特殊的數(shù)列求和方法綜述

◇ 甘肅 王 照

本文對(duì)特殊數(shù)列的前n 項(xiàng)和方法進(jìn)行歸納,并通過對(duì)應(yīng)例題來展現(xiàn)這些方法的具體應(yīng)用．

1 拆項(xiàng)求和法

使用拆項(xiàng)求和法首先要求出所求數(shù)列的通項(xiàng)公式,再將通項(xiàng)公式分解拆為幾個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列的和或差的形式,然后使用公式法分別求和．

例1求數(shù)列5,55,555,…的前n 項(xiàng)和Sn．

解析

因此,數(shù)列5,55,555,…的通項(xiàng)公式為

則

2 概率思想

用概率思想求和首先要構(gòu)造一個(gè)概率模型,使相關(guān)事件的概率表達(dá)式中含有所求和的形式,再結(jié)合概率的性質(zhì)求得其和．

例2求1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)．

解析構(gòu)造概率模型:口袋中有n＋2個(gè)球,依次標(biāo)號(hào)1,2,3,…,n＋2,從口袋中任取三個(gè)球．記事件Ak為三個(gè)球中標(biāo)號(hào)最小的為k．則

根據(jù)概率的性質(zhì)可知

因此,

3 導(dǎo)數(shù)法

導(dǎo)數(shù)法是利用求導(dǎo)公式(xn)′＝nxn－1的逆運(yùn)算nxn－1＝(xn)′對(duì)某類數(shù)列求和的方法．

例3在數(shù)列{an}中,a1＝1,2an＋1＝(1＋

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

解析(1)(求解過程略)．

再令從而