放縮取點法在討論函數零點問題中的應用

◇ 山西 趙海涌

利用導數求解與函數f(x)零點有關的綜合問題,是近幾年高考中的熱點題型．求解這類問題大多需要用到零點的存在性定理,這就需要在函數的定義域內取定兩個點x1,x2,不妨設x1＜x2,并且使得f(x1)f(x2)＜0,進而確定f(x)在區間(x1,x2)內有零點．然而,滿足f(x1)f(x2)＜0的兩個點x1,x2的取法,有時較為復雜．本文介紹“放縮取點法”,可以較好地突破這一難點．

例1已知函數f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2(a＞0),試討論f(x)零點的個數．

解析f(x)的定義域為(－∞,＋∞),f′(x)＝(x－1)(ex＋2a)．容易看出ex＋2a＞0,所以,當x∈(－∞,1)時,f′(x)＜0,故f(x)在(－∞,1)單調遞減;當x∈(1,＋∞)時,f′(x)＞0,故f(x)在(1,＋∞)單調遞增．fmin(x)＝f(1)＝－e＜0．

由函數單調性可知f(x)在(－∞,1)上至多1個零點,在(1,＋∞)上至多1個零點．由于f(2)＝a＞0,則f(1)f(2)＜0．根據零點存在性定理可得函數在(1,＋∞)上有唯一零點．當x＜1時,因為(x－2)ex＞(x－2)e,故f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2＞(x－2)e＋a(x－1)2．

令(x－2)e＋a(x－1)2＝0,即a(x－1)2＋e(x－1)－e＝0,

綜上所述,當a＞0時,函數f(x)有2個零點．

點評x0的確定,我們利用了放縮法,即當x＜1時,(x－2)ex＞(x－2)e．事實上,令g(x)＝(x－2)ex－(x－2)e,即g(x)＝(x－2)(ex－e),則g′(x)＝ex(x－1)－e,當x＜1 時,g′(x)＜0,故g(x)在(－∞,1)上單調遞減,g(x)＞g(1)＝0,所以(x－2)ex＞(x－2)e．如果感覺這樣取點x0比較復雜,那么我們就可以調整放縮．

例如,當x＜1 時,(x－2)ex＞－e,故f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2＞－e＋a(x－1)2．

令－e＋a(x－1)2＝0,解得這樣取得的x1要比上面的x0簡單．此時也有f(x1)·f(1)＜0,函數f(x)在(－∞,1)內有唯一零點．

放縮取點法的本質是根據函數解析式中的某部分的單調性進行局部放縮．例如,f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2＞－e＋a(x－1)2,實質上是利用函數h(x)＝(x－2)ex在(－∞,1)上單調遞減,直接把(x－2)ex縮小為在x＝1處的函數值h(1)＝(1－2)e＝－e．

例2討論函數的零點個數．

解析f (x) 的定義域為 (0, ＋ ∞),

當a≤0時,f′(x)＜0,f(x)在(0,＋∞)單調遞減,并且因為a≤0,并且0＜x＜1時當且僅當a＝0時,取等號,故f(x)＝解得所以f(x0)≥0,故f(x0)f(1)≤0．根據函數零點存在性定理可知,函數f(x)在(0,＋∞)內有唯一零點．

綜上所述,當a≤0,或a＝e3時,函數f(x)在(0,＋∞)內有唯一零點;當0＜a＜e3時,函數f(x)在(0,＋∞)內有2 個零點;當a＞e3時,函數f(x)在(0,＋∞)內無零點．

點評當時,對f(x)的放縮,利用了lne2x≤ex．事實上,我們設g(x)＝lne2x－ex,則得0＜x＜所以gmax(x)＝,故g(x)＝lne2x－ex≤0,即lne2x≤ex,因此時,取等號)．