量子相干組分差值在演化初期呈現增長現象.但是,由于環境噪聲的影響,無論是三體量子相干度,還是任意兩體量子相干度,都在較長時間里發生衰減,直至完全消失.

4 結 論

本文以非對稱三體自旋系統為研究對象,重點分析了量子相干的空間分布特性,及其在環境噪聲背景中的量子退相干現象.發現類Werner態的量子相干度組分之間存在一種特殊加和性,即三體量子相干度數值等于所有兩體量子相干度之和.在忽略自旋相互作用的極限條件下,盡管環境噪聲會導致系統所有量子相干組分發生衰減,但是這種量子加和性仍然存在.對于可分離初態,自旋之間非均勻相互作用更有利于三體量子相干度的增加.這些研究在多體系統可能的量子相干特性規律方面提供了一種思路.同時,本文采用的精確對角化和量子主方程,可以推廣到任意多體量子自旋系統,為進一步研究多體量子相干特性提供了有效方法.