高考立體幾何命題導向分析

◇ 湖南 陳志廣

立體幾何是高中數學的重要內容,也是考查考生空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力的載體,在高考中一般以一道或兩道客觀題、一道解答題的形式出現,約占20分．本文結合2019年高考試題,對高考命題導向進行分析．

1 緊扣“四基”要求

“四基”,即基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗．立體幾何中的基礎知識主要包括:空間點線面關系的判定和性質、空間幾何體表面積及體積、空間角等．基本技能體現在相關性質和判定的靈活應用．基本思想主要包括數形結合、化歸轉化、分類討論、函數與方程、有限與無限思想等．基本活動經驗是解題能力的體現,如還原法、平面化等經驗的積累與應用．

例1(2019年全國卷Ⅲ理8)如圖1 所示,點N為正方形ABCD 的中心,△ECD 為等邊三角形,平面ECD⊥平面ABCD,ED的中點為M,則下列結論正確的是( )．

A．BM ＝EN,且直線BM,EN 是相交直線

B．BM ≠EN,且直線BM,EN 是相交直線

C．BM ＝EN,且直線BM,EN 是異面直線

D．BM ≠EN,且直線BM,EN 是異面直線

圖1

解析如圖2所示,連接BE,BD,因為N 為正方形ABCD 的中心,所以點N 在BD 上,故EN,BM 均在平面BDE 內,EN,BM 為相交直線．設AB＝2,取CD 的中點G,連接EG,NG,因為△EDC為等邊三角形,所以EG⊥DC,又因為平面EDC⊥平面ABCD,GN ?平 面ABCD,所 以EG ⊥GN．在Rt△EGN中,EG＝,GN＝1,所以EN＝2．

圖2

同理,取DG 的中點H,連接BH,MH,在Rt△MHB中,所以故選B．

2 落實核心素養

立體幾何解答題通常以棱柱、棱錐為載體,或通過折疊將平面圖形轉化為多面體．一般考查空間中的平行或垂直關系的證明以及計算幾何體的表面積、體積或空間角、空間距離等．這些問題有效地體現了《普通高中數學課程標準(2017年版)》提出的數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養．

例2(2019 年全國卷Ⅰ理17)如圖3 所示,長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD 是正方形,點E 在棱AA1上,BE⊥EC1．

(1)證 明:BE ⊥ 平面EB1C1;

(2)若AE ＝A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值．

圖3

解析(1)由已知得,B1C1⊥平面ABB1A1,BE?平面ABB1A1,故B1C1⊥BE．又因為BE⊥EC1,且EC1∩B1C1于C1,所以BE⊥平面EB1C1．

(2)由(1)知∠BEB1＝90°．由題設知 Rt △ABE ≌Rt△A1B1E,所 以 ∠AEB＝45°,故AE ＝AB,AA1＝2AB．如圖4所示,在平面BCE 內,過點B 作BM ⊥CE 于點M;取CC1的中點N,連接MN,EN．因為EC1＝EC,所 以EN ⊥CC1,所以△CEN 為直角三角形．因為BC⊥BE,故△CEB 為直角三角形．設AB＝1,則BC ＝NC ＝1,所 以Rt△BEC≌Rt△NEC,所以MN ⊥EC,所以∠BMN即為 二 面角B-EC-C1的平面角．在Rt△BEC 中,以所以在△BMN 中,

圖4

3 承載數學文化

在高中數學教材中的“閱讀與思考”“探究與發現”中涉及了很多數學文化的背景,如古典數學、古代民俗、古典建筑、世界數學等文化．在高考中涉及數學文化的考題也比較常見,如2019年全國卷Ⅱ理科第16題,以南北朝時期的印信為背景,體現中國古代金石文化．

例3(2019年全國卷Ⅱ理16)中國有悠久的金石文華,印信是中國金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體,但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”(如圖5-甲)．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現了數學的對稱美．圖5-乙是一個棱數為48的半正多面體,它的所有頂點都在同一個正方體的表面上,且此正方體的棱長為1．則該半正多面體共有_____個面,其棱長為_____．

圖5

解析由圖5-乙易知此半正多面體的表面有18個正方形和8個等邊三角形,共26個面．作出該半正多面體的正截面圖,如圖6所示,設棱長為m,則

圖6

綜上所述,雖然高考題常考常新,但只要我們明確命題導向,把握命題原則,并制訂相應的備考策略,即可以不變應萬變．