不等式證明的三種經(jīng)典解法探析

◇ 甘肅 陳 軍

求解不等式問(wèn)題的基本思想是根據(jù)不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換、同解變形等,這個(gè)過(guò)程必然要與方程、函數(shù)、圖象及其他知識(shí)相聯(lián)系,運(yùn)用分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、整體代換等數(shù)學(xué)思想進(jìn)行求解．不等式證明問(wèn)題又是不等式問(wèn)題中的特殊問(wèn)題,證明方法紛繁復(fù)雜、千變?nèi)f化、技巧性強(qiáng)．本文就對(duì)均值不等式法、柯西不等式法、數(shù)學(xué)歸納法三種經(jīng)典求解不等式證明的方法進(jìn)行例題詳解,希望讀者能體會(huì)其妙用．

1 均值不等式法

例1若a,b,c∈(0,＋∞),求證:

證明已知a,b,c∈(0,＋∞),所以根據(jù)均值不等式b＞0),可知

將三式相加,整理得

點(diǎn)評(píng)利用均值不等式證明不等式,首先要觀(guān)察所證不等式的特點(diǎn),要合理應(yīng)用裂項(xiàng)、分解、變形等方法,把不等式一側(cè)的項(xiàng)進(jìn)行分組,每組找到兩個(gè)大于零的項(xiàng),再結(jié)合題目中所給的已知條件,應(yīng)用均值不等式結(jié)論就可證明所求不等式,要注意,均值不等式只能應(yīng)用在所有項(xiàng)都是正數(shù)的不等式．

2 柯西不等式法

柯西不等式:若ai,bi∈R(i＝1,2,…,n),則

當(dāng)且僅當(dāng)ai＝λbi(λ 為常數(shù),i＝1,2,3,…,n)等號(hào)成立．常見(jiàn)的變形形式如下．

(1)設(shè)ai∈R,bi＞0(i＝1,2,…,n),則

當(dāng)且僅當(dāng)bi＝λai(i＝1,2,…,n),等號(hào)成立．

(2)設(shè)ai,bi同號(hào)且不為零(i＝1,2,…,n),則

當(dāng)且僅當(dāng)b1＝b2＝…＝bn,等號(hào)成立．

例2求證

證明原不等式左邊變形得

由柯西不等式得

點(diǎn)評(píng)利用柯西不等式證明不等式,首先要對(duì)原不等式進(jìn)行合理裂項(xiàng)、分解、變形等,把不等式某一側(cè)轉(zhuǎn)化為可用柯西不等式的形式,然后利用柯西不等式結(jié)論得出結(jié)果,再進(jìn)一步證明結(jié)論．

3 數(shù)學(xué)歸納法

例3已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足且2an＋1·an＋9an＋1－20＝0,請(qǐng)證明:

證明(1)當(dāng)n＝1時(shí),易知a1＞5成立．

假設(shè)n＝k 時(shí),不等式成立,即ak＞5,則當(dāng)n＝k＋1時(shí),由變形,可得

要證明ak＋1≥5,即使ak＋1－5≥0即可．

由ak＞5,可得2ak－9＞0,ak－5＞0,從而確定ak＋1＞5成立．

綜上,對(duì)于一切自然數(shù)n 都有an＞5成立．

由于ak＞5,故有

點(diǎn)評(píng)數(shù)學(xué)歸納法的精髓在于邏輯的遞推過(guò)程,首先要確定第1項(xiàng)成立,由已知、基本計(jì)算或基礎(chǔ)事實(shí)求證,假設(shè)第k 項(xiàng)成立,然后在此基礎(chǔ)上,通過(guò)變形、放縮等手段,結(jié)合數(shù)學(xué)基本原理證得第k＋1項(xiàng)成立,從而說(shuō)明在整個(gè)取值范圍內(nèi)成立．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式只適合于數(shù)列不等式．