歸納推理顯身手,常見題型巧解決

◇ 山東 趙延敏

歸納推理是由個別事實概括出一般結論的推理,是由部分到整體、由特殊到一般的推理．歸納推理在數學結論、數學問題證明思路的發現、科學發明等方面都起著非常重要的作用．本文結合常見的歸納推理問題,進行實例剖析,以供大家學習與參考．

1 與數字有關的歸納推理

例1正整數按圖1的規律進行排列,則上起第2019行、左起第2020列的數為( )．

A．20192

B．20202

D．2019×2020

圖1

解析經觀察可得圖示正整數的排列特點:

①第1 列的每個數都是完全平方數,并且恰好等于它所在行數的平方,即第n 行的第1個數為n2;

②第1行第n 個數為(n－1)2＋1;

③第n 行從第1個數至第n 個數依次遞減1;

④第n 列從第1個數至第n 個數依次遞增1．

綜上,上起第2019行、左起第2020列的數,應是第2020列的第2019個數,即[(2020－1)2＋1]＋2018＝2019×2020,故選D．

蛋白質是構成生物組織的重要成分。人體各器官、 組織和體液、肌肉、血液、皮膚、毛發、骨骼等都由蛋白質組成。足月兒體內的蛋白質含量平均在400～500克。通常整個妊娠期蛋白質需增加910克左右，隨著孕周的增加蛋白質的吸收利用也會增加，所以一般建議在常規飲食量的基礎之上孕早期每天增加5克，孕中期每天可以增加15克，孕晚期每天可以增加25克。

點評與數字有關的歸納推理問題,求解的關鍵就是對相關數字的規律加以認真觀察,找出相應的規律,特別是項數、開始值與結束值等特殊位置的數字之間的聯系,進而正確歸納與應用．

2 與等式有關的歸納推理

例2已知函數列{fn(x)}滿足

觀察可得

根據以上事實,由歸納推理可得,當n∈N?時,fn(x)的表達式為_____．

解析根據題意可知,對應函數列{fn(x)}中各項的關系式,分子都是x,分母均為二次根式,其中常數均為1,對應分別加上x2的1倍、2倍、3倍…則可知fn(x)的分母中對應分別加上x2的n倍,即

點評與等式有關的歸納推理問題,需要認真觀察每個等式,找出等式左、右兩邊所對應的規律,注意符號、系數、次數等特征,進而加以歸納,巧妙破解相應的等式問題．

3 與不等式有關的歸納推理

例3已知函數(n∈N?),經計算得結合歸納推理,當n≥2 時,有_____．

觀察f(n)中n 的規律為2k(k＝1,2,…),不等式右側為所以f(2n)＞

點評與不等式有關的歸納推理問題,需要認真觀察每個不等式,找出對應的規律,注意對應不等號的方向、符號、系數、次數等特征,進而加以歸納,巧妙破解相應的不等式問題．

4 與圖形有關的歸納推理

例4如圖2,這是由花盆擺成的圖案,根據圖中花盆擺放的規律,第n 個圖形中的花盆數an＝_____．

圖2

解析觀察可知每個圖案中間一行的花盆數為1,3,5,…,則第n 個圖案中間一行的花盆數為2n－1,往上一側花盆數依次是2n－2,2n－3,…,它們的和為往下一側(含中間一行)花盆數為所以

點評與圖形有關的歸納推理問題,求解的關鍵是逐個觀察對應圖形之間的特征,從小到大觀察其變化規律,進而確定圖形之間的演變過程,找出變化規律與內在聯系,進而合理歸納與解決．

5 與數學文化有關的歸納推理

例5我國古代數學名著《九章算術》中割圓術有“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣．”其體現的是一種無限與有限的轉化過程,比如在中“…”即代表無限次重復,但原式卻是一個定值x,這可通過方程確定x＝2,則

解析設即x2－x－1＝0,解得不合條件(舍去),所以故選C．

點評解決與數學文化有關的歸納推理問題,關鍵要建立起合適的數學模型,借助數學模型來進行分析與歸納．其基本思維模式為發現共性、檢驗、得結論．

在高考中,歸納推理的考查背景越來越豐富多彩,成為高考中的一大亮點,也是知識交會與能力綜合的一大戰場,考查的關鍵是歸納能力、探究能力和創新意識等的應用．